集合的概念与运算教学讲义

1、集合的概念与运算教学讲义ZH 5uHI SJMU LI SHU WG JVZJCEI I知识榛理1.集合与元素一组对象的全体构成一个集合.(1)集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性.(2)集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A,aC A 或a?A ,二者必居其(3)常见集合的符号表示.数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*ZQR(4)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法、区间表示法.集合的分类：集合按元素个数的多少分为有限集、无限集，有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示.集合之间的基本关系关系定义表小相等集合A与集合B中的所启儿系都 相向_A = _B子集A

2、中的任意一个兀素都是B中的兀素_A ? B真子集A是B的子集，且B中至少有一个兀素不属于A_AB注意：(1)空集用_?_表示.(2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n ,真子集个数为2n 1 ,非空真子集的个数为的2 .(3)空集是任何集合的子集，是任何一非空集合 的真子集.(4)若 A? B, B? C,贝U A ?C.集合的基本运算符号语百交集An B并集AU B补集?UA图形语百意义An B=x|xC A 且 xCAU B = x|xC A 或 xC?uA=xxe U 且 x?ABBM ZFKJMti YAL .hl- LUNp重要结论Ana=a, An? = ?.AU A=A,

3、 AU? = A.AA(?uA)=?, AU(?uA)=U, ?u(?uA) = A.A? B? AA B= A? AUB=B? uA? uB? AA(?uB)=?.睇Jl 21 在 CJIt产双基自厕0.已知集合 A=xCN|0WxW 4,则下列表述正确的是 (D )A. 0?AB. 1? AC.2? AD. 3C A解析集合 A=xC N|0 x0, B = x|-1x2,则 AUB= ( A )B. x|x 1C. x|0 x 2x|- 1x- 1,故选 A.5.(文)已知 A=x|x+ 10 , B= -2, 1,0,1,贝U(?rA)AB( A )A.-2, 1B.-2C.-2,0,

4、1D.0,1(理)已知集合 P=xC R|1x4,则 PU(?rQ)=( B )A.2,3B.(-2,3C.1,2)D.( 8, 2 U 1 , i)解析(文)”=*恒+10 = x|x1, .1.?rA=x|x4 = x R|x 2 或 xW 2 ,，？rQ= xC R| 2x2 , B= x|y=/x1,则(A )A. A? BB. AUB=AC. AAB=?D. AA(?iB)w?解析(文).集合 M = x|x|W1=x|1WxW 1 , N=y|y=x2, xC R =y|y0, .MAN= 0|0 x2 = (1 , +8), B = x|y = x1 = 1 , + f .A?

5、B.故选A .方法技巧判断集合间关系的三种方法（1）列举法：把元素一一列举观察.（2）集合元素特征法：首先确定集合中的元素是什么，弄清集合中元素的特征，再利用集合中元素的特征判断关系.数形结合法：禾1J用数轴或Venn图.8.（文）（2018北京东城区月考）已知集合 M = x|xw a, N=x|-2x0,若MAN=?,则实 数a的取值范围为（D ）A. （0, +OO ）B. 0, +OO）C. （一00, 一 2）D . （一00, 一 2（理）（2018 吉林长春检测）已知集合 A=xax1 = 0, B=x|1log2x 2, xCN*,且 AAB = TOC o 1-5 h z A

6、,则实数a的所有可能取值组成的集合是（D ）A. ?B. 1111C. ? 4D. 0,4解析（文）因为 M = x|xwa, N=x|-2x0,由 M n N= ?，得 aw 2.故选 D.（理）由 AAB= A,得 A? B. .B = x|1log2xW2, xC N*=x|2x 4, xCN* = 3,4.当 A=?时，则方程ax-1 = 0,无实数解，a=0,此时显然有A? B,符合题意；当Aw?,则由方程ax1=0,得x= 1要使A? B,则1=3或1=4,即a =：或1.综上所述，a的所有可能取 aa a3 4值组成的集合是0, 3, 4 .故选D.KMp： _I11fM1ILA

