应用统计学与随机过程(第1章-概述2014)资料

1、主讲教师(jiosh)：何松华 教授联系电话：(0731）82687718子信箱：应用统计学与随机过程(通信(tng xn)专业)Applied Statistics and Random Process共一百一十二页湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程(guchng) 概述1. 概 述兼概率论复习(fx) (6学时)1.1不确定性事件1.2通信与电子系统中的不确定性1.3含噪信号的最优处理问题1.4随机变量及其数字特征1.5随机变量函数的概率密度分布1.6随机变量的特征函数共一百一十二页不确定性事件(shjin)1.1客观世界中的两大类规律：1.确定性事件(shj

2、in)中蕴涵的确定性规律2.不确定性事件中蕴涵的统计性规律确定性事件及确定性规律：1.因果律 确定的原因产生确定的可预知的结果“如果苹果从树上掉下(B),则肯定往下掉到地上(A)” if B then A ProbA|B=100%, Prob|B=0%湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 概述共一百一十二页2.排中律 事物归属关系的确定性,非此即彼 “我(x)现在是湖南大学(h nn d xu)的教师(A)” I：论域（被讨论的对象的全体范围） AB=（空集），AB=I if xA then uA(x)=100%,xB, uB(x)=0% if xB then uB(x)=100%,xA,

3、uA(x)=0%湖南大学教学课件：应用统计学与随机(su j)过程 概述3.恒等律 事物(A,B,C,)之间相互约束关系的确定性 “三角形的三个内角之和为180度” R（A，B，C，）= Constant共一百一十二页 4.守恒律 事物(A,B,C,)(a,b,c,)之间转换(zhunhun)或交换过程中的确定性 “物质不灭,能量守恒” R1（A，B，C，）= R2(a,b,c,)5.周期律 事物在有限(yuxin)域内变化的重复性 “物极必返” if A=N,MN,xiA(i=1,2,M) then 存在 i1i2,xi1=xi2毛泽东：打破周期率；江泽民：与时俱进，三个代表湖南大学教学课件

4、：应用统计学与随机过程 概述共一百一十二页不确定性事件及不确定性：1.随机性,因果律的一种破缺 随机试验：可以在相同条件下重复进行,每次试验的结果是事先不可预测的,所有可能的结果不止一个(y )，但每次试验的结果是唯一的, 这样的试验称为随机试验。 随机事件：在随机试验中，对于1次试验可能发生也可能不发生、但在大量重复的试验中按一定规律发生的某种事情，称为随机事件。 基本事件：在随机试验中，最简单、不可再分、互不相容的事件称为基本事件。 湖南大学(h nn d xu)教学课件：应用统计学与随机过程 概述例如:不同的人通过测量苹果落地的时间获得树的高度共一百一十二页 “随机试验”举例：袋中有编号

5、为0到5的6个乒乓球，从里面随机地拿出一个，观察结果后再放回；反复进行试验。 6种基本事件：(1)拿到编号为0的球；(2)拿到编号为1的球；(3)拿到编号为2的球；(4)拿到编号为3的球；(5)拿到编号为4的球；(6)拿到编号为5的球。 “随机事件”举例：拿到编号大于4的球(在一次试验中可能发生(fshng)也可能不发生(fshng)；在大量重复的试验中发生(fshng)的比例约为1/3) “基本事件”是随机事件的特例。 所有基本事件的组合称为随机试验的“样本空间”。湖南大学教学课件：应用(yngyng)统计学与随机过程 概述共一百一十二页不确定性事件及不确定性：2.模糊性,排中律的一种破缺

6、事物之间归属关系的不确定(qudng)性，不能确定(qudng)某个对象肯定属于某个集合或肯定不属于某个集合，但能够确定(qudng)对象属于某个集合的程度。 模糊性举例：论域 I=各种不同年龄x的人 模糊集合 =年轻人 1 （0 x 24） u(x)= 1+（x-25）/52-1（25 x） 年龄x越大，则归属于年轻人的隶属度u(x)就越小。湖南大学(h nn d xu)教学课件：应用统计学与随机过程 概述共一百一十二页通信(tng xn)与电子系统中的不确定性(随机性)1.2湖南大学教学课件：应用(yngyng)统计学与随机过程 概述由于信道噪声的存在(电子的布朗运动)，确定的传输系统对确

