2021年第十一届MathorCup高校数学建模挑战赛赛题

1、2021年第十一届MathorCup高校数学建模挑战赛赛题赛题分为A、B、C、D题，其中，硏究生组参赛队只能从A、B题中任选一题完成答卷；本科组及专科组参赛队可从A、B、C、D题中任选一题完成答卷。2021年第十一届MathorCup高校数学建模挑战赛题目A题自动驾驶中的车辆调头问题自动驾驶是近年人工智能应用的热门研究领域之一，其中调头是自动驾驶中一个非常实际又很有趣的场景。假设无人车为四轮乘用车，采用前轮转向后轮驱动；车身可认为是一个矩形，车长5米，车宽2米，轴距2.8米；方向盘最大转角470，方向盘与前轮转角的传动比为16:I（方向盘每转动16，前轮转动1），方向盘最犬转速为400/s；最

2、大油门加速度3m/s2,限刹车加速JS-5m/s2o无人车的轨迹，指的是一条含有位置和时间等信息的曲线，它由一列轨迹点构成，各个轨迹点中应包含位置坐标、方向角、曲率、曲率变化率、速度、加速度及运动到此点时的时间等信息。这里轨迹指的是车身中某一特定点的轨迹，即控制点。控制点是事先选定的，通常位于无人车车身对称轴（车身可以近似认为是左右轴对称的）上的一点，在行驶时，控制点的位置会与轨迹点相重合，控制点处的速度方向将与轨迹点的方向角一致。由于无人车的车辆动力学性质和安全性要求，轨迹必须满足以下条件：（1）任何点的加速度不得高于最大油门加速度，不得低于极限刹车减速度；（2）无人车朝向和方向盘转角都不能

3、突变，轨迹线必须是连续、且切线方向连续，当无人车不杲静止时，曲率也必须连续（静止时可以原地打方向，非静止时不能）；（3）轨迹线的聂大曲率应尽量不高于0.205,禁止高于0.21； （4）按轨迹行驶时，在调头完成之前，无人车车身任何点不得与任何障碍物或者掉头区域边界发生碰撞，且与障碍物至少保留一个最小安全距离，一般不小于30cmo无人车调头轨迹在保证上述条件之外也应具备尽可能舒适的驾乘体感，以及具备尽可能高的通行效率，同时出于规范驾驶的考虑，尽量减少不必要的压车道线行驶。请参赛者按照下面问题中简化版的无人车调头场景和附件数据，建立无人车安全快速调头的数学模型，设计无人车调头轨迹的计算方法，在输入

4、外部道路和障碍物信息后，计算岀合理可行的无人车轨迹。同时，由于附近障碍物可能由于视野问题被遮挡，导致调头中周围环境信息发生变化，轨迹应当是可以实时更新的。附件数据文件中的边界线均表示为折线点列，按坐标点从上到下的顺序连接形成；所有障碍物均以多边形表示，其中的点均按逆时针顺序排列，路况简图见数据文件。请你们的参赛队完成以下问题：问题1：如图1所示场景，无人车（用橙色矩形表示）正在最左侧车道准备调头，存在三个对向车道。附件数据文件中，掉头区域边界以红色边框A表示，两条对向车道线以E、C表示（均为路面上的虚线），中间的隔离障碍物以D表示。无人车起始位置已经在附件数据文件中给出，当无人车身触碰到对向的

5、掉头区域边界（图1中绿色部分）时，认为调头完成。请阐述控制点位置，解释其理由；基于此建立无人车调头的数学模型，并给出一个合理可行的算法设计，给出调头轨迹。图1:无人车调头场景1问题2：当掉头区域狭窄时，判断什么样的场景下无人车能够在不倒车的情况下完成调头，什么情况需要至少一次倒车（如图2场景2,蓝色箭头表示向前，红色箭头表示倒车）才能通过。建立相应的无人车调头的数学模型，给岀合理的算法设计，并给岀仿真结果。图2：无人车调头场景2问题3：如图3场景，如果道路上还存在其它静止障碍物（附件数据文件中以F和G表示），当仅存在F、仅存在G、或二者都存在时，建立相应的无人车调头的数学模型，给岀合理的算法设

