离散型随机变量的分布列和数学期望知识点

1、【知识点】. n次独立重复试验：在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立. n次独立重复试验的概率 ：一般地，事件A在n次试验中发生k次，其有C：种情形，由试验的独立性知A在k次试验中发生，而在其余n k次试验中不发生的概率都是pk(1 p)n k,所以由概率加法公式知，如果在一次试验中事件 A发生的概率是 p,那么在n次独立重复试验中，事彳A恰好发生k 次的概率为 Pn(k) C：pk(1 p)n k(k 0,1,2,.n).二项分布：在上公式中，若将事件 A发生的次数设为 X ,事件A不发生的概率为q 1 p,那么在n 次独立重复试验中，事件 A恰好发生k次的概率是P(X

2、k) C：pkqnk.其中k 0,1,2,.n.于是得到X的分布列X01.k.nP.各对应项的值，所以称这样的离散型随机变量X服从参数为n,p的二项分布，记作X B(n, p).离散型随机变量X的数学期望一般地，设一个离散型随机变量 X所有可能取的值是 x1,x2,., xn,这些对应的概率是p1, p2,., pn,则E(X) x1Pl x2P2 . xn pn叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望.二项分布的数学期望：E(x) np【经典例题】【例1】在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下.根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等

3、级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.寿命(天)频数频率100,200)200.10200,300)30a300,400)700.35400,500)b0.15500,600)500.25合计2001(I)根据频率分布表中的数据，写出(H)某人从灯泡样品中随机地购买了a, b的值；n(n N )个，如果这个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值;(出)某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率， 用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列和数学期望.1、【答案】(I)解：a 0

4、.15, b 30.(n)解：由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个,所以优等品、正品和次品的比例为50:100:50 1:2:1.所以按分层抽样法，购买灯泡数n k 2k k 4k(k N ),所以n的最小值为4 .(出)解：X的所有取值为0,1,2,3.由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为0.1 0.15 0.25,从本批次灯泡中购买 3个，可看成3次独立重复试验，所以P(X0)C3(1 1)32764【例2】甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为 TOC o 1-5 h z x11 227P(X1)C3- (1-)2-,4464P(X

5、 2) C2 (1)2(1 1)1 94464P(X3)C3(1)33.4641一,乙每次投中的3,1 一 概率为1 ,每人分别进行三次投篮.2(I)记甲投中的次数为 ，求 的分布列及数学期望 E(n)求乙至多投中 2次的概率;(出)求乙恰好比甲多投进 2次的概率.2.【答案】解：(I)的可能取值为：0,1,2,3 TOC o 1-5 h z 32P( 0) C； 2亲 P( 1) C3 1 24；3273 39P( 2) C；2八39;P( 3) C3327的分布列如下表:012318421p279927Lc84c2c 127927E01231.(n)乙至多投中2次的概率为i C；3(出)设

6、乙比甲多投中2次为事件A,乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B1,乙恰投中3次 且甲恰投中1次为事件B2,则A B B2,Bi,B2为互斥事件.P(A) P(Bi) P(B2)8 3 4 1127 8 9 8 6所以乙恰好比甲多投中2次的概率为1 .6【例3】某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客, 假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.(I )求这4位乘客中至少有一名乘客在第 2层下电梯的概率；(n )用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求 X的分布列和数学期望.3【答案】解：(I )设4位乘客中至少有一名乘客在第 2层下电梯的事件为 A,由题意

7、可得每位乘客在第2层下电梯的率都是-,34265则 P(A) 1 P(A) 1 一 381(n ) X的可能取值为0,1,2,3,4【易错题】【例1】经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高.现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图(以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶)如下：罗非鱼的汞含量(ppmj)01235567889135567中华人民共和国环境保护法规定食品的汞含量不得超过1.0ppm.(I)检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；的分布列及数学期望E .(