7、定的传输信号并不产生确定的响应。 传输系统h(t)传输信号X(t) 响应 Y(t) 信道噪声(t) Y(t)= X(t)h(t)+ (t) (卷积）(t)的取值是随机的、不可预测的，则Y(t)也是随机的、不确定的。共一百一十二页通信电子系统中的不确定性所带来的问题：1.信号的检测问题 在数字通信中，0，1编码用不同的两种波形进行传输;接收端信号为Y(t) H0：（传输 0 编码信号） Y(t)= X0(t)h(t) + 0(t) H1：（传输 1 编码信号） Y(t)= X1(t)h(t) + 1(t) 怎样(znyng)从接收信号Y(t)中判断出发送端传输的信号是X0(t) 还是X1(t)

8、？ 如何将假设检验理论应用于通信电子系统?湖南大学教学课件：应用(yngyng)统计学与随机过程 概述共一百一十二页2.信号(xnho)及系统参数的估计问题湖南大学教学课件：应用统计学与随机(su j)过程 概述系统h(t，2)A(t，)+ (t) a(t，1) Y(t)=a（t，1) h(t，2) + (t) 1：信号参数矢量(K个参数) 2：系统参数矢量(M个参数)问题：Y(t)、 (t)是不可预知的随机过程，怎样从接收信号Y(t)的有限个采样值Y(0)、Y(T)、Y(N-1)T求得1、 1的最佳估计呢？简单的方程K+M个联立为什么不能求得统计意义上的最佳估计？共一百一十二页3.最优滤波器

9、的设计(shj)问题湖南大学教学课件：应用(yngyng)统计学与随机过程 概述 问题：Y(t)、 (t)是不可预知的随机过程，采用什么样的滤波器h1(t)，使得含噪失真信号Y(t)通过该滤波器后，其输出信号与X(t)最逼近？ minimum EY(t) h1(t)-X(t)2 h1(t)传输系统h(t)传输信号X(t) 响应 Y(t) 信道噪声(t) 滤波器h1(t)含噪失真信号Y(t) 恢复信号Z(t) 共一百一十二页4.系统的性能评估以及信号波形参数(cnsh)的设计问题(自学)湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程(guchng) 概述已知信道噪声(t)的统计特性平均值、方差、相关函数

10、、概率分布等，要求在给定接收端检测性能的情况下对传输信号的波形进行设计。举例：军用雷达目标检测H0：（无目标） Y(t)= (t)H1：（有目标） Y(t)= kAs(t-2R/c)+ (t) s(t)：宽度为的正弦脉冲,R:目标距离,c:光速，k：信号传输衰减系数;要求虚警概率Pf=P（H1H0）=10-7，已知(t)服从N(0，2)，如何对发射信号的幅度A、脉冲宽度进行设计？共一百一十二页5.噪声背景中的最优预测问题(wnt)(自学)湖南大学教学(jio xu)课件：应用统计学与随机过程 概述 举例：军用雷达机动目标状态(距离、速度)预测测量方程：Y(n)= A(n) + (n) n0,N

11、-1 Y(n):n时刻目标距离的测量值(已知) A(n):n时刻实际的目标距离值(未知) (n):测量误差(随机过程,概率分 布密度函数及相关特性已知) 目标运动状态方程：A(n+1)=A(n)+TV(n)+ (1/2)T2W(n) V(n+1)=V(n)+TW(n) V(n):目标第n个时刻的速度(未知) T :时间采样间隔 W(n):目标的加速度扰动(概率密度、相关性已知)假设为带有加速度扰动的匀速运动如何预测目标未来状态? A(n),V(n)(nN-1)共一百一十二页社会(shhu)及国民经济领域中的统计问题举例1.19世纪末中华民族无人能解的一个简单问题湖南大学教学课件：应用统计学与随

