第节四则运算求导方法

1、第二节二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则 函数的求导法则 五、隐函数求导法六、取对数求导法1解决求导问题的思路:( 构造性定义 )求导法则其它基本初等函数求导公式证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题本节内容2一、四则运算求导法则 定理1.的和、差、积、商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导,且那么3此法则可推广到任意有限项的情形.证: 设 则故结论成立.例如,4(2)证: 设则有故结论成立.5例2.解：推论:( C为常数 )例1. 求解：6例3. 解:7(3)同理可证. (略) 推论:例4. 求解:8例5. 求证证: 类似可证:小

2、结:9解法一.法二.注在进行求导运算中且也能提高结果的准这样使求导过程简单,尽量先化简再求导,确性.例6. 10二、反函数的求导法则 定理2. y 的某邻域内单调可导, 证:在 x 处给增量由反函数y=f (x)的单调性知且由反函数的连续性知 因此则11例7. 求反三角函数及指数函数的导数.解: 1) 设则类似可求得, 则122)设则特别当时,小结:13在点 x 可导,三、复合函数求导法则定理3.在点可导,则复合函数且在点 x 可导,证:在点 u 可导,故（当 时 )故有14例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.15例8.函数解: 注：复合

3、函数求导完毕，最后用x的表达式替换掉中间变量u.16例9. 设求解:17例10. 求下列导数:解: (1)(2)u18例11. 设求解:注：搞清函数的复合函数结构和四则运算结构，分别按照各自的求导法则求导.19四、初等函数的求导问题 1. 基本初等函数的导数 202. 有限次四则运算的求导法则( C为常数 )3. 复合函数求导法则4. 初等函数在定义区间内可导,由定义证 ,说明: 最基本的公式其它公式用求导法则推出.且导数仍为初等函数.21例12. 求解:先化简后求导22例13. 求解:23显函数: 因变量是由其自变量的表达式表达出来.五、隐函数的求导法则例如:故y是 x 的函数 . 但是有些

4、函数，它们自变量与因变量的对应法则是由一个方程所确定.定义. 如果y与 x 的函数关系是由方程F (x, y)=0给出，则称y是x的隐函数 （implicit function ）.例如：24问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?令y=y (x), 将方程F(x, y)=0两边对x求导，隐函数求导方法: 两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )(含导数 的方程)定义：如果y与是 x 的函数关系是由方程F (x, y)=0则称y是x的隐函数 （implicit function ）.隐函数求导法则:给出，解出25例1.解：解得26例2. 求由方程在 x = 0 处的导数解: 方程两边对 x 求导得因 x = 0 时 y = 0 , 故确定的隐函数27例3. 求椭圆在点处的切线方程.解: 椭圆方程两边对 x 求导故切线方程为即28例4. 求解: 方程两边对 x 求导得29 1. 求幂指型函数的导数六、取对数求导法求导方法：两边对x求导两边取对数解方程30例5. 求的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐函数两边对 x 求导31例6. 求的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐函数两边对 x 求导322.由若干个函数的积、商及方根组成的函数，也可以用取对数求导法求导两边对 x 求导对方程两边取对数例7. 求的导数.解：33作业 练习题2.2: 34备用题