7、Q DIAH TU PC HU IXJNG TAiN jru考点1集合的基本概念自主练透*例1 （1）已知集合A=x|x=3k+1, kC Z,则下列表示不正确的是 （C ）A. 2C AB. 2019?AC. 3k2+ 1?AD. 35 A（2）（2018课标n , 2）已知集合 A=（x, y）|x2+y2W3, xCZ, yCZ,则A中元素的个数为（A ） TOC o 1-5 h z A. 9B. 8C. 5D. 49（3）若集合A=xC R|ax23x+ 2 = 0中只有一个兀素，则a=0或.（4）已知 aCR, bC R,若a, b, 1=a2, a+b,0,则 a2019+ b20

8、19=-1 .a一一,一，,2一皿解析(1)当2=3k+1 时，k= 1 CZ,故 A 正确；当 2019=3k+1 时，k= 6723?Z,故 3B正确；当35=3k+ 1时，k=- 12 Z ,故D正确.故选 C.(2)本题主要考查集合的含义与表示.由题意可知A=( 1,0), (0,0), (1,0) , (0, 1), (0,1),(-1, 1), (1,1), (1, 1), (1,1),故集合 A 中共有 9 个元素，故选 A.4一2(3)若a = 0,则A=0,符合题意；若aw。，则由题意得 A= 9 8a = 0,解得a = .8综上，a的值为0或号.8(4)由已知得 a =

9、0, .1.b=0, a,0,1 = a2, a,0, -.a2= 1, a=1 或 1(舍)，a2019+b2019 =-1,故填一1.名师点拨 ？(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中元素是否满足互异性.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.考点2集合间的关系一一师生共研*例2 (1)已知集合 A=x|x2-3x+2=0, xCR, B= x|0 x5, xC N,则(C )A. B? AB. A=BC. A

10、BD. B A(2)(2018云南第一次检测)设集合A=x|-x2-x+20,则集合A与B的关系是(A )A. B AB. B AC. BC AD. AC Bn1(3)(又)(2018 汪西八校联考)集合 M=x|x= 2+1, nCZ, N=y|y=n+-, n Z,则两集合M , N的关系为(D )A. MP N=?B. M=NC. M ND. N M(理)(2018广西梧州临川期中)设集合M = x|x=k + 2，kCZ, N=x|x =5+1, kCZ,则 3 66 3A. M= NM NN MM n(4)已知集合 A=x|-2 x5 , B=x|m+ 1x2m- 1 w?,若 AA

11、B=B,则实数 值范围为2,3_.解析(1)A=x|x2-3x+ 2=0, xC R =1,2 , B = x|0 x5, x N = 1,2,3,4,5(2)A=x|-x2-x+ 21 或 x0 = x|x2 .m的取.A B.B A,故选 A.（3）（文）解法一：（列举法）13113 5M,故由题息知：M = , 0, 2 1 , 2 2, N=，一2，22，,显然 N选D.解法二：（描述法）n+ 2M = x|x=-2-, nC Z,2n+ 1N=y|y= -2-，ne Z .,n + 2表示所有整数，而 2n+1表示所有奇数，. N M,故选D.（理）解法一：（列举法），由题意知111

12、15 7 TOC o 1-5 h z M = -2，- 6，6，2，6，6，11112 5,N-6，0 6，3，2, 3，6，显然M N,故选B.解法二：（描述法）2k+ 1k+4M = x|x=-6, kCZ, N=x|x = , kCZ- 12k+ 1表示所有奇数，而 k+ 4表示所有整数（kCZ）.M N,故选 B.(4)由 AA B = B 知，B? A.ri b A_1_-23flr-l 5 x2m 1 m+1,又 Bw?,则 m+1 -2, 解得 2wmw 3,2m-15.则实数m的取值范围为2,3.弓I申1本例（4）中若B=x|m+ 1 w xW2m 1情况又如何？解析应对B=?