12、机过程(guchng) 概述加拿大山猫年捕获量数据 (1821-1878)269,321,585,871,1475,2821,3928,5943,4950,2577,523,98,184,279,409,2285,2685,3409,1824,409,151,45,68,213,546,1033,2129,2536,957,361,377,225,360,731,1638,2725,2871,2119,684,299,236,245,552,1623,3311,6721,4254,687,255,473,358,784,1594,1676,2251,1426,756,299假设今年为1878年

13、,请根据历史数据建立预测模型, 得到明年及1880,1881,1882,1883五年内的山猫捕获量的预测.有限次差分后平稳共一百一十二页2. 现在一个很容易(rngy)解决的问题湖南大学(h nn d xu)教学课件：应用统计学与随机过程 概述举例: 某城市居民季度用煤消耗量 ( 单位: 吨 )请预测1997年度每个季度的用煤消耗量年份1季度2季度3季度4季度年平均19916878.45343.74847.96421.95873.019926815.45532.64745.66406.25875.019936634.45658.54674.86645.55853.319947130.25532

14、.64898.66642.36073.719957413.55863.14997.46776.16262.619967476.55965.55202.16894.16384.5非平稳随机过程: (1)趋势项; (2)季节(周期)项共一百一十二页含噪信号的最优处理(chl)问题1.3湖南大学教学课件：应用(yngyng)统计学与随机过程 概述信号处理的主要研究内容 从噪声背景中检测感兴趣的信号、提取信息或对信号的参数进行估计图像处理、语音信号处理、数据处理最优信号处理方法 信号处理的方法不仅与信号本身的特性有关，还与噪声背景的统计特性(概率密度分布、功率谱等)密切相关；从事通信与电子系统领域研究

15、的人员除了掌握确定性的信号与系统分析方法外，必须了解噪声等随机过程的特性，掌握各种统计方法在信号处理中的应用共一百一十二页信号处理(xn ho ch l)方法举例1：最优预测湖南大学(h nn d xu)教学课件：应用统计学与随机过程 概述设x(n)(n=1,2,)为离散时间随机信号，n为采样时刻；该随机信号的相关函数及功率谱定义为(数学期望)如果该随机信号的功率谱密度函数为则最优的因果IIR 3步预测方程为共一百一十二页湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程(guchng) 概述其中(qzhng)(逆z变换)如果该随机信号的功率谱密度函数为则最优的因果IIR 3步预测滤波器应修正为随机信号的

16、最优预测方法与其统计特性有关共一百一十二页信号处理方法(fngf)举例2：最优估计湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程(guchng) 概述 利用气压计对某栋高楼的高度进行测量,根据甲班各个学生的测量结果，该楼高度的测量值的平均值为h0，变化的范围(方差)为02 ，测量值分布接近高斯分布。 现由乙班对该楼高度h进行测量，N个学生中第n个学生的测量值xn, 第n个学生的测量仪器的精度(误差的方差)为n2;误差服从正态分布,各观测相互独立。 (1) 不参考甲班的测量结果，且假设乙班不同仪器的测量精度相同， 12= 22= N2,则高度的最优估计值为共一百一十二页湖南大学教学课件：应用统计学与随机

17、(su j)过程 概述(简单(jindn)平均) (2) 不参考甲班的测量结果，但乙班每个学生的测量仪器的精度不同，则高度的最优估计值为(加权平均，精度越高，方差越小，加权系数越大) (3) 参考甲班的测量结果，则高度的最优估计值为在数据统计中如何利用先验知识共一百一十二页信号处理(xn ho ch l)方法举例3：正弦信号的参数估计湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程(guchng) 概述(已知)假设观测噪声(n)服从零均值正态分布,各观测值之间相互独立，求A、B的最优估计值频率已知、幅相未知的正弦信号的参数估计。假设获得了正弦信号在N个不同时刻的观测值为什么不能解方程？仅仅两个参数而已?

