时间序列上机实验ARMA模型的建立

1、实验一 ARMA模型建模一、实验目的学会检验序列平稳性、随机性。学会分析时序图与自相关图。学会利 用最小二乘法等方法对ARMA模型进行估计，以及掌握利用ARMA模型 进行预测的方法。学会运用Eviews软件进行ARMA模型的识别、诊断、 估计和预测和相关具体操作。二、基本概念宽平稳：序列的统计性质不随时间发生改变，只与时间间隔有关。AR模型：AR模型也称为自回归模型。它的预测方式是通过过去的观测值 和现在的干扰值的线性组合预测，自回归模型的数学公式为：y y + y + y + 8t 1 t1 2 t2p tp t式中：p为自回归模型的阶数（i=1，2, .，p）为模型的待定系数，为 误差，y

2、t为一个平稳时间序列。MA模型：MA模型也称为滑动平均模型。它的预测方式是通过过去的 干扰值和现在的干扰值的线性组合预测。滑动平均模型的数学公式为：y 8 0 8 0 8 0 8t t 1 t1 2 t2q tq式中：q为模型的阶数；0 （j=1，2, .，q）为模型的待定系数；8为误J.t差；yt为平稳时间序列。ARMA模型：自回归模型和滑动平均模型的组合，便构成了用于描述 平稳随机过程的自回归滑动平均模型ARMA，数学公式为：y y + y + + y +8 08 0 8 0 8t 1 t 1 2 t 2p t p t 1 t 1 2 t 2q t q三、实验内容通过时序图判断序列平稳性；

3、根据相关图，初步确定移动平均阶数q和自回归阶数p；对时间序列进行建模四、实验要求学会通过各种手段检验序列的平稳性;学会根据自相关系数和偏自相关系 数来初步判断ARMA模型的阶数p和q，学会利用最小二乘法等方法对 ARMA模型进行估计，学会利用信息准则对估计的ARMA模型进行诊断, 以及掌握利用ARMA模型进行预测。五、实验步骤.模型识别(1)绘制时序图在Eviews软件中，建立一个新的工作文件，500个数据。通过Eviews生 成随机序列“e”，再根据“x=*x(-1)*x(-2)+e”生成AR(2)模型序列“x”， 默认x (1) =1, x (2) =2,得到下列数据，由于篇幅有限。只展示

4、一部 分。 Series: X Workflle: UNTITLE D:UntitledI = II 回 lllView|Proe| Objertl Properties Print Name|Freeze) Default Ert| Edit47-| mpl4/-|L；X4700.79 570 J4471-0.057SS44720.4739164730.67796&474-0.828627475-1.7275&7476-1,779737477-1.03245-64781.22665-64790.5948924300.247270481-0.1024694321.2831634830.9770

5、924340.758003485-0.60973-6486-1.343801487-1.491639488-0.490594489-0.189243490237U974911 26432492-0.235176493-0.651486494-0.373488495-0.649214496-0.656081497-0.619J498-1.29482伽-131164J500-1.7831UTW|WI 图一：x的数据图对序列x进行处理。首先，生成时序图二，初步判断其平稳性:图二：时序图通过上图可知，此序列为平稳非白噪声序列，可以对其进行进一步的处理分析，进而建模。2）绘制序列相关图（滞后阶数为22阶

6、）Vieiiw |少凸仁|PmpertiEi=| 箱| Mmmj| FrEiEiZE! MmEplei| Gmnr| Eh隹日七| Grmph | Etats | Idmrit:|Autocorrelation Partial Correlation AC PAG Q-S-tat ProbISeries: X Workfile: UNTITLED:UntitledVrii hi iiiCorr logram of Xate: 11/2S/12 Time: ll：43Sample: -1 500Included observations: 500136 88 137.07 152 53 171.

7、57 171 74 172.13 174-.10 174.16 174.96 17511 175.16 1T5.19 175.20 177.65 136.92 -190.72 19a.060.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.000 .0000.0000.0000.0000.00010.5220.5222-0.020-0.40 13-0.225-0.0024-0.134O.OJS5-0.01S-0.0+4-60.0530.04870.0 42-0.0273-0.011-0.025-9-0.0 400.00410-0.0

8、170.011110.010-0.005-120.007-0.01413- 0060.00214-0.069-0.09915-0.134-0.070160.0 590.036170.0 51-0.011图二：序列自相关和偏自相关图从相关图看出，自相关系数迅速衰减为0,偏自相关系数二阶截尾，说明 序列平稳。当Q统计量大于相应分位点，或该统计量的P值小于时则可以以的置信 水平拒绝原假设，认为该序列为非白噪声序列；否则，接受原假设，认为 该序列为纯随机序列。而由下图可以看出Q统计量足够大且P统计量足够小，满足拒绝原假设 的条件，认为该序列为非白噪声序列。故可以对序列采用B-J方法建模研究。ADF检验

