高等数学(上册)第七章课件

1、微分方程 第七章 积分问题 微分方程问题 推广 第一节 微分方程的概念第二节 可分离变量的微分方程 齐次方程第三节 一阶线性微分方程第四节 可降阶的二阶微分方程第五节 二阶线性微分方程解的结构第六节 常系数齐次线性微分方程第七节 常系数非齐次线性微分方程第八节 欧拉方程第九节 常系数线性微分方程组第十节 微分方程的应用举例第七章 微分方程微分方程的预备知识微分方程阶：最高阶导数的阶数解：使方程成为恒等式的函数通解：特解：满足初始条件的解初始条件：第一节 微分方程的概念 第二节 可分离变量的微分方程 齐次方程 一阶微分方程如何求解一阶微分方程 可分离变量例 求 的通解. 解 将原方程变形为原方程

2、的通解为第二节 可分离变量的微分方程 齐次方程 可化为变量分离方程的类型如何求解满足上述条件的齐此方程 形如 的方程，称为齐次方程令化为一个变量可分离的方程第二节 可分离变量的微分方程 齐次方程 第二节 可分离变量的微分方程 齐次方程 第二节 可分离变量的微分方程 齐次方程 第三节 一阶线性微分方程 形如 方程， 称为一阶线性非齐次方程.一阶线性非齐次方程的解法：先求解齐次方程常数变易法例 求 的通解.解 原方程通解为第三节 一阶线性微分方程 伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法 (线性方程)第

3、三节 一阶线性微分方程 例 求方程的通解.解 令则方程变形为其通解为将代入, 得原方程通解: 第三节 一阶线性微分方程 令因此即同理可得依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .型的微分方程 第四节 可降阶的二阶微分方程 例 解 第四节 可降阶的二阶微分方程 型的微分方程 设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分, 得原方程的通解第四节 可降阶的二阶微分方程 例 求解解 代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为第四节 可降阶的二阶微分方程 型的微分方程 令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分, 得原方程的通解第四节 可降阶的二阶微分方程 例 求解代入

4、方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解 第四节 可降阶的二阶微分方程 例 解初值问题解 令代入方程得积分得利用初始条件,根据积分得故所求特解为得第四节 可降阶的二阶微分方程 为曲边的曲边梯形面积上述两直线与 x 轴围成的三角形面例 二阶可导, 且上任一点 P(x, y) 作该曲线的切线及 x 轴的垂线,区间 0, x 上以解 于是在点 P(x, y) 处的切线倾角为 ,满足的方程 .积记为( 99 考研 )第四节 可降阶的二阶微分方程 再利用 y (0) = 1 得利用得两边对 x 求导, 得定解条件为方程化为利用定解条件得得故所求曲线方程为第四节 可降阶的二阶微分方程 可降阶微分

5、方程的解法 降阶法逐次积分令令第四节 可降阶的二阶微分方程 小结n 阶线性微分方程的一般形式为为二阶线性微分方程. 时, 称为非齐次方程 ; 时, 称为齐次方程.复习: 一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y第五节 二阶线性微分方程解的结构 证毕线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证 代入方程左边, 得(叠加原理) 定理 第五节 二阶线性微分方程解的结构 说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解 并不是通解但是则为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 第五节 二阶线性微分方程解的结构 定义是定义

6、在区间 I 上的 n 个函数,使得则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.例如， 在( , )上都有故它们在任何区间 I 上都线性相关;又如，若在某区间 I 上必需全为 0 ,在I 上都 线性无关.若存在不全为 0 的常数第五节 二阶线性微分方程解的结构 两个函数在区间 I 上线性无关的充要条件:线性无关常数思考:中有一个恒为 0, 则必线性相关(证明略)线性无关第五节 二阶线性微分方程解的结构 定理 是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, 则数) 是该方程的通解.例如, 方程有特解且常数,故方程的通解为(自证) 第五节 二阶线性微分方程解的结构 线性非齐次方程解的结构 是二阶

7、非齐次方程的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理 则是非齐次方程的通解 .证 将代入方程左端, 得第五节 二阶线性微分方程解的结构 是非齐次方程的解,又Y 中含有两个独立任意常数,例如, 方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而 也是通解 .第五节 二阶线性微分方程解的结构 二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入得称为微分方程的特征方程,(1) 当时, 有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为( r 为待定常数 ),所以令的解为 则微分其根称为特征根.第六节 常系数齐次线性微分方程 因为r为常数时，函数 (2) 当时, 特征方程有两