18、共一百一十二页信号处理方法(fngf)举例4：数据的最优平滑(维纳滤波器)湖南大学(h nn d xu)教学课件：应用统计学与随机过程 概述x(n)：测量数据(已知)； s(n)：需要恢复的信号数据(未知)(n)：测量误差(未知且随机)。如何恢复s(n)？滤波器h(n)含噪数据x(n) 恢复的数据s1(n) 求解如下的最优化问题：共一百一十二页湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程(guchng) 概述其中(qzhng)：(信号相关函数的傅立叶变换，信号功率谱)(噪声相关函数的傅立叶变换，噪声功率谱)滤波器的单位脉冲响应共一百一十二页社会与经济领域中数据的统计处理方法1. 统计描述方法 对所收

19、集的数据进行加工处理，计算综合性的统计指标，描述所研究的随机现象的总体数量特征和数量关系2. 统计推断方法 在对已获取的数据进行统计描述的基础上，建立(jinl)预测模型，对未知的或未来的数据进行推断。统计研究的作用 (1) 提供决策咨询服务；(2)提供监督服务；(3)提供其他形式的信息服务湖南大学(h nn d xu)教学课件：应用统计学与随机过程 概述共一百一十二页社会与经济领域中的应用统计举例： 移动通信公司之客户保持 已知历史客户(包括离网客户、忠诚客户)的基本属性，例如：性别、年龄、职业类型、在网时长、发展渠道、缴费方式、缴费途径、平均每次缴费金额、平均每月话费、所选套餐类型、.(1

20、)如何确定影响客户是否离网的最主要属性(因素)？(2)如何根据历史客户数据建立预测(yc)模型，预测(yc)目前在网客户的离网可能性？(3)对离网可能性比较大的客户，应采取何种针对性的营销或客户保持措施，以最低的活动成本实现客户保持？湖南大学教学课件：应用(yngyng)统计学与随机过程 概述共一百一十二页随机变量及其数字(shz)特征1.4湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程(guchng) 概述随机变量 (事件变量，物理描述数学问题) 设随机试验E的样本空间 Se，如果对于每一个eS，有一个实数X(e)和它对应，这样就得到一个定义在S上的单值实函数X(e)，称X(e)为随机变量，一般简记

21、为X。 举例1：抛掷硬币(随机试验E) 样本空间 S正面朝上，反面朝上 定义：如果正面朝上，则 X=0；反面朝上，则X=1 则X为随机变量，且取值为离散的，称为离散随机变量 共一百一十二页湖南大学教学课件：应用(yngyng)统计学与随机过程 概述举例(j l)1(续) P(X=0)=0.5 (X取值为0的概率); P(X=1)=0.5 举例2：用标尺测量长度，最小刻度单位1mm样本空间S=长度测量误差的分布范围 设X为测量值与实际值之间的误差，则X为随机变量，且取值范围为连续区间-0.5mm,0.5mm ，称为连续随机变量。 对于本例，PxXy=miny,0.5-maxx,-0.5 (随机变

22、量X取值落在区间x,y)内的概率)共一百一十二页湖南大学教学课件：应用统计学与随机(su j)过程 概述古典(gdin)概率模型若某一随机事件可以分解为某些基本事件的组合,则该事件发生的概率为这些基本事件发生概率的和。举例：设离散随机变量X有只有3种可能的取值0,1,2;各种取值出现的概率为0.2,0.5,0.3;求X1.5这一事件的发生概率。共一百一十二页湖南大学教学(jio xu)课件：应用统计学与随机过程 概述几何(j h)概率模型若向有界区域G内投掷质点，所有质点落在G中任何一点是等可能的(均匀分布)，若g是G中一部分，则质点落在g中的概率：P = g的区域宽度/G的区域宽度。举例：设

23、连续随机变量X在-3,1区间内均匀分布;求X0.2这一事件的发生概率。共一百一十二页湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程(guchng) 概述全概率(gil)公式与贝叶斯公式举例设S为随机试验E例如：从n个车间的产品中随机地抽取1个进行检验的样本空间例如：抽到车间1的正品，抽到车间1的劣品，抽到车间2的正品，抽到车间2的劣品，,抽到车间n的正品，抽到车间n的劣品 (2n个基本事件)设A1、A2、An为S的一个划分例如事件Ai：“抽到车间i的产品”,即空集共一百一十二页湖南大学教学课件：应用统计学与随机(su j)过程 概述设B为任意的随机事件例如(lr)：抽到劣品，则B发生的概率为 P(A1