9、序列的平稳性在经过上面直观判断后，下面通过统计检验来进一步对其进行证实，在如 下对话框中选择对常数项，不带趋势的模型进行检验后点击ok，出现图 五，由图五中统计量可得，拒绝存在一个单位根的原假设，序列平稳。图四Viewlprot=ObjectPropertiesPrintNameFreezeSampleGenrSheet|GraphStatsIdent|Auginented Dickey-Fuller Unit RootTe-sl onXNull Hypothesis: X has a unit rootExogenous: ConstantLag Length: 1 (Automatic t

10、ased on SIC, MAXLG=22)t-StatisticProb.Augmented Dickey-Fuller test statisiic-16.647540.0000Test critical values:1 % level5% level10% level-3443254-2.867124-2.569806blacKinnon (1996) one-sided p-values.Augmented D ickey-Fuller T est EquationDep&ndentVariab-le; DX)Method: Least Squaresate: 11/28/12 Ti

11、me: 11:45Sample (adjusted): 3-500Included observations: 498 after adjustmentsVariableCoefficientStd. Errort-Stati3ticProb.X(-1-0.6700+90.0+0249-16.647&40.0000om)0.4014470.04-116097&32J4O.OOCOC0.03276S0.0460690.7115S20.4772R-squared0.361722Mean dependentvar-0.007597Adjusted R.-squared0.3591SLD. depen

12、dentvar1.282479S E. of regression1.026670Akaike info criterion2.896524Sum squared resid5217554Schwarz crite rion2 921BS9Log likelihood-718.234&Hannan-Quinn criter.2.906479F-statistic14-0.2618Durbin-Watson stat1.99642SProbCF-statistic)0.000000图五：ADF检验4）模型定阶由图三可以看出，偏自相关系数在k=2后突变为0,且后面的值均在0附 近，故可判断其偏自相

13、关系数明显为2阶结尾，可尝试用AR（2）进行 拟合。而自相关系数开始渐变，且后面还有接近甚至稍大于两倍标准差的 （已在途中用红圈标出），故一方面可判断其拖尾；另一方面，k=3后自 相关系数突然变为几乎为0，后面基本都在2倍标准差内浮动，可认为其有4阶截尾的嫌疑。故后面会对AR(2)、MA(4)以及ARMA(2,4)分别进行 考虑。点击 View/Descriptive Statistics/Histogram and States 对原序列做描述统计 分析得到图六，可见序列均值为，不为0,但由于通常是对0均值平稳序 列做建模分析，故需要在原序列基础上生成一个新的0均值序列。点击主菜单Quick

14、/Generate Series，在对话框中输入赋值语句y=，点击ok生成新序列y，故所得序列y是0均值的平稳非白噪声序列。重复上面操 作序列y进行描述统计分析得到图七，由于y相当于对序列x的平移，故统计特性本质上未发生改变，所以可通过分析y来得到x的特性。图六：原序列作描述统计分析3 Series: Y Wo-rkFile: UNTITLED:UntitledProc| Object PropertiEsI Print hJamr | Frwne| SaEptel Genr| SliEEt| Graph | Stats | Itlent|-2.50- .25 SW 1.25Series: Y

15、Sample 1 500Observations 50QMe-an-3.76&-07Median0.G25337Maximum4.234S74Minimum-4.475+77Std. Dev.1.3127-90Skew/nes-s0.042010Kurtosis3.S33967Jargue-Bera3.299052Probability0.1921 41图七：Y序列作描述统计分析.模型参数估计1)尝试AR模型。由上面通过识别所确定的阶数2,可以初步建立AR (2)。 在主窗口输入ls y ar(1) ar(2)，其中ar(i)(i=1，2)表示自回归系数， 得到图9,即得模型估计结果和相关诊断

16、统计量。由伴随概率可知，AR (1)、AR(2)均高度显著，表中最下方给出的是滞后多项式的倒数根， 只有这些值都在单位圆内时，过程才平稳。由表可知，这三个根都在单位 圆内。另外，表中还有其他有价值的统计量：AIC、SC准则是选择模型时需要参考的重要指标，其值越小越好。DW统计量是对残差的自相关检验统计量，在2附近，说明残差不存在一 阶自相关。得到的自回归模型如下：y = 0.731404y- 0.4014467y+ eO Equation: UNTITLED Workfile-: UNTITLED:Untitled切ewi | Proc| OfajEct| Frint| Name I Free

