数值分析_第三次上机

1、4.求f(x)=sin x在0,n/2上的最佳一次逼近多项式。解：设P1(x)=a0+a1x是f(x)的最佳一次逼近多项式，则P1(x)在0,n/2上有三个交错点，满足 0=x1x2x3=n/2 o由于f(x)- P(x)=(cos x-a1),= -sin x 在0,n/2上小于 0,定号，故(cos x-a1)在0,n/2上单调递减，且仅有一个驻点。故 f(x)- P(x)在0,n/2上只有一个偏差点 x，满足f(x)- p(x)l=cos x-a=0 (1)。12、/、/ x=x22 1另外两个偏差点x1=0，x3=n/2 .于是 sin 0-a =sin n/2-a-n/2a (2)，

2、 sin x -a-a x = -( sin 0-a ) (3) 001、2012、0、由(1) (2) (3)式得：a1=2/nx2=arccos 2/n=0.88a0=-1.18所以 P1= -1.18+2/n x o6.求f(x)=2x4+3x3-x2+1在-1,1上的三次最佳一致逼近多项式。解：设f(x)的三次最佳一致逼近多项式为P3(x)，由切比雪夫多项式的极性可得1/2f(x)- P3(x)=1/8T4(x)=1/8(8x4-8x2+1)所以 P3(x)=f(x)-1/4(8x4-8x2+1)= 2x4+3x3-x2+1-2x4+2x2-1/4 =3x3+x2+3/49.求函数f(

3、x)在指定区间上关于O(x)=span1,x的最佳平方逼近多项式。(3)f(x)=cosnx, x 0,1 ； (4)f(x)=ln x, x 1,2.解：(3)在0,1上，经计算得 d0= / f (x)dx =0，d1= / xf (x)dx = -2/n200得到法方程组为 a0+1/2a1=0，1/2a0+1/3a1= -2/n2由上面两式解得a0=12/n2 ， a1= -24/n2所以f(x)=cosnx在0,1上的最佳平方逼近多项式为Si*=12/n2-24/n2x。 在1,2上，经计算得 d0= f f (x)dx = 2ln2-1，d1= f xf (x)dx = 2ln2-

4、3/411得到法方程组为 a0+1/2a1=2ln2-1，1/2a0+1/3a1= 2ln2-3/4由上面两式得 a0= -4ln2+1/2，a1= 12ln2-3所以f(x)=ln x在1，2上的最佳平方逼近多项式为S1*= -4ln2+1/2+(12ln2-3)x。11.f(x)=sin(n/2 x)在-1,1上按Legendre多项式展开，求三次最佳平方逼近多项式。解：在-1,1上，Legendre 正交多项组为1，x，1/2(3x2-1)，1/2(5x3-3x)则 d0= / f (x)dx =0，-1d2= 11/2(3x2-1)f-1由法方程组(x) dx =0，d3= j1/2(

5、5x3-3x)f(x)dx =60/n2 -480/n4。-1石 1/2 1/31心F 1 a0K1/2 1/3 1/41/5a1d11/3 1/4 1/51/6a2=d214 1/5 1/61/7；a3I 3 J, d3得 a0= -0.2585 ， a1=2.9074，a2= -7.0253，a3=4.5862所以f(x)在-1,1上的三次最佳平方逼近多项式为S * (x)=a P (x)+a P (x)+a P(x)+a P (x)0 01 12 23 373=-0.2585+2.9074x-7.0253/2 (3x2-1)+4.5862/2 (5x3-3x)=11.4655x3-10.

6、538x2-3.7919x+3.25413,求f(x)=arctan x在-1,1上的三次Chebyshev插值多项式。解：设f(x)=arctan x在-1,1上的三次Chebyshev插值多项式为L3(x)，设在-1,1上给定的4 个互异节点为x0，x1，x2，x3，函数在-1,1上具有四阶连续导数，对f(x)作多项式插值时， 拉格朗日余项表达式为f 4(8 )凤、R(x)=f(x)-L3(x)=耳！(x 一七) j=0其中 e(-1,1)j=0显然 L3(x)=f(x) - / ；)n(x -x.)当R(x)最小时，L3(x)即为所求。设 M4=max|f4(x)|=12 TOC o 1

7、-5 h z 则有 |R(x)|=4 I n (X - X ) | 4!Jj=o由插值节点为 xk=cos(2k+1)n/(2n+2) ， k=0, 1, 2,，n得 xo=cos n/8 ， X=cos 3n/8， x2=cos 5n/8， x3=cos 7n/8. HYPERLINK l bookmark4 o Current Document MT4M此时，有余项 R(x)=|f(x)-L3(x)| x=-1 -0.5 0 0.5 1;y=-0.22 0.88 2.00 3.13 4.28;polyfit(x,y,1)polyfit(x,y,2)得到ans=2.2500 2.0140an

8、s=0.0314 2.25001.9983即其所求一次多项式对其拟合为:y=2.25x+2.014二次多项式对其拟合为:y=0.0314x2+2.25x+1.998319.已知数据见下表，试求拟合公式y=aebx。x12345678y15.320.527.434.649.165.687.8117.6解：要求拟合曲线y=aebx可先求 lny=lna+bx在matlab命令窗口执行x=1 2 3 4 5 6 7 8;y=15.3 20.5 27.4 34.6 49.1 65.6 87.8 117.6;y1=log(y);polyfit(x,y1,1)得到ans=0.29192.4268即 b=0

9、.2919 lna=2.4268所以 a=e2.4268=11.3226b=0.2919所求拟合公式为y=11.3226e0.2919x20.已知数据见下表，试求拟合公式y=a+bx2x1925313844y19.032.349.073.397.8解：在matlab命令窗口执行x=19 25 31 38 44;y=19.0 32.3 49.0 73.3 97.8;polyfit(x,y,2)得到ans=0.0497 0.0193 0.6882所求拟合公式为y=0.6882+0.0497x222.已知数据见下表，试求拟合公式y=a+blnx。x351020y3.54.84.24.5解：令 x1=