一比较法 (7)

1、不 等 式 的 证 明【例1】已知a0，b0，求证：a3+b3a2b+ab2.(课本P12例3)即a3+b3a2b+ab2.证明一：比较法（作差）（a3+b3）-（a2b+ab2）=（a3- a2b）+（b3-ab2）=a2(a-b)+b2(b-a)a0，b0，( a-b)2(a+b)0.故（a3+b3）-（a2b+ab2）0,a+b0，而( a-b)20.=( a-b)2(a+b).=(a-b)( a2-b2)故a3+b3a2b+ab2.证明二：比较法（作商）a2+b22ab，又a0，b0，所以ab0，所以有a3+b3a2b+ab2.证明三：分析法欲证a3+b3a2b+ab2，只需证明(a+

2、b)(a2+b2-ab)ab(a+b).由于a0，b0，所以a+b0，故只要证明a2+b2-abab即可。即证明a2+b22ab.而a2+b22ab 显然是成立的即a3+b3a2b+ab2.证明四：综合法a2+b22ab，a2+b2-abab.又a0，b0，a+b0，故(a+b)(a2+b2-ab)ab(a+b).【例2】已知a0，b0，求证：证明一：比较法（作差）证明二：比较法（作商）而a0，b0，所以a+b0. 证明四:综合法a1a2a3an,b1b2b3bn,a1bn+a2bn-1+ an-1b2+anb1.a1b2+a2b3+ an-1bn+anb1则a1b1+a2b2+a3b3+an

3、bn【例3】求证:(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2).证明一：(比较法)(ac+bd)2-(a2+b2)(c2+d2) (ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2).=2abcd- a2d2-b2c2=(a2c2+b2d2+2abcd)-(a2c2+b2d2+a2d2+b2c2)=-(ad-bc)20.证明二：(分析法)证明三：(综合法)一般地,对任意实数ai,bi(i=1,2,3, ,n),都有:(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2)(a1b1+a2b2+anbn) 2.(柯西不等式)【例4】设-1a1,-1b1,求证: .证明一:比较法(作差)-1a1,-1b0，1

4、-a20,1-b20,1-ab0.所以，(1-a2)(1-b2)(1-ab)0, 证明二:分析法证明三:综合法a2+b22ab, -a2-b2-2ab.从而00.证明四:换元法设a=sin,b=sin,则思考 2+2ab+2a2b2+=2(1+ab+a2b2+)【例5】设a0,b0,且a+b=1,求证：证明一(分析法)(4a+1)(4b+1) 916ab+4a+4b+19 证明二(综合法)因为a0,b0,且a+b=1,所以从而 + .【例6】已知m0,求证:m+ 3.证明一(比较法)m+ -3= m+3证明二(综合法)m+ = 证明三(函数思想)设f(x)=x+ ,则f (x)=1- ,令f(x)=0,得: x=2.当0 x2时, f (x)2时, f (x)0.所以当x=2时, f(x)取到最大值3, 故当m0时,有 m+ 3. =3 已知二次函数f(x)=ax2+