13、和BW?进行分类.若 b=?,则 2m1m+1,此时 m5,mW 3,即不等式组无解，故不存在实数m,使A? B.m3,弓仲3本例（4）中，若B=x|m+1 wxw 1 2m , A B,则m的取值范围为（qq, 3m + 1 w 2,解析由题意可知解得mW3.2m5,名师点拨 ？判断集合间关系的3种方法列举法根据题中限定条件把集合兀素表示出来，然后比较集合兀素的异同，从而找出集合之间的关系.（如第1、2题）结构法从兀素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从兀素结构上找差异进行判断.（如第3题）数轴法在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系.（

14、如第4题）变式训练1（1）（2018 辽宁锦州质检（一）集合 M=x|x= 3n, nCN,集合 N=xX=3n, n N,则集合 M 与集合N的关系是（D ）A. M? NB. N? MC. MAN=?D.MN 且 NM（2）（文）（2018 辽宁葫芦岛一中月考）已知集合 M = x|y=lg（2x） ,N = y|y = 3 + /x1, 则（B ）A. M? NB. N? MC. M=ND.NCM（理）（2018湖北省部分重点中学联考）已知集合M = x|y=x/1x2, xCR, N=x|x= m2, mC M,则集合M, N的关系是（B ）A. M NB. N MC. M? rND.

15、 N? rM（3）已知集合 A= x|x2-3x-100，若 A? B,则 m 的取值范围是（25）一解析（1）因为 1 C M,1?N,6C N,6?M,所以 M N 且 N M,故选 D.（2）（文）.集合 M = x|y=lg（2 x） = （ 8, 2）, N = y|y=A/1x + Jx1 = 0, .-.N? M.故选B.（理）依题意知，M = x|y=q1x2,xC R=x|1WxW1,N=x|x=m2,mC M = x|0 x 1,所以N M.故选B.1010化简人=卜2 3x 100 = x|-2x0 时，x- ,因为 A? B,所以一温10 一 . 10-2,解得 m5,

16、所以 0Vm5.当 m0 时，x5,解得 m 2,所以2Vm0.当m=0时，B=R,符合A? B.综上所述，所求的 m的取值范围是（2,5）.考点3集合的基本运算一一多维探究，例3 （1）（2018课标全国I,角度1集合的运算1）已知集合 A = 0,2 , B= -2, - 1,0,1,2,则 AA B=（A ）B. 1,2A. 0,2C. 0D. -2, - 1,0,1,2(2)(2018 天津,1)设集合 A=1,2,3,4, B= -1,0,2,3 , C=x R|-1x2,则(AUB)大 C =(C )A.-1,1B.0,1C.-1,0,1D.2,3,4(3)(2018 天津，1)设

17、全集为 R,集合 A= x|0 x1,则 AA(?rB)=( B )A.x|0 x 1B,x|0 x1C.x|1x2D,x|0 x2解析(1)本题主要考查集合的基本运算. A=0,2 , B= -2, - 1,0,1,2, /.An B= 0,2,故选 A.(2)本题主要考查集合的运算.由题意得 AUB=1,2,3,4 , - 1,0 , . .(AU B)AC = 1,2,3,4 , - 1,0 Ax R|-1x 1,得？rB = x|x1,借助于数轴，可得 AA(?rB) = x|0 x1,故选 B.&2-*2角度2利用集合的运算求参数例4 (1)(2018河北邢台联考)已知全集 U =

18、xCZ|0 xW 8,集合 A = xCZ|2xm(2 m8),若？ uA中的元素个数为4,则m的取值范围为(A )A. (6,7B. 6,7)C. 6,7D. (6,7)(2)(2018江西鹰潭一中模拟)已知集合A=x|12xw 16 , B = x|xa,若AAB = A,则实数a的取值范围是(A )A. (4, +oo )B. 4, +oo )C. 0, +8 )D, (0, +oo )解析(1)若？uA中的元素的个数为4,则？uA=1,2,7,8 ,，6mW7,故选A.(2)由题意知 A= x|0 x 4,由AAB = A,知A? B,所以实数 a的取值范围是(4,十),故选A .名师点拨 ？集合的基本运算的关注点.集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决.注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn图.根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后应用数形结合求解.变式训练2(1)(角度 1)已知集合 A= 1,2,3 , B = x|(x+1)(x-2)0,则条A=( B )A.x|- 1x2B.x|-1x 2C.xR2D.x2(3)(角度2)集合M = x|