6、计，并给岀调头轨迹，你的算法应明确如何进行避障？图3：无人车调头场景3问题4:按交规规定，如果道路上存在人行横道即斑马线，其所占区域在附件数据文件中以E表示，则无人车需要尽可能在不压人行横道的情况下通过，如果无法做到，则需要越过（后轮越过）人行横道后再开始调头，禁止骑人行横道调头（如图4场景4所示）。其中标识“的为可行通行方式，标识“X”为骑人行道调头方式。建立相应的无人车调头的数学模型，给岀合理的算法设计和相应的调头轨迹；当斑马线和障碍物同时存在时（如图5场景5所示），你的模型和算法如何同时满足交规并进行避障绕行?55图4:无人车调头场景4图5:无人车调头场景5问题5:无人车在实际路况行驶中

7、进行调头时，道路中的障碍物通常是处于移动状态，如对向来车等，针对图3和图5的两种场景，假设图中标识的障碍物位置为无人车处在起始时刻的初始位置，障碍物以一定的速度移动，假设只考虑与道路平行方向移动，请建立更一般的无人车调头轨迹规划模型并给出相应算法设计和无人车调头策略，给出仿真结果。问题6:为保证无人驾驶的安全性，无人车的轨迹规划算法必须拥有尽可能高的求解成功率（应倾向使用更收敛更稳定，失败率更低的计算方法）同时为了能对路况进行快速反应，需要以尽可能高的频率进行计算（计算复杂度尽量低）。你的算法如何在求解成功率和求解耗时这两方面优化？2021年第十一届MathorCup高校数学建模挑战赛题目B题

8、三维团簇的能量预测团簇，也称超细小簇，属纳米材料的尺度概念。团簇是由几个乃至上千个原子、分子或离子通过物理或化学结合力组成的相对稳定的微观或亚微观聚集体，其物理和化学性质随所含的原子数目而变化。团簇是材料尺度纳米材料的一个概念。团簇的空间尺度是几埃至几百埃的范围，用无机分子来描述显得太小，用小块固体描述又显得太大，许多性质既不同于单个原子分子，又不同于固体和液体，也不能用两者性质的简单线性外延或内插得到。因此，人们把团簇看成是介于原子、分子与宏观固体物质之间的物质结构的新层次。团簇科学是凝聚态物理领域中非常重要的研究方向。团簇可以分为金属团簇和非金属团簇，由于金属团簇具有良好的催化性能，因此备

9、受关注。但由于团簇的势能面过于复杂，同时有时候还需要考虑相对论效应等，所以搜索团簇的全局最优结构（即能量最低）显得尤为困难。其中，传统的理论计算方法需要数值迭代求解薛定铐方程，并且随原子数增加，高精度的理论计算时间呈现指数増长，非常耗时。因此，目前需要对这种方法加以改进，例如：考虑全局优化算法，结合机器学习等方法，训练团簇结构和能量的关系，从而预测新型团簇的全局最优结构，有利于发现新型团簇材料的结构和性能。请建立三维团簇能量预测的数学模型，并使用附件中的坐标和能量数据，解决下列问题。备注：附件中数据集格式为护，第一行是原子数，第二行是能量，后面是原子的三维坐标。可用文本阅读器打开，并用VMD等

10、软件进行可视化。问题1：针对金属团簇，附件给岀了1000个金团簇Amo的结构，请你们建立金团簇能量预测的数学模型，并预测金团簇AU20的全局最优结构，描述形状；问题2:在问题1的基础上，请你们设计算法，产生金团簇不同结构的异构体，自动搜索和预测金团簇AU32的全局最优结构，并描述其几何形状，分析稳定性；问题3:针对非金属团簇，附件给岀了3751个硼团簇氏5的结构，请你们建立硼团簇能量预测的数学模型，并预测硼团簇B打的全局最优结构，描述形状；问题4：在问题3的基础上，请你们设计算法，产生硼团簇不同结构的异构体，自动搜索和预测硼团簇创。的全局最优结构，并描述其几何形状，分析稳定性。C题海底数据中心

