材料力学Ⅱ电子教案

1、第四章 压杆稳定问题的进一步研究42 大柔度杆在小偏心距下的偏心压 缩计算41 几种细长中心受压直杆临界力 的欧拉公式44 其他弹性稳定问题简介43 纵横弯曲141 几种细长中心受压直杆临界力的欧拉公式. 杆端弹性支承的细长压杆第四章 压杆稳定问题的进一步研究FcrBAlEIEIbEIaCD（a） 图a所示刚架，在临界力Fcr作用下 其挠曲线如图中虚线所示。AB杆的A、B端的转动分别受到AC、BD杆的弹性约束。可将2 压杆在图c所示的微弯状态下保持平衡。杆端的反力偶矩为（a）,式中，MA 0,MB0, 0, 0。由平衡条件得杆端的 水平支反力为(MB - MA) / l ，其指向如图c所示。第

2、四章 压杆稳定问题的进一步研究AB杆视为两端均为弹性固定端的压杆（图b）。弹簧的刚度系数分别为kA 、kB 。（b）(c)3弯矩方程为 挠曲线的近似微分方程为令，得(b)(c)(d)(d) 式的通解为第四章 压杆稳定问题的进一步研究4（e）利用位移边界条件可以得出它将大于两端铰支压杆的临界力，而小于两端固定压杆的临界力，即 0.5 m 2,即该压杆的临界力小于一端自 由，另一端固定的压杆的临界力。10 . 阶梯状细长压杆的临界力 由于阶梯状压杆各段的EI 不同，必须分段列挠曲线的近似微分方程，这样就增加了待定常数的个数，必须综合利用位移边界条件和位移连续条件，才能解得临界力Fcr 。第四章 压

3、杆稳定问题的进一步研究 图a 所示压杆，在图b所示微弯状态下保持平衡。由于压杆的受力、约束、杆长、弯曲刚度均是关于C 截面为对称的，所以11AD（0 x l /4）段挠曲线的近似微分方程为弯矩方程为（a）（b）第四章 压杆稳定问题的进一步研究挠曲线也是关于C 截面为对称的。故只需对AD和DC段分别列挠曲线的近似微分方程。（c）令 ,（b）式成为12DC（l /4 x l / 2）段挠曲线的近似微分方程为（d）令 ，（d）式成为（e）第四章 压杆稳定问题的进一步研究 分别求解（c）和（e）式，并利用 x = 0, w1= 0; x =l /4 , w1= w2 ; ; x = l / 2, =

4、0，可解得13 可见，该压杆的临界力比弯曲刚度为EI 的等截面压杆的临界力（ ），增大了 68%，而压杆材料仅仅增加了50%。可见采用变截面压杆较为节省材料。这是因为压杆两端附近的弯矩较小，中间部分的弯矩较大，把两端附近的部分材料移到中间部分，压杆不易变弯，从而增大了临界力。第四章 压杆稳定问题的进一步研究14第四章 压杆稳定问题的进一步研究两端铰支细长压杆1542 大柔度杆在小偏心距下的偏心压缩计算图示偏心受压杆的弯矩为 当F w F e 时杆的最大压应力为 这种杆称为大刚度（小柔度）杆。（a）第四章 压杆稳定问题的进一步研究M (x) F e16 当F w不能忽略时，就不能利用叠加原理，这

5、种杆称为小刚度（大柔度）杆。挠曲线的近似微分方程为（b）令 ， 得通解为（d）（e）第四章 压杆稳定问题的进一步研究17x=l, w=0，将（f）式代入 (e) 式，得得（f）（g） 由 x=0 , w=0，B= e（4-4）x= l / 2时（4-5）第四章 压杆稳定问题的进一步研究得18 . 若EIz非常大时， 0， 1，则式中，由 (4-4)、(4-5)、(4-6) 式可见： . d、Mmax 、s cmax和F 均不成线性关系（几何非线性）。计算时不能用叠加原理。d 0，第四章 压杆稳定问题的进一步研究（4-6）19 。即对弯曲刚度很大的压杆，当其 受偏心压力作用时，可用叠加原理进行计

6、算。. 设e = e1 、e = e2、e = e3，且e1 e2 e3。由 （ i = 1,2,3）可画出一组 F-d曲线（如图）。第四章 压杆稳定问题的进一步研究(1)当 时，d 。此时，若 e0，由 得，。20 随e值减小， F-d曲线逐渐靠 近OF 轴。 e 0时，F-d 曲线 OAB 。 d =0； d 为任意值。第四章 压杆稳定问题的进一步研究以 为水平渐进线。可见，e 0时， F-曲线 (2)时，时，21 这是因为以上是用线弹性公式 进行分析的。x=l / 2的横截面上的大部分区域产生塑性变形，而发生弯折（图中虚线）。第四章 压杆稳定问题的进一步研究.e0, 时，d 。实际上，当