8、n)若从这批数量很大的鱼 中任选3条鱼，记 表示抽到的汞含量超标的鱼的条数.以此15条鱼的样本数据来估计 这批数量很大的鱼的总体数据，求1.【答案】解：(I)记“ 15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件 A,则 TOC o 1-5 h z _ 1 2_ HYPERLINK l bookmark99 o Current Document C5C1045P(A)C3591，4515条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为51P(B)一 ，15 391(n)依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率可能取0, 1, 2, 3. TOC o 1-5 h z 32则 p( 0) c0 1

9、 1 , p( 1) c3 11 1-,3273392321123 11P( 2) C1-1 - P( 3) C33 -339327其分布列如下:0123P842127fT9927 TOC o 1-5 h z 8421E 01231所以279927,并将所得数据绘制【例2】某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟）成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是0,100,样本数据分组为0,20）,20,40) , 40,60) , 60,80) , 80,100.（I）求直方图中 x的值；（n）如果上学所需时间不少于 1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多

10、少名学生可以申请住宿；（出）从学校的新生中任选 4名学生，这4名学生中上学所需时间少于 20分钟的人数记为X,求X的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于 20分钟的概率）2、【答案】解：（I）由直方图可得:20 x 0.025 20 0.0065 20 0.003 2 20 1.所以 x= 0.0125.（n）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003 2 20 0.12,因为 600 0.12 72,所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.（出）X的可能取值为0,1,2,3,4.1由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟

11、的概率为44381P(X 0)42563 TOC o 1-5 h z 11327P( X 1)C44464-2 13P(X 2) C2 -44-7, P(X 3) C4 - -1284 4364411P(X 4) 4256所以X的分布列为:X011234p812727312566412864256812727311EX01 2 3 4 1 .(或 EX 4 - 1)25664128642564所以X的数学期望为1.例3国家对空气质量的分级规定如下表:污染指数0 50511 00101150151 200201 300300仝气质里优良轻度污染P中度污染重度污染严重污染某市去年6月份30天的空气

12、污染指数的监测数据如下:3414018731212104045782365792078160421013816315422273615149103135201648根据以上信息，解决下列问题:(I)写出下面频率分布表中a,b, x, y的值；(n)某人计划今年 6月份到此城市观光 4天，若将(I)中的频率作为概率，他遇到空气 质量为优或良的天数用 X表示，求X的分布列和均值 EX.频率分布表分组频数频率0,501471550,100ax100,150516150,200by200,2502115合计301.解：(I) a 6,b 3,x -, y 510 TOC o 1-5 h z ,、一，、

13、一一一,八一， 一,422(n)由题意，该市 4月份空气质量为优或良的概率为p=2 _2 _2 ,15 5 3318,3814n 1112p(x 0) c0, p(x 1) c43813P(X 2) C232318 , P(X 3) C3213232733814P(X 4)C：381X的分布列为：X0m234P18188182732811681 TOC o 1-5 h z 22 8X B(4,-),EX 4 -33 3【例4】某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格.教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段 ， ，(单位：小时)进行统计，其频率分布

14、直方图如图所示.(I)求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；(n)从全市高中学生(人数很多)中任意选取3位学生，记 为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数.试求随机变量的分布列和数学期望 E服务时间/小时.【答案】解：（I）根据题意，参加社区服务时间在时间段90,95小时的学生人数为 200 0.060 5 60 （人），参加社区服务时间在时间段95,100小时的学生人数为 200 0.020 5 20 （人）.所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为8

15、0人.所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为P 60 20802200200 5.（n）由（I）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的一，2概率为 .(3)35412527125由已知得，随机变量的可能取值为0,1,2,3.所以 P( 0) C0(2)0 5 TOC o 1-5 h z 2 13 2P( 1) C3(-)(-) 55p( 2)c；(2)2(3)136；551253/23308P( 3) C3(-)(-).55125随机变量的分布列为因为阻2),所以E7局4胜制（即先胜4局者获胜,【课后测试】1.乒乓球单打比赛