24、)、P(A2) 、P(AN)称为先验概率例如P(Ai) 为车间i的产品占总产品的比例， P(B|Ai)为似然概率(条件概率)例如：车间i的产品是劣品的概率全概率公式 假如B已经发生例如抽到劣品，则该事件在多大的可能性上应由Ai负责？例如：“抽到的劣品是车间i的产品的概率”(与“车间i的产品是劣品的概率”并不等价)，如何计算P(Ai|B)贝叶斯公式共一百一十二页湖南大学教学课件：应用(yngyng)统计学与随机过程 概述 P(Ai|B）称为后验概率事件发生后对事件各种( zhn)起因的可能性的概率性推断，P(Ai,B）称为联合概率例如：既是劣品又是车间i的产品的概率贝叶斯公式显然，B肯定来源于划

25、分中的其中某一个 例如：劣品肯定来自某个车间，劣品来自于各车间的概率和为1共一百一十二页湖南大学教学(jio xu)课件：应用统计学与随机过程 概述例题：已知某地区销售(xioshu)的计算机主板有20%来自供应商1，50%来自供应商2，30来自供商3。假定这三个供应商所生产的主板的不合格率已知，分别为0.01、0.004和0.008，请计算每个供应商应承担的责任(主板返修费用)比例。 虽然不合格比例低,但产品量大,承担责任不一定少共一百一十二页湖南大学教学(jio xu)课件：应用统计学与随机过程 概述随机变量(su j bin lin)的概率分布函数与概率密度分布函数(x的单调非减函数)概

26、率分布函数概率密度分布函数关系根据几何概型为什么是x+非负函数Px1Xx2=FX(x2+)- FX(x1+)Px1Xx2 可能存在不连续点共一百一十二页湖南大学(h nn d xu)教学课件：应用统计学与随机过程 概述概率分布(fnb)函数与概率密度分布(fnb)函数举例1设离散随机变量X有3种可能的取值0,1,2;各种取值出现的概率为0.2,0.5,0.3;求其概率分布函数及概率密度分布函数解:根据古典概型注意定义及开闭区间单位阶跃函数FX(x)x0120.20.710.50.3共一百一十二页湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程(guchng) 概述单位阶跃函数(详见信号(xnho)与系统

27、)u(x)x0121在x=0处不连续,u(0)=1,u(0-)=0FX(x)x0120.20.71共一百一十二页湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程(guchng) 概述其中,()为单位(dnwi)冲激函数,满足在信号与系统理论中,采用单位冲激函数解决不可微问题fX(x)x120.20.50.30其他任何位置的导数为零，x=0,1,2三处的导数为无穷大(不同的无穷大)对无穷大的约束冲激强度为1共一百一十二页湖南大学教学课件：应用(yngyng)统计学与随机过程 概述单位(dnwi)冲激函数与单位(dnwi)阶跃函数的关系u(x)x01(x)x10100两个1的区别偶函数共一百一十二页湖南大学

28、(h nn d xu)教学课件：应用统计学与随机过程 概述举例：利用冲激函数的积分(jfn)性质求概率分布函数fX(x)x120.20.50.30(1)(2)在内的x=0处有一个冲激其他位置处的积分和为零(3)在内的x=0,1处有2个冲激+号可省去共一百一十二页湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程(guchng) 概述(4)在内的x=0,1,2处有3个冲激冲激强度(qingd)分别为0.2,0.5共一百一十二页湖南大学教学课件：应用统计学与随机(su j)过程 概述推广(tugung)到离散随机变量的更一般情况设离散随机变量X有I种可能的取值x1,x2,xI;其中第i(i=1,2,I)取值出