8、个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解( u (x) 待定)代入方程得:是特征方程的重根取 u = x , 则得因此原方程的通解为第六节 常系数齐次线性微分方程 (3) 当时, 特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:因此原方程的通解为 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:第六节 常系数齐次线性微分方程 若特征方程含 k 重复根若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程: 推广:第六节 常系数齐次线性微分方程 例 的通解.解 特征方程特征根:通解为例 求解初值问题解 特征方程有重根因此通解为， 利用初始条件得于是特解为第六节 常系数齐次

9、线性微分方程 例 解 特征方程特征根:例 解 特征方程:特征根 :原方程通解:(不难看出, 原方程有特解第六节 常系数齐次线性微分方程 的通解.特征根:(1) 当时, 通解为(2) 当时, 通解为(3) 当时, 通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .第六节 常系数齐次线性微分方程 小结二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法第七节 常系数非齐次线性微分方程 为实数 ,设特解为其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 (1) 若

10、不是特征方程的根, 从而得到特解形式为为 m 次多项式 .Q (x) 为 m 次待定系数多项式第七节 常系数非齐次线性微分方程 (2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式,故特解形式为(3) 若 是特征方程的重根 , 是 m 次多项式,故特解形式为小结对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解第七节 常系数非齐次线性微分方程 例的一个特解.解 本题而特征方程为不是特征方程的根 .设所求特解为代入方程 :比较系数, 得于是所求特解为第七节 常系数非齐次线性微分方程 例 的通解. 解 本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为

11、比较系数, 得因此特解为代入方程得所求通解为第七节 常系数非齐次线性微分方程 例 求解定解问题解: 本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得第七节 常系数非齐次线性微分方程 于是所求解为解得第七节 常系数非齐次线性微分方程 第二步 求出如下两个方程的特解分析思路:第一步 将 f (x) 转化为第三步 利用叠加原理求出原方程的特解第四步 分析原方程特解的特点第七节 常系数非齐次线性微分方程 第一步利用欧拉公式将 f (x) 变形第七节 常系数非齐次线性微分方程 第二步 求如下两方程的特解 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 故等

12、式两边取共轭 :为方程 的特解 .设则 有特解:第七节 常系数非齐次线性微分方程 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 : 第三步 求原方程的特解 原方程均为 m 次多项式 .第七节 常系数非齐次线性微分方程 第四步 分析因均为 m 次实多项式 .本质上为实函数 ,第七节 常系数非齐次线性微分方程 对非齐次方程则可设特解:其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述结论也可推广到高阶方程的情形.第七节 常系数非齐次线性微分方程 例 的一个特解 .解 本题 特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数 , 得于是求得一个特解第七节 常系数非齐次线性微分方程

13、例 的通解. 解 特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数, 得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为第七节 常系数非齐次线性微分方程 小结 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,则设特解为为特征方程的 k (0, 1 )重根, 则设特解为3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.第七节 常系数非齐次线性微分方程 第八节 欧拉方程 形如的方程称为欧拉方程，其中为常数.如果来用记号表示对自变量求导的运算有 由几个微分方程联立起来共同确定几个具有同一变量的函数的情形.这些联立的微分方程称为微分方程组. 如果微分方程组中的每一个方程都是常系数线性微分方程，则

14、称这种微分方程组为常系数线性微分方程组.第九节 常系数线性微分方程组第九节 常系数线性微分方程组第九节 常系数线性微分方程组衰变问题 镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量,这种现象称为放射性物质的衰变.根据实验得知,衰变速度与现存物质的质量成正比,求放射性元素在时刻的质量.第十节 微分方程组的应用举例用 表示该放射性物质在时刻 的质量,则 表示 在时刻 的衰变速度,于是“衰变速度与现存的质量成正比”可表示为这是一个以 为未知函数的一阶方程,它就是放射性元素衰变的数学模型,其中是比例常数,称为衰变常数.第九节 常系数线性微分方程组第十节 微分方程组的应用举例新产品的推广模型第十节 微分方程组的应用举例第十节 微分方程组的应用举例价格调整模型第十节 微分方程