16、在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用 比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同（I）求甲以4比1获胜的概率；（n）求乙获胜且比赛局数多于 5局的概率;（出）求比赛局数的分布列.【答案】（I）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是 记“甲以4比1获胜”为事件A,则 P(A)C3 1 3 1 4 3 1 TOC o 1-5 h z C4(2)(2)2（n）解：记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B.因为，乙以4比2获胜的上率为P1 c3（l）3（!）5 31222 32乙以4比3获胜的上率为P2 C6（l）3（l）6 31 0，222 32 .5所以 P（B） P1 P2

17、 .16（出）解：设比赛的局数为X ,则X的可能取值为4,5,6,7P(X 4) 2c4(2)4 1,P(X 5) 2C3(1)3(1)43 222 16P(X 6) 2C3(1)3(1)52 22p（x 7） 2c6（2）3（r2156比赛局数的分布列为：X456_7P1814516516.张先生家住H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L1, L2两条路线（如图），L1路线上有A, A, A3三个路口，各路 TOC o 1-5 h z _.口遇到红灯的概率均为 一；L2路线上有B15 B2两个路口，各路口遇 2 33到红灯的概率依次为 -,3 .45（I）若走L1路线，求最务 遇

18、到1次红灯的概率；（n）若走L2路线，求遇到红灯次数 X的数学期望；（出）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.2、【答案】解:（I）设走Li路线最多遇到1次红灯为A事件，则P(A)=C3 (2)3 C3 1 (2)2 21所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为 一2(n)依题意，X的可能取值为0,1,2 TOC o 1-5 h z 31P(X =0)=(1)(1-),51033 39P(X=1)=(1-)(1-)-54 5 2039P(X=2)=-.1EX 0105 20X012111199P102020随机变量X的分布列为:

19、2020209 . 9 c 27 12 1（出）设选择L2路线遇到红灯次数为 Y,随机变量Y服从二项分布，Y : B（3, 一）,2因为EX EY ,所以选择L2路线上班最好.3.为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有90分,70分,60分,40分,30分五种,按本次比赛成绩共分五个等级.从参加比赛的学生中随机抽取了 30名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：成绩等级ABCDE成绩（分）9070604030人数（名）461073（I ）根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“ A或B ”

20、的概率；（n）根据（I）的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选3人，记X表示抽到成绩等级为“ A或B ”的学生人数,求X的分布列及其数学期望 EX ;（出）从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率.3、【答案】解:（I ）根据统计数据可知，从这30名学生中任选一人，分数等级为“ A或B”的频率为30 30 30 3 “ 1从本地区小学生中任意抽取一人 ，其“数独比赛”分数等级为“ A或B”的概率约为-3（n ）由已知得，随机变量X的可能取值为0,1,2,3 .斫以 p/x0/0 /38 . p/yp1 /_V (_2P(X 0) C3(

21、 ) ( )； P(X 1) C3( ) ( )332733-2 1 22 1P(X 2) C3(3) (3)272 ； P(X 3) C393(|)0124一 ；279127（出）设事件M:从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于 20分.设从这30名学生中，随机选取2人，记其比赛成绩分别为 m, n.显然基本事件的总数为C30.30不妨设m n ,当m 90时，n 60或40或30,其基本事件数为 c4 （Cw c7 c3）;当m 70时，n 40或30,其基本事件数为 C； （C； C；）；当m 60时，n 30,其基本事件数为C110 c3；所以P（M）87c4(C；c；

22、c3)c6(c7c3)cc334C3034所以从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成2之差大于 20分的概率为 一87n(n N )个，如果这个灯泡的等级情况恰好与按三.个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值;4.在某批次的某种灯泡中，随机地抽取 200个样品，并对其寿命进行追踪调查， 将结果列成 频率分布表如下.根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于 500天的灯泡是优等品，寿命小于 300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品 .寿命(天)频数频率100,200)200.10200,300)30a300,400)700.35400,500)b0.15500,6

23、00)500.251合计2001(I)根据频率分布表中的数据，写出(H)某人从灯泡样品中随机地购买了a, b的值；(出)某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率， 用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列和数学期望.【答案】(I)解：a 0.15, b 30.(n)解：由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，所以优等品、正品和次品的比例为50:100:501:2:1.所以按分层抽样法，购买灯泡数n k 2k k 4k(k N ),所以n的最小值为4 .(出)解：X的所有取值为0,1,2,3.由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的

