复变函数课件5-习题课

1、7/26/20221课件 一、重点与难点重点：难点：留数的计算与留数定理留数定理在定积分计算上的应用7/26/20222课件二、内容提要留数计算方法可去奇点孤立奇点极点本性奇点函数的零点与极点的关系对数留数留数定理留数在定积分上的应用辐角原理路西原理7/26/20223课件1）定义 如果函数在 不解析, 但在的某一去心邻域内处处解析, 则称为的孤立奇点.1. 孤立奇点的概念与分类孤立奇点奇点2）孤立奇点的分类依据在其孤立奇点的去心邻域内的洛朗级数的情况分为三类:i) 可去奇点; ii) 极点; iii) 本性奇点.7/26/20224课件定义 如果洛朗级数中不含 的负幂项, 那末孤立奇点 称为

2、 的可去奇点. i) 可去奇点7/26/20225课件ii) 极点 定义 如果洛朗级数中只有有限多个的负幂项, 其中关于的最高幂为即级极点.那末孤立奇点称为函数的或写成7/26/20226课件极点的判定方法在点 的某去心邻域内其中 在 的邻域内解析, 且 的负幂项为有的洛朗展开式中含有限项.(a) 由定义判别(b) 由定义的等价形式判别(c) 利用极限判断 .7/26/20227课件如果洛朗级数中含有无穷多个那末孤立奇点称为的本性奇点.的负幂项,注意: 在本性奇点的邻域内不存在且不为iii)本性奇点7/26/20228课件i) 零点的定义不恒等于零的解析函数如果能表示成其中在解析且m为某一正整

3、数,那末称为的 m 级零点. 3)函数的零点与极点的关系ii)零点与极点的关系如果是的 m 级极点, 那末就是的 m 级零点. 反过来也成立.7/26/20229课件 2. 留数记作定义 如果的一个孤立奇点, 则沿内包含的任意一条简单闭曲线 C 的积分的值除后所得的数称为以7/26/202210课件1)留数定理 设函数在区域 D内除有限个孤外处处解析, C 是 D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线, 那末立奇点留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数在C内各孤立奇点处的留数.7/26/202211课件(1) 如果为的可去奇点, 则如果 为 的一级极点, 那末 a) (2) 如果为的本性奇点,

4、则需将成洛朗级数求展开(3) 如果为的极点, 则有如下计算规则2)留数的计算方法7/26/202212课件 c)设及在如果那末为一级极点, 且有都解析，如果 为 的 级极点, 那末b)7/26/202213课件也可定义为记作1.定义设函数在圆环域内解析C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线那末积分值为在的留数.的值与C无关 , 则称此定 3)无穷远点的留数7/26/202214课件如果函数在扩充复平面内只有有限个孤立奇点, 那末在所有各奇点 (包括 点)的留数的总和必等于零. 定理7/26/202215课件3. 留数在定积分计算上的应用1）三角函数有理式的积分当历经变程时, z 沿单位圆周

5、的正方向绕行一周.7/26/202216课件7/26/202217课件 2）无穷积分7/26/202218课件3）混合型无穷积分7/26/202219课件 特别地7/26/202220课件 4.对数留数定义具有下列形式的积分:内零点的总个数, P为 f(z)在C内极点的总个数.其中, N为 f(z)在C且C取正向. 7/26/202221课件如果 f(z)在简单闭曲线C上与C内解析, 且在C上不等于零, 那么 f(z)在C内零点的个数等于乘以当z沿C的正向绕行一周 f(z)的辐角的改变量. 辐角原理 路西定理7/26/202222课件三、典型例题解7/26/202223课件解7/26/2022

6、24课件7/26/202225课件例2 求函数 的奇点，并确定类型.解是奇点.是二级极点;是三级极点.7/26/202226课件例3 证明 是 的六级极点.证7/26/202227课件例4 求下列各函数在有限奇点处的留数.解(1)在 内,7/26/202228课件解7/26/202229课件解为奇点,当 时 为一级极点，7/26/202230课件7/26/202231课件解的一级极点为7/26/202232课件例5 计算积分 为一级极点， 为七级极点.解7/26/202233课件由留数定理得7/26/202234课件例6 解在 内,7/26/202235课件7/26/202236课件解例7 计算 7/26/202237课件7/26/202238课件例8 计算解令7/26/202239课件极点为：7/26/202240课件例9 计算积