17、ze! Estimate I Forerastl Stats | Resich IDependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 11/23/12 Time: 11:55Sample (adjusted): 3 500Included observations: 498 after adjustmentsConvergence achieved after 3 iterationsVariableCaefficientStri Errort-StstisticProbAR(10.7314a4Ci.0+10 9517.797740.0000AR(2

18、)0.401467Ci.041119-9.76 35690.0000R-squared0.389959Mean dependentvar-0.00&301Adjusted R-squared0.388729S.D. dependent var1.311838S.E. of regression1.025645-Akaike info criterion2.392528Sum squared resid521.7656Schwarz crite rion2.909433Log likelihood-713.2394Hannan-Quinn criter.2.399164 urbin-Watson

19、 stat1.996400Inverted AR R.o ots.37-.沮.37 七 52图八：AR（2）2）尝试MA模型（此时假定其自相关系数拖尾）根据上面的估计再参照上面的操作步骤:在主窗口输入 ls y ma(1) ma(2) ma(3) ma(4),其中 ma(i)(i=1,2,3,4)表示自回归系数，得到图九 Equation: UNTITLED Workfils: UNTITLED:UntitledV | = | IsJ |ulMewv | CPbjKt | Name I f=rkee； | EutiirirtEi Fiprwiimwtl ResidslDependent Var

20、iable: Method: Lesst SquaresDate: 11/29/12 Time: 11:57Sample: 1 50 Included abse nratians: 5-0 0Convergence achievedl after S IterallonsMA Backcast: -3- VarlsiEleCoeHicientStd. Errort-StatlstlcProt.MA( 1)0.7306410.067 01 6.3-5667 ,OCOQMA(2)0.1 36674-0.0547032.49 6 6270.0129MACS)-0.2-1-51300.0573-6-3

21、.93-0 3170.0001MAC4)-0.-1173560.044-74-6-2.0227690.0090R-squared0-39 0T87Mean die pendent ar-3-.70E-Q7A dijusted R-sq u aredl0_8TQ2S.D. die p endent var1.3-1 2TIQS.E. or regression1.02T754Akaik info criterionJZ.9 0 059TSum squaredl resld53.9142.Schwarz crltnonJ2-9-34314Log llkcllhoodi-721.1492Hannan

22、-auinn enter.2.01 3S27Durbin-Watson slat1.380508Inverted MA Roots.S336-.531-38-.S3i-SI图九：MA（4）模型从估计结果的相伴概率可知，ma(1) ma(2) ma(3) ma(4)的系数均高度显著 表中最下方是滞后多项式的倒数根，可见这些值都在单位圆内，故平稳。 得到的结果如下X = E + 0.730641E 1 + 0.136574E 2 -0.215130E 3-0.117358E 4 + u(3)尝试ARMA模型由模型定阶可知，p可能等于2, q可能等于4，此处根据不同组合结 果选择最优模型。在方程定义

23、空白区键入LS y ar(1) ar(2) ma(1) ma(2) ma(3) ma(4)，即得到参数估计结果见图十：ITI Equation:： UNTITLED W&rkfile: UNTTLED-：:Untitled | d | 回 llEIVie牌|Prod口切wet| Print|NarrFreczel EsUmatjel Forecast Sta扫| R已sidw| epen dent Vari a ble: YMethod: Least Squaresate: 11/28/12 Time: 12:00Sample (adjusted): 3 50 0Included observ

24、ations: +98 after adjustmentsConvergence achieved after 8 iterations MA Backcast. -1 2.VariableCoefficient&td. Errort-StatisticProb.ARC1)0.7570 300.45S8621.6680830.0959-0.3276 350.294531-1.1123960.2665-MAQ1)-0.0210290.456S99-0.04602&0.9633-册-0.C821J-D0.16 6979-0.491921 .6230雄-0.0962350.16 5362-0.&81

25、9630.5609MAf4)0.0526-8S0.1460630.350723 7135-itR-squaredAdjusted R-squared S.F. of reoression Sum squared resid Lag HKeiinood DLirbin-Watson stat0.393209 0.337 0 42 1.0270 59 5-18.90 64 -Fl 6.9095 1.997260Mean dependentvar s.D. dependlent var Aka ike info criterion Scliwarz criterion Hannan-Quinn cr