24、概率为0.1 0.15 0.25,从本批次灯泡中购买 3个，可看成3次独立重复试验，所以P(X0)C3 (1 1)3P(X 1)c3P(X 2)C21- I4(4)(1 1)24P(X 3) C3 (4)3(1 1)141.6427豆2764 9,64所以随机变量X的分布列为:012327642764964164 TOC o 1-5 h z 2727913所以X的数学期望E(X) 0 1 23 -646464644.为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有90分,70分,60分,40分,30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级 .从参加比赛的学生中随机抽取了 30名

25、学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：成绩等级ABCDE成绩(分)9070604030人数(名)461073 TOC o 1-5 h z (I )根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“ A或B ”的概率；(n)根据(I)的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生(参赛人数很多)中任选3人，记X表示抽到成绩等级为“ A或B ”的学生人数，求X的分布列及其数学期望 EX ;(出)从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率.【答案】解:(I )根据统计数据可知，从这30名学生中任选一人，分数等级

26、为“ A或Br* 30 31从本地区小学生中任意抽取一人，其“数独比赛”分数等级为“ A或B”的概率约为13(n )由已知得，随机变量X的可能取值为0,1,2,3 .124一 ；2791.270 1 02 38一11122所以P(X 0) C3(3) (3)27;P(X 1) C3(3) (-)_2 1 2 2 16 23132。P(X 2) C3 (3) (3)27 9;P(X 3) C3(3) (3)(出)设事件M：从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于 20分.设从这30名学生中，随机选取2人，记其比赛成绩分别为 m, n .显然基本事件的总数为C30.30不妨设m n

27、,当m 90时，n 60或40或30,其基本事件数为 c4 (C110 C； c3);当m 70时，n 40或30,其基本事件数为 C： (C； C；)；当m 60时，n 30,其基本事件数为C110 c3；所以P(M)87c： (C； c； c3) c6 (c7 c3) C10 c334C32034所以从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成2之差大于 20分的概率为 一87【课后作业】.某学生在上学路上要经过 4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯1的概率都是1 ,遇到红灯时停留的时间都是 2min。3(I)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(n)

28、求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望。.为保护水资源，宣传节约用水，某校 4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣 传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立.(I )求4人恰好选择了同一家公园的概率；(n)设选择甲公园的志愿者的人数为X ,试求X的分布列及期望.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售 .已知某产品第一轮检测不合11格的概率为1 ,第二轮检测不合格的概率为,两轮检测是否合格相互没有影响 .610(I)求该产品不能销售的概率；(n)如

29、果产品可以销售，则每件产品可获利 40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80 元(即获利80元).已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利 X元，求X的分布列，并求出均值E X3、【答案】解：(I )记“该产品不能销售”为事件 A ,则 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark23 o Current Document 111P(A) 1 (1) (1)6104、八，1所以，该产品不能销售的概率为4(n)由已知，可知 X的取值为 320, 200, 80,40,160 .1 ,1.1.33P(X 320) (1)4 ,P(X 200) C4 匕)3 - -,42564

30、4 642 1 2 3 2 2T3 1 3 3 27P(X 80) C2(/(/ 访 P(X 40) C3 ； (4)3 出， P(X 160) (3)4 -81.4256所以X的分布列为X3202008040160P1256364巴128276481256 TOC o 1-5 h z 11272781cEX 320 20080 401604025664128642564.某市为了提升市民素质和城市文明程度，促进经济发展有大的提速，对市民进行了 “生活满意”度的调查.现随机抽取 40位市民，对他们的生活满意指数进行统计分析，得到如下分布表：满意级别非常满意不满意满意指数（分）9060300人数