29、现的概率为pi;则其概率分布函数及概率密度分布函数分别为参见前面FX(x)图根据古典概型附录：冲激函数积分性质：设g(x)在x0处连续，则共一百一十二页湖南大学(h nn d xu)教学课件：应用统计学与随机过程 概述概率分布函数(hnsh)与概率密度分布函数(hnsh)举例2设连续随机变量在区间a,b上服从均匀分布;求其概率分布函数及概率密度分布函数解:根据几何概型FX(x)xab1abfX(x)x1/(b-a)共一百一十二页湖南大学教学课件：应用统计学与随机(su j)过程 概述多维连续随机变量的联合概率分布函数(hnsh)与联合概率密度分布函数(hnsh)设X1、X2、XN为不同的随机变

30、量，则其联合概率分布函数以及概率密度分布函数定义为多个随机事件同时发生的概率省去“+”共一百一十二页湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程(guchng) 概述多维连续(linx)随机变量分布函数的性质(练习：证明其为所有变量的单调非减函数)事件可以分解为情况下的所有事件之和，等价于事件下面考察如何由高维分布得到低维分布。共一百一十二页湖南大学教学课件：应用(yngyng)统计学与随机过程 概述边缘(binyun)分布上式两边对x1,x2,xn-1求偏导，再作变量置换采用递推方法不难得到：根据古典概型得到：共一百一十二页湖南大学教学(jio xu)课件：应用统计学与随机过程 概述随机变量之间相

31、互独立(dl)的定义如果或则这n个随机变量相互独立离散随机变量的相互独立，要求对所有可能组合(x1,x2,xn)对于离散型随机变量，联合概率分布或分布律定义为共一百一十二页湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程(guchng) 概述随机变量(su j bin lin)的数字特征(1)均值(数学期望)(连续随机变量)(有I种取值的离散随机变量)(2)方差(连续)(离散)或共一百一十二页湖南大学教学课件：应用统计学与随机(su j)过程 概述(3)k阶原点矩(连续(linx)随机变量)(离散随机变量)(4)k阶中心矩(连续随机变量)(离散随机变量)1阶原点矩即为均值，二阶中心矩即为方差；二阶原点矩

32、称为均方值，满足共一百一十二页湖南大学教学(jio xu)课件：应用统计学与随机过程 概述(5)随机变量(su j bin lin)函数的数学期望(连续随机变量)(离散随机变量)(6)两个随机变量之间的相关函数(连续随机变量)(离散随机变量)附录(证)：共一百一十二页湖南大学教学课件：应用统计学与随机(su j)过程 概述(离散(lsn)随机变量)(9)多维随机变量函数的数学期望(8)两个随机变量之间的相关系数或标准协方差(连续随机变量)(7)两个随机变量之间的协方差函数对于零均值变量，协方差函数与相关函数等价显然共一百一十二页湖南大学教学课件：应用统计学与随机(su j)过程 概述随机变量(

33、su j bin lin)之间不相关及正交的定义若则称两个随机变量X、Y互不相关若则称两个随机变量X、Y相互正交在零均值情况下，正交与不相关等价共一百一十二页湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程(guchng) 概述随机变量(su j bin lin)数字特征的性质以c为变量的抛物线在c轴上方的充要条件A根据 同理可得B:对称性附录证：根据定义以及乘法的交换率(练习)为什么？共一百一十二页湖南大学教学课件：应用(yngyng)统计学与随机过程 概述数学期望方差协方差函数的运算(yn sun)性质ABC常数b只影响均值，不影响方差共一百一十二页湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程(guchn

34、g) 概述附录(fl):概率密度函数的全积分为1边缘分布共一百一十二页湖南大学教学课件：应用(yngyng)统计学与随机过程 概述利用随机变量(su j bin lin)和的数学期望性质利用随机变量和的数学期望性质(将整个函数作为新的随机变量)当各随机变量不相关时共一百一十二页湖南大学教学(jio xu)课件：应用统计学与随机过程 概述(10)多维随机矢量(shling)的均值矢量(shling)定义由n个随机变量构成的矢量则其均值矢量定义为各随机变量的均值所构成的矢量(10)多维随机变量的协方差矩阵(n行n列对称矩阵)协方差矩阵的第i行第j列元素值为矩阵对称性Cij=Cji列矢量行矢量共一百