11、的散热优化设计据统计，全球数据中心每年消耗的电量，占全球总电量的2%左右，而其中能源消耗的成本占整个IT行业的30%50%,特别是电子器件散热所需消耗的能量占比极大。目前，国内大数据中心主要建设在内陆地区，预计2020年大数据中心年经济体量超过3000亿元。但大数据中心建设在陆地上需要占用大量土地，冷却时需要消耗大量的电能和冷却水资源，并花费大量建设成本。由于沿海发达省市数据中心増长迅猛，类似的资源矛盾尤为突出。“海底数据中心项目(ProjectUDC)”是将服务器等互联网设施安装在带有先进冷却功能的海底密闭的压力容器中，用海底复合缆供电，并将数据回传至互联网；海底数据中心通过与海水进行热交换

12、，利用巨量流动海水对互联网设施进行散热，有效节约了能源。海底数据中心对岸上土地占用极少，没有冷却塔，无需淡水消耗，既可以包容海洋牧场、渔业网箱等生态类活动，又可与海上风电、海上石油平台等工业类活动互相服务。将数据中心部署在沿海城市的附近水域可以极大地缩短数据与用户的距离，不仅无需占用陆上资源，还能节约能源消耗，是完全绿色可持续发展的大数据中心解决方案。据悉，2015年8月，微软首次在美国西部加利福尼亚州一处海域对一个水下数据中心的原型机进行了测试。研究人员在位于美国西北部华盛顿州的微软总部办公室对其进行操控，为期3个月的测试取得了超出预期的 成功。该水下数据中心原型机装配了传感器，可以感知压力

13、，湿度等状况，帮助研究人员更好地了解其在水下环境的运行情况。2018年微软ProjectNatick项目在苏格兰海岸线附近的水域中实验性地部署了一个水下的数据中心。这是数据中心首次部署在海底，这个数据中心被设计成集装箱样式，然后被悬放在海平面7英尺处，之后海底数据中心通过铺设的海底电缆与陆上操作中心相连。海底数据中心以城市工业用电为主，海上风能、太阳能、潮汐能等可再生能源为辅，具有低成本、低时延、高可靠性和高安全性的特点。据微软团队测算，海底数据中心的故障率是陆地的1/8o2021年1月100,由北京海兰信数据科技股份有限公司联合中国船舶集团广船国际有限公司打造的全国首个海底数据舱在珠海高栏港

14、揭幕，标志着我国大数据中心走进了海洋时代。对于海底数据中心，如何在有限的体积内存放更多的服务器且保证服务器工作过程中向海水中正常快速的散热是一项非常有挑战性的问题。现在各位参赛队员将参与到海底数据中心的优化设计，解决如下问题，并给微软，谷歌，华为等公司的海底数据中心的外売散热提供设计方案。问题1:固体在液体中的冷却的方式主要是对流传热，对流传热可分为自然对流和强制对流。假定数据中心集装箱的尺寸为直径lim长12m的圆柱形，悬空放置（圆柱形轴线与海平面平行）在中国南海温度为20摄氏度的海域深度，其中单个1U服务器的产热为500W（正常工作温度不能超过80摄氏度），1U服务器机箱的高度为44.45

15、毫米，宽度为482.6毫米，长度为525毫米，请评估单个集装箱外壳中最多可以放多少个服务器（仅考虑服务器的散热需求）。问题2：假定集装箱外壳最大尺寸不超过Imxlmxi2m,结合第一问的分析，如何设计集装箱外壳的结构（如在圆柱体，长方体等上考虑翅片结构），可以实现最大化的散热效果，即存放更多的服务器。问题3：较深的海水具有较低的温度，能取得更好的散热效果，同时増大的压力会对集装箱外壳的耐压能力提岀更高的要求；值得注意的是海水本身是一种强的腐蚀介质，直接与海水接触的各种金属结构物都不可避免地受到海水的腐蚀。请在问题2的基础上进一步选择合适的材料和海底深度进行优化设计，进一步提高散热效果，并尽可能

16、降低成本，提高使用年限。问题4：潮汐和季节会改变局部水位和温度，并带来暂时性的海水流动，可能对数据中心的散热带来一定影响。请考虑潮汐和季节变化等因素对海底数据中心集装箱散热效果的影响。问题5：竞赛组委会希望大家可以根据自己的分析结果写一封建议信给相关公司的诲底数据中心散热设计部门。数据中心：数据中心是全球协作的特定设备网络，用来在让基础设施上传递、加速、展示、计算、存储数据信息。简单来彳中心大概就是一个有庞大数量的服务器（计算机）放在一起，扌用来处理商业和运作的组织的数据。附件：SomeConmionlvUsedMarineMaterials.pdf2021年第十一届MathorCup高校数学