31、（个）151762（I ）求这40位市民满意指数的平均值；（II ）以这40人为样本的满意指数来估计全市市民的总体满意指数，若从全市市民（人数很多）中任选3人，记表示抽到满意级别为“非常满意或满意”的市民人数.求的分布列；（III ）从这40位市民中，先随机选一个人，记他的满意指数为m,然后再随机选另一个人，记他的满意指数为 n,求n m 60的概率.4.解：（I）记 X表示这40位市民满意指数的平均值，则一 1八X （90 15 60 17 30 6 0 2） 63.75 （分）40（n）的可能取值为0、1、2、3.的分布列为12P（出）设所有满足条件的事件为A满足的事件数为：A21A17

32、34满足的事件数为：A21A15 3034 30 9077P(A)满足的事件数为：A6 A5 90780所以满足条件的事件的概率为7805.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 4个红球、6个白球的甲箱和装有 5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在 3次抽奖中获一等奖的次数为 X ,求X的分 布列和数学期望.5【答案】（1）工；（2）详见解析.10【解析】试题分析：（1）记事件A 从甲

33、箱中摸出的1个球是红球, A从乙箱中摸出的1个球是红球B 顾客抽奖1次获一等奖 , b2 顾客抽奖1次获二等奖 , C顾客抽奖1次能获奖,则可知A与A2相互独立，AA2与A1A2互斥，B_B2互斥，且B1AA2,B2AA2AA2,C B1 B2 ,再14)2485125利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知 X : B（3=），分别求得P（X 0）吗0（4）3 建，p（X 1）c3（， 551255P（X 2） C（l）2（4）1 袅，P（X 3） C3（1）3（4）0 白，即可知X的概率分布及 5 512555125其期望.试题解析：（1）记事件 A 从甲箱中摸出的1个球是红球 ,

34、A2从乙箱中摸出的1 个球是红球B 顾客抽奖1次获一等奖, B2 顾客抽奖1次获二等奖, C 顾客抽奖1次能获奖，由题意，儿与人2相互独立，A1A2与A1a2互斥，B/B2互斥，且B1 A1A2,B2NAAM CB1B2, TOC o 1-5 h z 4251211 P(A) P(4) ，. P(B。P(AA2) P(A)P(A2) 105102525P(B2) P(A1A2 A1A2) P(AAO P(A1A2) P(A)(1 P(A2) (1 P(A)P(A2)21、2、11,(1)(1-)，故所求概率为52522-1 17P(C) P(B1 B2) P(B) P(B2) 一 一 ；(2)

35、顾5 2 106.某学科测试中要求考生从A,B,C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试.选才i A,B,C三题答卷数如下表：题ABC答卷数180300120(I)某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从 600份答卷中抽出若干份答卷，其中从选择题的答卷中抽出了3份，则应分别从选择题的答卷中抽出多少份？(n)若在(I)问中被抽出的答卷中，三题答卷得优的份数都是.从被抽出的三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷恰有1份得优的概率；(出)测试后的统计数据显示，题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在(I)问中被抽出的选择题作答的答卷中，记其中得优

36、的份数为，求的分布列及其数学期望.6(1)由题意可得:题aBC答卷数180300120抽取的答卷数352应分别从B,C题的答卷中抽取 5份，2份 4分(n)记事件 M:被抽取的A,B,C三种答卷中分别再各任取 1份，这3份答卷恰有1份 得优，可知只能 C题答卷为优.依题意P(M ) 1 3 1 1 . 8分3 55(出)由题意可知，B题答卷得优的概率是 1 .显然被抽取的 B题的答卷中得优的份数31X 的可能取值为 0,1,2,3, 4,5 ,且 X : B(5,1).0 1 0 2 532i 1 i 2 4803P(X 0) C5(,)(力；P(X 1) C5仁)(力 ； TOC o 1-5

37、 h z 33243332432 1 2 2 3803 1 3 2 240P(X 2) 。5(-)(一)一； P(X 3) C5(-)(一)一；3324333243P(X124310_ 5 1 5 2 024rp(X 5) C5(3)(3)随机变量X的分布列为X0123415P328080401101243243243243243243 TOC o 1-5 h z 32彳 80c 80c 40,10l 15所以EX 0 1 2 34 5 .2432432432432432433 13分.甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为且他 们是否破译出密码互不影响.若

