最新全国高中数学联赛一试试题

1、欢迎来主页下载-精品文档精品文档2013年全国高中数学联赛一试试题一.填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。.设集合A = 2,0,1,3,集合B=4xw A,2x2皂A，则集合B中所有元素的和为2 一二-T-.在平面直角坐标系 xOy中，点A、B在抛物线y =4x上，满足OA OB = -4 , F是抛物 线的焦点，则S OFA S ofb =.在 AABC 中，已知 sin A =10sin B sin C,cos A = 10cosB cosC ,则 tan A 的值为.已知正三棱锥P - ABC的底面边长为1,高为J2 ,则其内切球半径为.设a、b为实数，函数f(x)=ax+b

2、满足：对任意xw 0,1,有| f (x) 1 ,则ab的最大 值为.从1,2,20中任取5个不同的数，其中至少有 2个是相邻数的概率为.若实数x, y满足x -4网2 2 0,使得% _C 2n,n =1,2, 22x y.(本题满分20分)在平面直角坐标系 xOy中，椭圆的万程为 +Jr=1(ab0), a bA,A2分别为椭圆的左、右顶点，Fi,F2分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上不同于 A和A2 的任意一点.若平面中有两个点Q, R满足QA -LPA1,QA2_LPA2,RF1_LPF1,RF2 _L PF2,试确定线段QR的长度与b的大小关系，并给出证明。2.(本题满分20分)设函数

3、f(x)=ax +b,求所有的正实数对(a,b),使得对任意实数 x, y 均有 f (xy) f(x y) - f (x) f (y)2013年全国高中数学联合竞赛加试试题一.（本题满分 40分）如图，AB是圆编的一条弦，P为弧AB内一点，E、F为线段AB上 两点，满足AE=EF=FB.连接PE、PF并延长，与圆 编分别项交于点 C、D.求证：EF CD = AC BD（解题时请将图画在答卷纸上 ）（本题满分40分）给定正整数u、v.数列的定义如下：a1=u+v,对整数m1,a2m =am +u,2m+ = am +V.记Sm =ai+a2+am（m=1,2,）.证明：数列 拈口中有无穷多项

4、是完全平方数。三.（本题满分50分）一次考试共有 m道试题，n个学生参加，其中 m,n2为给定的整数.每道题的得分规则是：若该题恰有x个学生没有答对，则每个答对盖提的学生得 x分，未答对的学生得。分.每个学生的总分为其 m道题的得分总和.将所有的学生总分从高到低排列为p12P2 士A pn,求p1 +p2的最大可能值。四.（本题满分50分）设n,k为大于1的整数，n有一组有若干个数的和被n整除。2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：.评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分；其他各题的评阅，请严格按照本标准评分档次给给分，不要增加其他中间档次。.如果考生的解答

5、和本解答的不同，只要给合理的思路、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9题4分为一个档次.第10、11小题5分为一个档次,不要增加其他中间档次.一.填空题：本大题共 8小题，没小题8分，共64分.1答案：-5【解答】易知 B J L2,0,1,31当 x = 2,3时，2 x2 = 2,7 ,有 2 x2正 A；而当x=0,1时，2x2 =2,1,有2x2w A.因此，根据B的定义可知B=2,31所以，集合B中所有元素的和为-5.2答案：2 TOC o 1-5 h z 22【解答】点F的坐标为(1,0).设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1 =近，x2=y2,

6、故 HYPERLINK l bookmark73 o Current Document 44I2 HYPERLINK l bookmark48 o Current Document -4 =OA OB = xx2 y1y2 =16(yy2)y-12即 一(yy2 +8) =0,故 yy2 = -816一 一.1_ I I. .1_ I I, 1_ 2 ,一SFA SOFB =(2OF , y1) (2OF y2)=4OFy1y2=23答案：11【解答】由于 sin AcosA =10(sin BsinCcosBcosC) =10cos(B+C) =10cosA ,所以 sinA=11cosA,

7、故 tan A = 114.答案:【解答】如图，设球心 O在面ABC与面ABP内的摄影分别为 H和K, AB中点为M,内切球半径为r,则P、K、M共线，/PHM =/PKO=，2且 OH =OK =r,PO =PH -OH25 MH =VAB=VPM=mh2 PH2=2 1；=3OKPO=sin KPOMHPM2-65答案：一4【解答】易知a= f(1) f (0),b= f(0),则 TOC o 1-5 h z 1 r 21 r 21 r 21ab = f(0)(f(1)-f (0)，f(0)力):(f(1)：(f(1)七244411.1当 2 f(0) = f(1) =1 即 a=b =