17、建模挑战赛题目D题钢材制造业中的钢材切割下料问题某钢材生产制造商的钢材切割流程如图1所示。其中开卷上料环节将原材料钢卷放在开卷机上，展开放平送至右侧操作区域（见图2）。剪切过程在剪切台上完成，剪切台上依次有切头剪和圆盘剪。开卷上料配刀准备剪切卷取下料图1:钱材切割流程开额卷取机切头剪图2：银材操作区域示意图圆盘剪（见图3）用旋转的圆盘刀片连续对纵向运动着的原材料进行切割。在圆盘剪剪切前，需根据订单切割方案进行排刀。假设排刀架上可以以任意间距排刀，但刀具数量是有限制的，一次排刀上限不能超过5刀。用同一排刀方案切割得到的订单称为一组订单，切割不同组时需要工人重新排刀，称为一次换刀。切割每卷原材料之

18、间均需要换刀。切头剪为“一刀切”，即将整个钢板横向完全切断。图41中的横向切割（红色虚线所示）不满足一刀切要求，无法用切头剪实现，图42的横向切割（红色虚线所示）则符合要求。 圆盘剪排刀架/7切头剪CCXC/横向图3:風盘剪示意图图41:横向切割1经过横向切割后，当且仅当某些订单还需要额外横向一刀将其与废料分开，则将这些订单移至小机器再次切割（见图42蓝色虚线）。同-组内相同订单可以通过-刀图也横向切割2同时变成成品。钢材切割订单有两种，分别是板料订单和卷斜订单。切完的板料订单直接通过下料小车包装入库，卷料则需要先通过卷取机压臂成卷再入库。原料在切割成品的同时若有剩余，且符合余料标准（见附件2

19、），则可将这部分按照余料标准回收入库，供下次切割使用。不符合余料标准的称为废料，必须丢弃。成材率定义为，被切割成成品的面积加上可回库的余料面积与使用原料总面积之比。更详细的切割说明可参考附件1某原材料切割方案说明.X1SXo工厂未来一批订单需求已给岀，订单需求数量必须恰好满足（不允许超额供应）。根据工厂现有原料切割订单，每种原料的使用数目不能超过其库存。请建立数学模型解决F面的问題。问题仁针对给出的所有原料，请使用最少张数的原材料，满足对5种卷料的要求（不考虑浮动比例），同时尽量提高总的成材率，给岀切割方案。问题2:针对给出的所有原料，请使用最少张数的原材料，满足对所有订单的要求（不考虑浮动比

20、例），同时尽量提高总的成材率，给岀切割方案。问题3：圆盘剪每次排刀需要人工更换刀在排刀架上的位置，同时若有材料需要被移到小机器上再次切割也需要人为操作。为减少人力成本，希望尽量减少换刀数和在小机器上切割数。针对给岀的所有原料，请使用最少张数的原材料，满足对所有订单的要求（不考虑浮动比例）。同时尽量减少换刀数和在小机器上切割数，并尽量提高总的成材率。给出切割方案。问题4：若订单额外指定了浮动比例，则交付的订单长度可在需求长度的基础上上下浮动。例如，规定浮动比例为5%,则切割出的长度在原有长度的95%到105%之间均满足要求。请重新按照第2问的要求，给岀切割方案。另外，请在完成论文基础上，将每问切

21、割方式信息填入“提交结果.xlsx”文件对应表单中。填入数据要求如下：问题1结果输出数据包括：材料编号，张数，订单1,订单2,订单3,订单4,订单5,成材率，可回库余料1长，可回库余料I宽。说明：这里订单i指切割得到的订单i数量，没有则填0。无可回库余料则填0,不满足条件的废料不用填入；有更多可回库余料可继续往后填。后面问题同。问题2结果输出数据包括：材料编号，张数，订单1,订单2,订单15,成材率，可回库余料1长，可回库余料1宽。问题3结果输出数据包括：材料编号，张数，订单1,订单2,订单15,换刀次数，小机器切割次数，成材率，可回库余料1长，可回库余料1宽。问题4结果输出数据包括：材料编号，张数，订单I,订单2,订单15,成材率，订单1浮比，订单4浮比，订单5浮比，订单7浮