38、三人中只有甲破译出密码的概率为.(I)求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；(n)求的值；(出)设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为，求的分布列和数学期望.【答案】记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件，依题意有 且相互独立.(I)甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为.(n)设“三人中只有甲破译出密码”为事件，则有=,所以，.(出)的所有可能取值为.所以，所以，.8.生产A,B两种元件，其质量按测试指标划分为： 指标大于或等于为正品， 小于为次品.现 随机抽取这两种元件各件进行检测，检测结果统计如下：测试指标元件A元件B(I )试分别估计元件 A ,元件B为正品的概率；(n)生产一

39、件元件 A,若是正品可盈利 40元，若是次品则亏损 5元；生产一件元件 B, 若是正品可盈利50兀，若是次品则节损10兀.在(I )的前提下，(i)记为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望；(ii)求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率.【答案】(I)解：元件 A为正品的概率约为.元件B为正品的概率约为.(n )解：(i )随机变量的所有取值为.；.所以，随机变量的分布列为：(ii)设生产的5件元件B中正品有件，则次品有件 .依题意，得，解得.所以，或.设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件， 则.汽车租赁公司为了调查A, B两种车型的出

40、租情况，现随机抽取了这两种车型各 100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：A型车出租天数1234567车辆数51030351532B型车出租天数1234567车辆数1420201615105(I)从出租天数为3天的汽车(仅限 A,B两种车型)中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；(n)根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰女子为4天的概率；(出)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从 A, B两种车型中购买 一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由9.【答案】解：（I）这

41、辆汽车是 A型车的概率约为这辆汽车是 A型车的概率为（II ）设“事件表示一辆 A型车在一周内出租天数恰好为天”，“事件表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为天”，其中则该公司一辆 A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为该公司一辆 A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为（出）设为 A型车出租的天数，则的分布列为0.050.100.300.350.150.030.02一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天.从出租天数的数据来看，A型车出租天数的方差小于B型车出租天数的方差，综合分析，选择 A类型的出租车更

42、加合理 .第三节超几何分布【知识点】一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取 n件（n N）,这n件中所有这类物品件数 X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为mn mP（X m） CMCN M （0 m l,l为n和M中较小的一个）.CN我们称离散型随机变量 X的这种形式的概率的分布为超几何分布， 也称X服从参数为N,M , n的超几何分布.【经典例题】【例1】某绿化队甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工 人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取 3名工人 进行技能考核.(I)求从甲、乙两组各抽取的人

43、数；(II )求从甲组抽取的工人中至少1名女工人的概率；(III )记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望1.【答案】(I)从甲组抽取2人，从乙组抽取1人. (II ).从甲组抽取的工人中至少 1名女工人的概率(III )的可能取值为01 ,2,30123P【例2】某单位从一所学校招收某类特殊人才.对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：、逻辑思维协调能力良好优秀221良好4b1优秀13a例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有4人.由于部分数据丢失，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力

44、优秀的学2生的概率为2 .5(I)求a, b的值；(II )从参加测试的20位学生中任意抽取 2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思 维能力优秀的学生的概率；(III )从参加测试的20位学生中任意抽取 2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为，求随机变量的分布列及其数学期望 E .2.【答案】解：(I)设事件A：从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思 维能力优秀的学生.由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(6 a)人.则 P(A)6 a 2205解得a 2.所以b 4.(II )设事件B：从20人中任意抽取2人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力

45、优秀 的学生.由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人.则 p(b)1 p(B)1 C2 62C2095(III )的可能取值为0, 1, 2.20位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为8人.所以P（C；20)22C203395P(P( TOC o 1-5 h z 八 C12c848C095，C82142) CI 政【例3】某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时） ，统计结果绘成频率分布直方图（如图）.已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间的有8人.（1）求直方图中的值及甲班

