2022年吉林省东北师大附属中高考数学三模试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知向量a=(m,l)，b=(-1,2)，若(a-2b)丄b，则方与b夹角的余弦值为()A.-2屈

2、-13-136.1365D.613652.得到函数g(x)的图象，给出下列关于g(x)的结论:兀将函数金口加S3妙时1的图象向左平移-个单位长度,5兀它的图象关于直线兀=舌对称；92兀它的最小正周期为丁；11兀它的图象关于点(，1)对称；185兀19兀它在，甘上单调递增.TOC o 1-5 h z39其中所有正确结论的编号是()AB.C.D.3已知复数z满足i-z=3+2i(i是虚数单位)，则Z=()A.2+3iB23iC2+3iD.23i4若，贝9=()an(口=yA.BCD.2?5曲线x2=4y在点(2,t)处的切线方程为()a.y=x-1By=2x-3Cy=-X+3Dy=-2X+56执行

3、如图所示的程序框图，若输入m=2020,n=520，则输出的i=()A.4B.5C.6D.77.我国古代数学巨著九章算术中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布35尺，则这位女子织布的天数是（）A.B.3C.D.1c8.若tana=，则cos2a=(A.9._4_52复数（i为虚数单位）的共轭复数是1-iC.D.A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i10.已知斜率为2的直线l过抛物线C：y2二2px

4、（p0）的焦点F,且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为1，则p=（）A.1C.2D.411.若a0,b0，贝卜a+b4”是“abb0）与双曲线C:竺-兰二1（m0,n0）有相同的焦点F、F，其中F为左1a2b22m2n2121焦点点P为两曲线在第一象限的交点，e、e2分别为曲线C1、C2的离心率，若ApF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，则e2-e1的取值范围为.14如图，在AABC中，已知AB=3AC=2,ABAC=120。,d为边BC的中点若CE丄AD，垂足为E,则EB-EC的值为一15在AABC中，内角A,B，C所对的边分别是a,b,c若bsinA=asinC,c=1

5、，则b=_,AABC面积的最大值为一.16在平面直角坐标系xOy中，曲线y=ex在点PC。,ex）处的切线与x轴相交于点A,其中e为自然对数的底数.若点B（x0,0）,APAB的面积为3,则x0的值是三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）为提供市民的健身素质，某市把A,B,C,D四个篮球馆全部转为免费民用（1）在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从A,B,C,D四场馆的使用场数中依次抽取aaaa4共25场，在a2,a3,a4中随机取两数，求这两数和g的分布列和数学期望;12341234f场数Till盘D馆别(2)设四个篮球馆一个

6、月内各馆使用次数之和为x，其相应维修费用为y元，根据统计，得到如下表的数据:x10152025303540y10000117611301013980147711544016020z0.1e4343+22.993.494.054.504.995.495.99用最小二乘法求z与x的回归直线方程；比0叫做篮球馆月惠值根据的结论，试估计这四个篮球馆月惠值最大时x的值工(x-x)(z-z)77ii_参考数据和公式：z=45乙(xx)2=7,乙(xx)(zz)70e320b_i=1,a=zbxiiiyi=1i=1(x-x)2ii=118(12分)在平面直角坐标系中以原点为极点兀轴正半轴为极轴建立极坐标系并

7、在两坐标系中取相同的长度单x1+1cosa位已知曲线C的极坐标方程为p=2cos仇直线l的参数方程为=tsina(t为参数a为直线的倾斜角).写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C有唯一的公共点求角a的大小.(12分)设a，b,c,d都是正数且x=；a2+b2,y=c2+d2求证：xyac+bdaad+bc)(12分)某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏每次由一个小孩与其一位家长参与测试家长对小孩饮食习惯的了解程度在每一轮游戏中主持人给出A,B,C,D四种食物要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序然后由家长猜测小孩的排序结果设小孩对四种食物排除的序号依次为兀疋/円家长猜

8、测的序号依次为yAyByCyD,其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1，2,3,4四个数字的一种排列定义随机变量X=(xA-yA)2+(xB-yB)2+(xC-yC)2+(xD-yD)2,用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度.(1)若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解.求他们在一轮游戏中对四种食物排出的序号完全不同的概率；(ii)求X的分布列(简要说明方法不用写出详细计算过程)；若有一组小孩和家长进行来三轮游戏三轮的结果都满足XV4,请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由(12分)设函数f(x)=(a-x)ex+bx-cInx.若a=3,c二0时，f(x)在(0,+Q上单