35、一十二页湖南大学(h nn d xu)教学课件：应用统计学与随机过程 概述附录：(证明)若两个变量相互独立，则必然不相关(反之(fnzh)不一定)证：设X、Y两个随机变量相互独立，即则：共一百一十二页湖南大学教学课件：应用(yngyng)统计学与随机过程 概述正态分布以及多维联合(linh)正态分布的定义设X为随机变量，如果其概率密度函数为则称X服从均值为u，方差为2的正态分布或高斯分布容易证明(参见后面附录)：概率密度函数的积分性质共一百一十二页湖南大学教学课件：应用(yngyng)统计学与随机过程 概述当u=0, 2=1时，此时(c sh)的正态分布称为标准正态分布x0fX(x)mX=uu

36、x=u+x=u-最大值点(均值u处)、最大值、两个拐点、对称性、渐近线平移参数u，形状参数(方差的性质？)xufX(x) =1 =1.5 =3共一百一十二页湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程(guchng) 概述附录(fl)直角坐标系内的积分转化为极坐标系内的积分练习：在此式的基础上运用常规的积分方法证明前面的3个式子共一百一十二页湖南大学教学(jio xu)课件：应用统计学与随机过程 概述如果(rgu)这n个随机变量的多维联合概率密度分布函数满足下面介绍多维联合正态分布。定义n维随机矢量定义随机变量取值所构成的矢量C：nn的正定方阵、对角线元素值大于0；|：行列式值n维常数列矢量共一百一

37、十二页湖南大学教学课件：应用统计学与随机(su j)过程 概述则称这n个随机变量服从联合正态分布，且均值矢量(shling)以及协方差矩阵满足容易证明(见第4章ppt附录)：对除xi外的所有变量积分(n-1重积分)矩阵的数学期望的概念共一百一十二页湖南大学教学(jio xu)课件：应用统计学与随机过程 概述结论1：若多个(du )随机变量服从联合正态分布，则其中的任意变量服从正态分布(反之则不一定)进一步,若C为对角矩阵，即对称矩阵于是可得到如下结论:共一百一十二页湖南大学教学课件：应用统计学与随机(su j)过程 概述共一百一十二页湖南大学教学课件：应用(yngyng)统计学与随机过程 概述

38、结论(jiln)2：若多个随机变量服从联合正态分布，且各变量互不相关，则这些变量相互独立其他分布不一定满足此性质则多维联合概率密度分布函数为共一百一十二页湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程(guchng) 概述结论2的推论(tuln)：若多个随机变量各自服从正态分布，且相互独立(充分条件，并非必要条件) ，则其联合分布为联合正态分布。二维情况的充分必要条件为：容易证明(练习)：若随机变量X、Y分别服从均值、方差分别为(mX,X2)、(mY,Y2)的正态分布，且在X=x的情况下，Y的条件概率密度分布为如下的正态分布则X、Y服从联合正态分布，且r为两变量的相关系数,即共一百一十二页湖南大学(h

39、 nn d xu)教学课件：应用统计学与随机过程 概述(相关系数)共一百一十二页湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程(guchng) 概述共一百一十二页随机变量(su j bin lin)函数的概率密度分布1.5湖南大学教学(jio xu)课件：应用统计学与随机过程 概述1. 单调单变量函数的概率密度分布 设随机变量X和Y存在单调函数关系Y=g(X)，存在唯一反函数X=h(Y)。如果Y在任意小区间(y,y+dy)内变化时，X在(h(y), h(y)+ dy)区间内变化，这两个事件的概率相等，即(dy、dx可能为负,但区间的长度是正的,取绝对值),得到共一百一十二页湖南大学教学(jio xu)