46、学生每天平均学习时间在区间的人数；（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取 4人参加测试，设 4人中甲班学生的人数为，求的分布列和数学期望.3.【答案】解： 由直方图知，解得，因为甲班学习时间在区间的有 8人，所以甲班的学生人数为，所以甲、乙两班人数均为 40人.所以甲班学习时间在区间的人数为（人）.乙班学习时间在区间的人数为（人）.由知甲班学习时间在区间的人数为3人，在两班中学习时间大于 10小时的同学共7人，的所有可能取值为 01,2,3.所以随机变量的分布列为:0123【例4】某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下:组别性别甲乙男32女52现采用分层抽样的方法(层

47、内采用简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名同学进行学业检测.(I)求从甲组抽取的同学中恰有 1名女同学的概率；(n)记X为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.4.【答案】(I)解：依题意，甲、乙两组的学生人数之比为(3 5):(2 2) 2:1 ,所以，从甲组抽取的学生人数为设“从甲组抽取的同学中恰有2 3 2 ；从乙组抽取的学生人数为 -31.331名女同学”为事件 A,则 P(A)CCC5 28故从甲组抽取的同学中恰有 151名女同学的概率为一28(D)解：随机变量X的所有取值为0,1,2,3.P(X0)P(X2)C2C2C2C14C2c2 HYPERLINK

48、l bookmark79 o Current Document Cc45528C13 C C12P(X 1)c3 J c2C2 c49528P(X 3)C2C225C2c456C2C23C2c456所以，随机变量X的分布列为：EX2825562856【答案】【易错题】【例1】甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒乓球选手和1名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选 2名选手参加体育交流活动.(I)求选出的4名选手均为男选手的概率.(n)记X为选出的4名选手中女选手的人数，求 X的分布列和期望.111.10 2 20(n) X的可能取值为0,1,2,3 .P(X0)C32C52C

49、423110 6 20P(X 1)C2c；C； C32 3 3 37C2C4210 620, TOC o 1-5 h z 21P(X 3) C3C3 3-3-, C；C： 10 6 209 P(X 2) 1 P(X 0) P(X 1) P(X 3).20X的分布列：x012|3P179320202020 TOC o 1-5 h z c1, 7c9c317E(X)0123-2020202010【例2】在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了 “数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级.某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学

50、与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.(I )求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；(II )若等级A,B,C,D,E分另应5分，4分，3分，32分，1分.(i )求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分.从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望2.【答案】解：(I )因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人,所以该考场有10 0.25 40人所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为40 (1 0.375 0.375 0.15 0.025) 40 0.075 3(

51、II)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1 (40 0.2) 2 (40 0.1) 3 (40 0.375) 4 (40 0.25) 5 (40 0.075)2.9(出)设两人成绩之和为，则 的值可以为16,17,18,19,20P(16)C62Cw15, 45P(17)c6c2122C12045P(18)C2C1012C2C1201345P( 19)c2c2C120445P(20)C2Cw145所以的分布列为X1617181920P15121341454545)4545 TOC o 1-5 h z 1512134186所以 E E 161718192045454545455所以的数学期

52、望为5【例3】在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会。抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖 1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从 这4人中随机抽取1人获奖400元。(I )求甲和乙都不获奖的概率；(n)设X是甲获奖的金额，求 X的分布列和均值 EX。3【答案】解：(I )设“甲和乙都不获奖”为事件 A ,则。噌鸳L1 TOC o 1-5 h z 答：甲和乙都不获奖的概率为110（n） X的所有可能的取值为 0,400,600,1000223P X 4 C5 3 1 1C5 1 3 1P X 0 = , P X 400 =, P X 600 =8C：

53、 448C：448P X 1000C； C； 4 4 83113E(X) 0 - 400 - 600 1000 500 (元)8888、,答：甲获奖的金额的均值为 500（元）.【课后测试】1.甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有 1个白球、2个黑球，这些球除颜色外 完全相同，现在从这两个箱子里各随机摸出2个球，求（I ）摸出3个白球的概率；（n）摸出至少两个白球的概率；（m）若将摸出至少两个白球记为 1分，则一个人有放回地摸 2次，求得分X的分布列及数学 期望。1【答案】解：（I ）设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件则（n ）设“至少两个白球”为事件 B,则，又111c3c2c21