8、时，ab =，故 ab的最大值为一2446答案232323【解答】设a a2 a3a4 =口 全=曳=1 aii m i d aiai且 bi J2,1,；2（1 Ei 0由于a0,故ax2可以取到任意大的值，因此必有i b占0,即：0 0可知a = i ,此时22g(x)=-2bx +(2bb ),其中b0,故g(x)可取到负值，矛盾)，于是22 ab 2 (ab12g(x)=(aa)(x 2)2b -ba-a a-a22b 2 b2.二 (aa)(x -) +(2 2a b)之0对一切实数 x成立，从而必有：a a 0 ,1-a 1-a即 0 :二 a ：二 1进一步考虑到 “_0,再根据

9、gd-b-)：-(22ab)至0 ,可得：2a + bE21 -a-1 -a 1 -a至此，求得a,b满足的必要条件如下：0 b 1,0 a -2xy,可得：2 2_2h(x, y) _ (a -a )x y a(1 -b)(2xy) 2axy (2b -b )22 2_2=(a -a )x y 2abxy 2b -b2b 2 b=(a -a )(xy -)(2 -2a -b) -01 -a 1 -a综上所述，所求的正实数对 (a,b)全体为(a,b)0b1,0a1,2a + b22013年全国高中数学联赛加试试题参考答案及评分标准【证明】连接 AD, BC,CF ,DE .由于AE =EF

10、= FB ,从而BC sin . BCE BE=一=2 AC sin . ACE AE同理可得：AD sin . ADF AF 小 二2BD sin BDF BF另一方面，由于BCE = BCP = BDP = BDFACE = ACP = ADP = ADF故将两式相乘可得：BC ADAC BD=4,即BC AD =4AC BD由托勒密定理AD BC =AC BD +AB CD 由得：AC CD =3AC BD 即：EF CD - AC BD二.【证明】对正整数 n ,有S2n 1 3=al(a2a3)(a4a5)( a2n 1 _2a2n 1)=u v(a1u a1v)(a2 ua2v)，

11、一 (a2nua2nv)= 2n(u v) 2s2n所以 S2nq =2n4(u v) 2s2n J =2n，(u v) 2(2n”(u v) 2s2n-)=2 2n 4(u v) 22S2n24= (nT) 2n(u v) 2n4(u v)二(u v)n 2n1设u +v =2k q ,其中k是非负整数，q是奇数.取n=q2 ,其中l为满足l三k 1(mod 2)2的任意正整数，此时S2n=q2l2 2kM ,注意到q是奇数，故：222-k 一1 ql 三 k -1 l 三 k -1 (k -1)= k(k -1)三 0(mod 2)所以，S/是完全平方数.由于l有无穷多个，故数列a中有无穷

12、多项是完全平方数。三.【解答I对任意的k =1,2,；m,设第k题没有答对者有Xk人，则第k答对者有n-Xk人，由得分规则知，这nXk个人在第k题均彳#到Xk分.设n个学生的得分和为 S,则有 TOC o 1-5 h z nmmm2、Pi = S = Xk(n -Xk) = n Xk Xki 1k 1k ak=1因为每一个人在第 k道题上至多得Xk分，故mP1Xkk=1由于P2有pnvp2+pn：+pn=常，所以S - P1P1Pn - P17n -1n-2 S ,n-2: P1:n -1 n -1 n -1mm(n% Xk - % X2)k 1 k 1 TOC o 1-5 h z HYPER

13、LINK l bookmark104 o Current Document m1 m=2 .二Xk 、x：k 1 n -1 k wmm由柯西不等式可得:、X2(、Xk)2k 1 m k Tm于ZE p1pm - 2Xkk 11m(n -1)m(：)=一不mC xk - m(n -1)2 m(n -1)k 1-m(n -1)另一方面，若有一个学生全部答对，其他 n-1个学生全部答错，则 m Pl Pn =Pi =(n -1) =m(n -1) k 1综上所述，p1 + pn的最大值为m(n -1)四.【证明】先考虑n为2的哥的情形。设n=2，则卜.取3个2及2卜3个1,显然这些数 字均不被n整除.将2k个数任意分成两组，则总有一组中含有2个2，他们的和为2，被n整除。现在设n不是2的哥，取2k个数为-1,-1,-2,-22,2心1,2,22, ；2k因为n不是2的哥，故上述2k个数均不被n整除。若可将这些分成两组， 使得每一组中任意若干个数的和均不能被 n整除。不妨设1在第 一组，由于-1+1=0,被n整除，故两个-1必须在第二组；因为(-1) + (-1) +2=0,被n整 除，故2在第一组，进而推出-2在第二组。现在归纳假设1,2,-41均在第一组，而1,1,2, ;2l均在第二组，这里1 El Ek 2, 由于(一1)十(-1)+(_2) +(-2)l +2