最优化方法实验

1、摘要最优化理论和方法日益受到重视，已经渗透到生产、管理、商业、军事、决 策等各个领域，而最优化模型与方法广泛应用于工业、农业、交通运输、商业、 国防、建筑、同学、政府机关等各个部门及各个领域。伴随着计算机技术的高速 发展，最优化理论与方法的迅速进步为解决实际最优化问题的软件也在飞速发 展。其中，MATLAB软件已经成为最优化领域应用最广的软件之一。有了 MATLAB 这个强大的计算平台，既可以利用MATLAB优化工具箱(OptimizationToolbox) 中的函数，又可以通过算法变成实现相应的最优化计算。在最优化计算中一维最优化方法是优化设计中最简单、最基本的方法。一维 搜索，又称为线性

2、搜索，一维问题是多维问题的基础，在数值方法迭代计算过程 中，都要进行一维搜索，也可以把多维问题化为一些一维问题来处理。一维问题 的算法好坏，直接影响到最优化问题的求解速度。而黄金分割法是一维搜索方法 中重要的方法之一，它适用于任何单峰函数求最小值的问题，甚至于对函数可以 不要求连续，是一种基于区间收缩的极小点搜索算法。 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark1 o Current Document 摘要 1 HYPERLINK l bookmark9 o Current Document 一、引言 2二、最优化方法原理 32.1无约束问题的最优性条件 3三、黄金分

3、割法的基本思想与原理 43.1黄金分割法基本思路：4 HYPERLINK l bookmark23 o Current Document 3.2黄金分割法的基本原理与步骤4 HYPERLINK l bookmark26 o Current Document 3.3 0.618 法算法5 HYPERLINK l bookmark34 o Current Document 3.4算法流程图6 HYPERLINK l bookmark37 o Current Document 3.5用mat lab编写源程序 6第四章黄金分割法应用举例 7例 1 7 HYPERLINK l bookmark45 o

4、 Current Document 例 2 8第五章总结 9一、引言数学科学不仅是自然科学的基础，也是一切重要技术发展的基础。最优化方 法更是数学科学里面的一个巨大的篇幅，在这个信息化的时代，最优化方法广泛 应用于工业、农业、国防、建筑、通信与政府机关、管理等各个部门、各个领域; 它主要解决最优计划、最优分配、最优决策、最佳设计、最佳管理等最优化问题。 而最优解问题是这些所有问题的中心，是最优化方法的重中之重，在求最优解问 题中，有多种方法解决，我们在这里着重讨论无约束一维极值问题，即非线性规 划的一维搜索方法之黄金分割法。黄金分割法也叫0.618法，属于区间收缩法， 首先找出包含极小点的初始

5、搜索区间，然后按黄金分割点通过对函数值的比较不 断缩小搜索区间。当然要保证极小点始终在搜索区间内，当区间长度小到精度范 围之内时，可以粗略地认为区间端点的平均值即为极小值的近似值。所以用0.618 法得出的是比较精确的最优解了。二、最优化方法原理2.1无约束问题的最优性条件无约束问题的最优解所要满足的必要条件和充分条件是我们设计算法的依 据，为此我们有以下几个定理。定理1 设f：Rn T R1在点X处可微。若存在p e Rn，使V f ( X ) T p f (a 2),令 a = a1,a1 = a 2, a 2 = a + r * (b 一 a)；如果 f (al) 0 ；计算 r = a

6、 + 0.382 (b - a), u = a + 0.6l8 (b - a);；若 f (r) f (u)，转(4)，否则转(5)若 u 一 r eps，则停，输出 x*= u, f * = f (u)否则令a = r , r = u , u = a + 0.618 (b 一 a)，转(3)若 u - r 1e-5iter=iter+1;lambda=a+0.382*(b-a);miu=a+0.618*(b-a);dy,f1=fun1(lambda);dy,f2=fun1(miu);if f1f2a=lambda;disp(the num2str(iter) iteration search

7、 area is : num2str(a) , num2str(b) ) elseb=miu;disp(the num2str(iter) iteration search area is : num2str(a) , num2str(b) ) endendx=(a+b)/2;dy,fval=fun1(x);funl程序function dy,val=fun1(x) %val=exp(-x)+exp(x);%dy=-exp(-x)+exp(x);%val=-(sin(x)A6*tan(1-x)*exp(30*x);%dy=-(6*(sin(x)A5*cos(x)*tan(1-x)*exp(30