9、调递减，求b的取值范围；若a=2，b=4，c=4，求证：当x1时,f(x)16-81n2.(10分)已知函数f(x)=e2x-九excosx-1(XeR)，直线l是曲线y=f(x)在x=0处的切线.求证：无论实数九取何值，直线l恒过定点，并求出该定点的坐标；若直线l经过点(1，6)，试判断函数f(x)的零点个数并证明.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】ab直接利用向量的坐标运算得到向量a-2b的坐标，利用(a-2b)b=0求得参数m,再用cosa,b=计算即可.IaIIbI【详解】cosa,b=2厢13依

10、题意，a2b=(m+2,-3),而(a2b)b=0,即m26=0,解得m=-8,则ab=10IaIIbI=j5765故选：B.【点睛】本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想.B【解析】根据函数y=Asin(伽+(P)图象的平移变换公式求出函数g(x)的解析式，再利用正弦函数的对称性、单调区间等相关性质求解即可.【详解】因为f(x)=sin3x-j3cos3x+1=2sin(3x-寸)+1,由y-Asin(处+卩)图象的平移变换公式知，TOC o 1-5 h z冗兀冗-_2兀函数g(x)=2sin3(x+-)-+1=2sin(3x+-)+1,其最小正周期为T

11、=，故正确； HYPERLINK l bookmark134 6363冗k-5-令3x+-=kn+，得x=+(kZ)，所以x=不是对称轴，故错误；62399冗k-11-11-令3x+-=kn,得x=-(kZ)，取k=2,得x=，故函数g(x)的图象关于点(，1)对称，故正确；63181818-冗-2k-2-2k-10-13-16-19-令2kn-3x+2kn+，kZ,得-x+，取k=2，得，取k=3,得x0,b0时，a+b2応，贝0当a+b4时，有2页a+b4，解得ab4，充分性成立；当a=1,b=4时，满足ab4，必要性不成立，综上所述，“a+b4”是“ab0.3x，故A正确；2016年高考

12、一本人数0.3x，2019年高考一本人数1.2xx0.26=0.312x0.3x，故B错误;2019年二本达线人数1.2xx0.4=0.48x，2016年二本达线人数0.34x,增加了0.48x-0.34x0.34x沁0.41倍，故C错误;2016年艺体达线人数0.06x，2019年艺体达线人数1.2xx0.06=0.072x,故D错误.故选：A.【点睛】本题考查柱状图的应用，考查学生识图的能力，是一道较为简单的统计类的题目.901901二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。(2)13.+8k3丿解析】设叫=s,|P=t,由椭圆和双曲线的定义得到s=a+m,t=a-m，根据ApFF2

13、是以PF为底边的等腰三角形，得到t=a-m=2c，从而有丄-丄二2,ee12根据e21，得到1e1，所以0丄2e21.1Q所以孑=2+孑3，12即1e3(2)故答案为：-，+8V3丿点睛】本题主要考查椭圆，双曲线的定义和几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题14277【解析】III1匚rEB-EC二VEA+AB丿-EC二AB-EC二AD+DB丿-EC二CD-EC二-EC2,由余弦定理，得BC=$9+4-2x3x2xcosl20=”19,厂4+19-97得cosC=审厂=时3、込所以EB-EC=-7-.点睛：本题考查平面向量的综合应用本题中存在垂直关系，所以在线性表示的过程中充分利用垂直关

14、系，得到EB-EC=EC2，所以本题转化为求CE长度，利用余弦定理和面积公式求解即可.115-12【解析】由正弦定理，结合bsinA=asinC,c=1，可求出b；由三角形面积公式以及角A的范围，即可求出面积的最大值.详解】因为bsinA=asinC，所以由正弦定理可得ba=ac，所以b=c=1；所以S=1AABC22bcsinA=2sinA,g(x)递增，当xG2,+8),g(x),g(x)递减所以约惠值最大值时的x值为20【点睛】本题考查直方图的实际应用，涉及求概率，平均数、拟合直线和导数等问题，关键是要读懂题意，属于中档题.兀兀18.(1)当d=-时，直线l方程为x=1；当J土-时，直线