7、d 达到一定值时， 可把d 理解为d 迅速增加，力 为实际压杆临界力的上限值。2243 纵横弯曲图示大柔度杆的弯矩方程为 可见，M（x）是由横向力q和纵向力F 共同产生的，杆的（a）第四章 压杆稳定问题的进一步研究Fql /2xFM(x)wq23（b）弯曲变形也是由q和F 共同作用而引起的 纵横弯曲。挠曲线的近似微分方程为令 ，（c）其通解为（d）第四章 压杆稳定问题的进一步研究（b）式成为24 由 x=0, w=0 和 x=l, w=0，求出A、B常数，代入（d）式，并利用参数 u=k l / 2，进行化简，得将 x= l / 2代入（e）式，并利用 k=2u / l 化简，得（e）（4-7

8、）令第四章 压杆稳定问题的进一步研究，（4-7）式成为25式中， 为由q产生的挠度，h(u)为F 对d的影响。可见d与q 仍为线性关系,d 与F 为非线性关系。 在 x= l / 2处，弯矩最大，其值为（4-8）第四章 压杆稳定问题的进一步研究26 Mmax和q成线性关系，和F成非线性关系。令式中， 为q产生的弯矩，l(u)为F 对弯矩的影响。近似解:，得到第四章 压杆稳定问题的进一步研究 影响系数h(u)和l(u)可查表（铁摩辛柯弹性稳定中译本，P561 ,表A-2）最大压应力为27u 0（F 0 ）时up/2时，secu, 由（4-7）式得d ，杆在xy平面内失稳。第四章 压杆稳定问题的进

9、一步研究当 时 , 28 级数所以因为所以因为第四章 压杆稳定问题的进一步研究，。29 可见F 不仅产生轴向压力，也使弯曲正应力增加。第四章 压杆稳定问题的进一步研究用能量方法，也可求得近似解 见杜庆华编材料力学（下）。3044 其他弹性稳定问题简介 在分析压杆的稳定性时，把压杆抽象成为中心受压直杆，压杆只有轴向压缩变形，为了检验压杆直线状态下的平衡是否是稳定平衡，必须加横向干扰力。实际压杆可能会有微小的初曲率，荷载有可能有偶然偏心以及材质不均匀等因素，使压杆除产生压缩变形外，还产生第四章 压杆稳定问题的进一步研究31附加的弯曲变形。为了便于分析，把以上产生弯曲变形的诸因素统一用微小偏心距e来

10、表示，把压杆的计算模型取为如图所示的偏心压缩。F 较小时轴向压缩 弯曲 在42曾得到 ，由此 可见，随F增加d 增加，但d 增加比F增加得快。当 时，d 迅速增加，压杆丧失工作能力，该力也是第四章 压杆稳定问题的进一步研究 主要变形 次要变形压杆失稳时的临界力。 32 是抽象的概念，其实质是随压力的增加，次要变形（弯曲）转化为主要变形，压力达到临界值时，弯曲变形迅速增加，压杆丧失工作能力。按照这种思路也便于理解其它构件的弹性稳定问题。 . 狭长矩形截面梁的弹性稳定 第四章 压杆稳定问题的进一步研究压杆失稳 构件的失稳只有在特定的受力形式下才会发生，例如，具有微小偏心距的受拉杆，随拉力的增加弯曲变形将逐渐减小，不会出现失稳现象。33 F 力可能偏离y轴微小角度 ，故 （在xy平面内弯曲）， （在xz平面内弯曲 ），图中未示出 角。F 力可能偏离形心O 微小距离e ，故 ，产生扭转。 第四章 压杆稳定问题的进一步研究34F 较小时 在xy 平面内弯曲在xz平面内弯曲 扭转次要变形 由于 ，GIt 也较小。当F=Fcr时，在xz平面内的弯曲和扭转变形迅速增加，梁丧失工作能力。这也是梁丧失了在xy平面内平衡的稳定性。. 薄平板的弹性稳定 图示为四边简支的矩形薄板，两端受均匀分布的压力作用。主要变形第四章 压杆稳定问题的进一步研究35薄板可能有初曲率，均匀分布压力的合力可能会偏