8、*x)+(sin(x)A6*( 1/cos(1-x)A2*(-1)*exp(30*x)+(sin(x)A6*tan(1-x)*exp(30*x )*30);四、黄金分割法应用举例4.1 例 1根据0.618算法编写程序，求函数f (x) = (sin x)6 tan( 1 一 x)e30 x在区间ki上的极大值。解：令 g (x) = - f (x) = -(sin x)6 tan( 1 一 x)e30 x，求 min g (x)XG0,1funl程序为：function dy,val=fun1(x)val=-(sin(x)A6*tan(1-x)*exp(30*x);dy=-(6*(sin(x

9、)A5*cos(x)*tan(1-x)*exp(30*x)+(sin(x)A6*(1 /cos(1-x)A2*(-1)*exp(30*x)+(sin(x)A6*tan(1-x)*exp(30*x) *30);取 eps=1e-5运行结果：x,fval,iter=f618(0,1)theliterationsearchareais:0.382,1the2iterationsearchareais:0.61808,1the3iterationsearchareais:0.76397,1the4iterationsearchareais:0.85413,1the5iterationsearchare

10、ais:0.90985,1the6iterationsearchareais:0.94429,1the7iterationsearchareais:0.94429,0.97872the8iterationsearchareais:0.95744,0.97872the9iterationsearchareais:0.96557,0.97872the10iterationsearchareais:0.96557,0.9737the11iterationsearchareais:0.96867,0.9737the12iterationsearchareais:0.96867,0.97178the13

11、iterationsearchareais:0.96986,0.97178the14iterationsearchareais:0.96986,0.97104the15iterationsearchareais:0.97031,0.97104the16iterationsearchareais:0.97031,0.97077the17iterationsearchareais:0.97049,0.97077the18iterationsearchareais:0.97059,0.97077the19iterationsearchareais:0.97059,0.9707the20iterati

12、onsearchareais:0.97063,0.9707the21iterationsearchareais:0.97063,0.97067the22iterationsearchareais:0.97065,0.97067the23iterationsearchareais:0.97066,0.97067the24iterationsearchareais:0.97066,0.97067x =0.9707fval =-4.1086e+010iter =24则 min g (x)为 4.1086e+010 止0,14.2 例 2求函数W (t) = e-1 + et在-1,1内的极小值解：f

13、un1程序为：function dy,val=fun1(x) val=exp(-x)+exp(x);dy=-exp(-x)+exp(x);令 eps=1e-5 运行结果； x,fval,iter=f618(-1,1)theliterationthe2iterationthe3iterationthe4iterationthe5iterationthe6iterationthe7iterationthe8iterationthe9iterationsearch area is search area is search area is search area is search area is

14、search area is search area is search area is search area isthe10iterationthelliterationthe12iterationthe13iterationthe14iterationthe15iterationthe16iterationthe17iterationthe18iterationthe19iterationthe20iterationthe21iterationthe22iterationthe23iterationthe24iterationthe25iterationthe26iterationsea

15、rch area is search area is search area is search area is search area is search area is search area is search area is search area is search area is search area is search area is search area is search area is search area is search area is search area is-1,0.236-0.52785,0.236-0.23606,0.236-0.055732,0.2

16、36-0.055732,0.12456-0.055732,0.055688-0.01317,0.055688-0.01317,0.029384-0.01317,0.013129:-0.0031238,0.013129:-0.0031238,0.0069202:-0.0031238,0.0030834:-0.00075262,0.0030834:-0.00075262,0.001618:-0.00075262,0.00071244:-0.00019297,0.00071244:-0.00019297,0.00036658:-0.00019297,0.00015283:-6.0873e-005,0.00015283:-6.0873e-005,7.1195e-005:-6.0873e-005,2.0745e-005:-2.9695e-005,2.0745e-005:-1.0427e-005,2.0745e-005:-1.0427e-005,8.8374e-006:-3.068e-006,8.8374e-006:-3.068e-006,4.2895e-006x =6.1078e-007fval =2.0000 iter =26则原式极小值为：6.1078e-007五、总结最开始接触黄金分割法大概要算初中时候学过的黄金分割点，是把一条线