26、lte r.-0.005S011.3113332.9032512.9539012 923161图十：ARMA(2,4)由参数估计结果看出，各系数均不显著，说明模型不适合适合拟合ARMA(2，4)模型。经过进一步筛选，逐步剔除不显著的滞后项或移动平均项，最后得到如下ARMA（2, 4）模型： Equation: UNTITLED Workfile: UNTITLED:IJntitled | = | 回 IlBKSdVie同| Prex | dbject| Frint| 印日rr己 | Free工己 | EstjrnatE | Fii己匚Stats | R己sick |Dependent Vari

27、able: Method L白白st SquaresDate: 11/28/12 Time: 12:04Sample (adjustedk 2 500Included observations: +93 after adjustmentsConvergence achieved after 6 iterationsMA Backcast: -1 2Vd.r idblb!CufcjfTiuienLSid. ErrurL-SLd.LisLicPrcb.arci)0.74-851 60.04254317.5-94300.0030AR2)-a.410&7 80.04Z14S-9.8834680.003

28、0a.0623-000.0471-851.322035O.185SR-squared,392004Mean dependent var-O.OO&0-J1Adjusted R-squaredCi.389543SlD. dependentvar1311SJSS.E. of regression1.0249 &8Akaike info criterion2.89 3-135Sum squared resid520.0164Schwarz crite rion2.918551Loa likelihood-T17 40G2Hannan-Quinn criter.2.903-140Durbin-Wats

29、on stat2.022700Invertedl AR. Roots.37+.53i37-. 5-3 iInverted MA Roots,3E-.35i,35-.3.5i-,35-t-.35i-,35-i-.35i图十一：ARMA（2,4）综上可见，我们可以对同一个平稳序列建立多个适合模型，但比较AIC和SC的值，以及综合考虑其他检验统计量，考虑模型的简约原则，我们 认为AR（2）模型是较优选择。结果为：y = 0.731404y1 - 0.4014467y2 + e.模型检验参数估计后，对拟合模型的适应性进行检验，即对模型残差序列进行白噪 声检验。若残差序列不是白噪声，说明还有重要信息没被

30、提取，应重新设 定模型。对残差进行纯随机性检验，也可用针对残差的2检验。通过两种方法进行X2检验a.对模型的残差序列resid进行相关图分析。b.用Eviews作出残差相关图，如图十二。相关图显示，残差为白噪声。也显示拟合模型有效，模型拟合图见图十三。|Pnnt| Mama| S心气| Estimate | Forecast-Carreloram of ResidLialsDate 1V2B/12 Time; 20; 12nsincluded昂98Q-staiistic oro&abihiis aausted for 2 arm冉加rm惜)兰AyfQCQrrllcmPrtjgl C*P旱甲Hp

31、nAC PAC夺 Si 画 Pro-bl1b1 -0.000 -0 OflO 2.E-06I12 0.01S 0.D16 Q.123611t3 4。抽-员胡 0.871。祷11p4 0.054 0.053 2.31S5 0占1IE1115 -0 03 -0 033 2.850 D M111|t6 0 016 0 013 3.0221 0 55111|l7 0 009 0 014 3.0629 0.&9i1rB 0.011 -0.017 11229 0.75Kp9-0.024 3.5235 0531hID -O00U -ODfll 3.5235 0.3911，11 0.009 0 0)9 3.5

32、693 0.9 312 -0.045 -0.045 4.5034 0 911d1fc13 0 001 0 003 4W1 Q 941j1IpM O.OOS 0.010 4.6471 此。6口tI15 -fl. 19 -p 134 # 1 鄂？ 0 7 .iGr16 -0.059 .0.053 15.0C5 D.37o11J17 0 097 0.1-01 19.8B8 0.177|113 -4.0S9 -0.D72 21.656 4.15511119 0.024 0.043 2i 955 0JS5IBiiiI:20 -0.057 .0.0-51 29.660 0.1661!1r21 -0 004

33、 -0.025 23.669 0 209151:2S C.07926 9命 0,i37118k23 0.029 0.D13 27.366 fl. 159111f2d 0 015 0 04)7 57.489 0 193图十二：AR (2)模型残差相关图.模型预测在得到模型后，尝试运用模型进行短期预测，此处预测来三期的数据。 首先扩展样本期，在命令栏输入expand 1 2503,回车，样本序列增加至 2503，最后共有三个变量值为空。在方程估计窗口点击Forecast，出现图 14，预测方法常用有两种：Dynamic forecast和Static forecast，前者根据 所选择的一定的估计区间，进行多步向前预测；后者只滚动的进行向前一 步预测，即每预测一次，用真实值代替预测值，加入到估计区间，再进行 向前一步预测。选择Dynamic forecast，点击ok，出现图15预测对话框：Forecast-Forecast ofEquation: LlhnTRED-Output匠 Forecast graph匠 Forecast evaluation-M