54、且A2, A3互斥，所以C（出）X的所有可能取值为占32.X012P所以X的分布列是X的数学期望2.某校高三年级同学进行体育测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级.测试结果如下表:（单位：人）优秀良好合格男P 18070201女120a30按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取50人，其中成绩为优的有30人.(I)求a的值；(n)若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，从中任选2人,记X为抽取女生的人数，求X的分布列及数学期望.2.【答案】解：(I )设该年级共n人，由题意得迈 一30,所以n 500 .n 180 120则 a 500 (180 120 70 2

55、0 30) 80.(n)依题意，X所有取值为0,1,2.C；2)出C5310C：1C；C； 3P(X 0)d-，P(X 1)号 5PxX的分布列为X012p|1331c|510 TOC o 1-5 h z 1336EX 012一一1051053.甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的道题.规定每次考试都从备选的道题中随机抽出道题进行测试，答对一题加分,答错一题(不答视为答错)减分，至少得分才能入选.(I)求乙得分的分布列和数学期望；(n)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.【答案】解：(I)设乙答题所得分数为，则的可能取值为.; 乙得分的分布列如

56、下：(n)由已知甲、乙至少答对题才能入选，记甲入选为事件，乙入选为事件则，故甲乙两人至少有一人入选的概率.一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球，从中任意取出3个球.(I)求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；（n）求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率；（出）记X为取出的3个球中编 号的最大值，求X的分布列与数学期望.4.解：（I）设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A,则答：取出的3个球的编号恰好是3个连续的整数，且颜色相同的概率为（n）设“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件 B,则答：取出

57、的3个球中恰有两个球编号相同的概率为 （m）X的取值为2,3,4,5 .， ， . .所以X的分布列为X2345PX的数学期望【课后作业】1.为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的，B两班中各抽5名学生进行视力检测.检测的数据如下：班5名学生的视力检测结果：4.3,5.1,4.6,4.1,49B班5名学生的视力检测结果：5.1,4.9,4.0,4.0,4.5.（I）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？（n）由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大？（结论不要求证明）（出） 现从A班的上述5名学生中随机选取 3名学生，用X表示其中视力大于 4.6的人数，

58、求X的分布列和数学期望.【答案】（I）解：班5名学生的视力平均数为 己4.3+5.1+4.6+4.1 4.9 =4.6 ,5B班5名学生的视力平均数为 X=5.1+4.9+4.0+4.0_45=4.5 .5从数据结果来看班学生的视力较好.（n）解：B班5名学生视力的方差较大.（出）解：由（I）知，班的5名学生中有2名学生视力大于 4.6.则X的所有可能取值为0,1,2 .P(X0)C3 Lc510,P(X 1)警 I； TOC o 1-5 h z c；c23P(X 2)33 2c510所以随机变量X的分布列如下:X01213310510 TOC o 1-5 h z ,1336故 E(X) 01

59、2 .10510 5.“你低碳了吗？ ”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话.活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了 100名年龄段在10,20), 20,30) , L ,50,60)的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示(I)求随机抽取的市民中年龄段在30,40)的人数；(n)从不小于 40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，求50,60)年龄段抽取的人数；(出)从按(n)中方式得到的8人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在50,60)年龄段的人数，求 X的分布列及数学期望.2、【答案】解：(I) 1 10 (0.020 0

60、.025 0.015 0,005) 0.35, 100 0.35 35,即随机抽取的市民中年龄段在 30,40)的人数为35.8(n) 100 0.15 15, 100 0.05 5,所以 5 2,20即抽取的8人中50,60)年龄段抽取的人数为2 .(m) X的所有可能取值为 0, 1, 2 . TOC o 1-5 h z P/X n C2C6215P(X 1) b 为;PX 2 C2C63P(X 2) C8328所以X的分布列为3.某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按照题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应