15、l方程为66j=(x+1)tana；x2+y2=2r(2)7或【解析】对直线l的倾斜角分类讨论，消去参数丫即可求出其普通方程；由P2=x2+y2,pcos0=x，即可求出曲线C的直角坐标方程；将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，根据条件J=0,即可求解.【详解】(1)当d=-时，直线l的普通方程为x=1；当X-时，消去参数t得直线l的普通方程为j=(x+1)tana.由p=2cos砂，得p2=2pcos0,所以x2+y2=2r,即为曲线C的直角坐标方程.(2)把x=1+tcosa，y=tsina代入x2+y2=2x整理得t24tcosa+3=0.所以cosa 6故直线I的倾斜角a为卡或

16、琴.66【点睛】本题考查参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程，考查直线与曲线的关系，属于中档题.19证明见解析【解析】利用比较法进行证明：把代数式(a2+b2)0，可证得-Ja2+b2Qe2+d2ae+bd0成立，同理可证明“2+b2Qc2+d2ad+be0，由此不等式得证.详解】证明:因为)(e2+d2)=a2e2+a2d2+e2b2+b2d2(ae+bd)2=a2e2+2abed+b2d2，=a2d2-2abed+e2b2所以(a2+b2)(e2+d2)(ae+bd)2=(ad-be)20又a、e、b、d都是正数,C2+b2)(e2+d2)(ae+bd)2成立,：fa2+b2e2+

17、d2ae+bd0，同理*a2+b2+d2ad+be0,:.xy、ac+bd)(ad+be丿.【点睛】本题考查利用比较法证明不等式;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;把差变形为因式乘积的形式是证明本题的关键;属于中档题。20.(1)(i)3(ii)分布表见解析；(2)理由见解析8【解析】(i)若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，贝9家长对小孩的排序是随意猜测的，家长的排序有A4=24种等可4能结果，利用列举法求出其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，由此能求出他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率.(ii)根据(i)的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情

18、况，家长的排序一共有24种情况，由此能求出X的分布列.假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，在一轮游戏中，P(XV4)=P(X=0)+P(X=2)=1，三轮游戏结果都满足“XV4”的概率为，这个结果发生的可能性很小，从而这位家长对小孩饮食习惯比较了解.2161000【详解】(1)(Z)若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，先考虑小孩的排序为xA，xB，xc，xD为1234的情况，家长的排序有A：=24种等可能结果，其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，432

19、1，93家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P=-.248基小孩对四种食物的排序是其他情况，只需将角标A，B，C，D按照小孩的顺序调整即可，假设小孩的排序xA，xB，xc，xD为1423的情况，四种食物按1234的排列为ACDB，再研究yAyByCyD的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为3.8(冠)根据(Z)的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，列出所有情况，分别计算每种情况下的x的值，X的分布列如下表：X02468101214161820P11111111111248246121

20、212624824(2)这位家长对小孩的饮食习惯比较了解理由如下：假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由(1)可知，在一轮游戏中，1P(XV4)=P(X=0)+P(X=2)=：,6115三轮游戏结果都满足“XV4”的概率为(-)3=乔乔，62161000这个结果发生的可能性很小，这位家长对小孩饮食习惯比较了解【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21.(1)(一，一e(2)见解析【解析】f(x)在(0,+如上单调递减等价于f(x)0在(0,+如恒成立，分离参数即可解决.(2)先对f(x)求导，化简后根据零点存在性定理判断唯一零点所在区间

21、，构造函数利用基本不等式求解即可.【详解】(1)a二3，c-0时，f(x)=(3-x)ex+bx，f(x)ex+(3x)ex+b(2x)ex+b，f(x)在(0,+8)上单调递减.:、(2x)ex+b0，b(x2)ex.令g(x)(x2)ex，g(x)ex+(x2)ex(x1)ex，0 x1时,g(x)1时,g(x)0，g(x)在(0,1)上为减函数，在(1,+8)上为增函数.g(x)g(1)e,.be.minb的取值范围为(8,e.(2)若a2，b4，c4时，f(x)(2x)ex+4x4lnx，f(x)ex+(2x)ex+4-(1x)fex-,x丿4令h(x)ex，显然h(x)在(1，+8)上为增函数.x又h(1)e40，h(x)有唯一零点x0.且xg(1,2)，1xx时，h(x)0.x时，h(x)0，广(x)0，f(x)在(1,x0)上为增函数，在(x0,+8)上为减函数.f(x)f(x)=(2x)ex0+4x4lnx.m