40、课件：应用统计学与随机过程 概述证(附录(fl)：设性质：若X服从正态分布，Y是X的线性函数，则Y也服从正态分布则有：共一百一十二页湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程(guchng) 概述附录:实际应用中，可利用上述性质以及概率论中数学(shxu)期望与方差的性质，直接写出Y的概率密度分布函数则有：数学期望的性质方差的性质共一百一十二页湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程(guchng) 概述2. 多值单变量函数(hnsh)的概率密度分布 设随机变量X和Y存在函数关系Y=g(X)，除个别的Y值外，存在多个反函数(以2个为例)X=h1(Y)、X=h2(Y)。如果Y在任意小区间(y,y+dy

41、)内变化时，则X 可以在两个区间(h1(y),h1(y)+ dy)、(h2(y),h2(y)+ dy)区间内变化，这两个事件的概率相等，即得到:共一百一十二页湖南大学教学(jio xu)课件：应用统计学与随机过程 概述随机变量Y和X间的关系为Y=sin(X)，X在区间(q jin) -X内服从均匀分布。求随机变量Y的概率密度多值函数概率密度分布函数举例解：-1Y1，对于任意一个Y值(0除外)，有两个X值与之对应，有-YX值域范围?共一百一十二页湖南大学(h nn d xu)教学课件：应用统计学与随机过程 概述3. 多变量(binling)函数的概率密度分布如果存在唯一的反函数对于多维随机变量的

42、函数共一百一十二页湖南大学教学课件：应用(yngyng)统计学与随机过程 概述根据(gnj)高等数学：其中 表示矩阵J的行列式值的绝对值，J为如下的矩阵(雅可比矩阵)“超体积”放大系数共一百一十二页湖南大学(h nn d xu)教学课件：应用统计学与随机过程 概述(附录(fl)以二维为例,当矢量 的终点在2维平面上由如下四个顶点组成的长方形区域(面积为dy1dy2)内时则矢量 的终点落在由如下四个顶点组成四边形区域内(边之间不一定垂直,也可能是曲边)共一百一十二页湖南大学(h nn d xu)教学课件：应用统计学与随机过程 概述附录(fl):可以证明(高等数学),该四边形区域的面积为对于二维情

43、况,根据等概率事件原理,有矩阵的行列式值的绝对值共一百一十二页湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程(guchng) 概述定理(dngl)：若X1、X2、.、Xn服从联合正态分布，则这些随机变量的任意线性组合服从联合正态分布定义由n个随机变量构成的矢量设A为任意的可逆矩阵 (n行n列)，定义另外的n个随机变量构成的矢量令：显然，任意的Yi都是X1、X2、Xn的线性组合共一百一十二页湖南大学教学(jio xu)课件：应用统计学与随机过程 概述于是(ysh)可以得到设：其中：共一百一十二页湖南大学教学课件：应用统计学与随机(su j)过程 概述于是(ysh)有其中：由得到共一百一十二页湖南大学教学

44、(jio xu)课件：应用统计学与随机过程 概述矩阵及行列式的各种性质以及(yj)C的正定性共一百一十二页湖南大学教学课件：应用(yngyng)统计学与随机过程 概述于是(ysh)得到Y1、Y2、Yn的联合概率密度函数为结论：多维随机矢量 服从均值矢量为 ，协方差矩阵为 的联合正态分布；根据前面的结论1，则其中的任意变量Yi或X1、X2、Xn的任意线性组合服从正态分布。共一百一十二页湖南大学教学(jio xu)课件：应用统计学与随机过程 概述附录:实际应用中，可利用上述性质(xngzh)，直接得到Y的概率密度分布函数举例：X1、X2服从0均值方差为2的正态分布，两个随机变量的相关系数为0.5(

45、1)分别求Y1、Y2的概率密度分布函数，(2)求Y1、Y2的联合概率密度分布函数解:(1)正态随机变量的线性组合依然服从正态分布共一百一十二页湖南大学教学课件：应用统计学与随机(su j)过程 概述同理可以(ky)求得(练习)：(2)共一百一十二页湖南大学教学(jio xu)课件：应用统计学与随机过程 概述均方值性质以及相关函数与协方差函数、均值(jn zh)的关系共一百一十二页湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程(guchng) 概述验证边缘分布(fnb)(练习/自学)：共一百一十二页湖南大学(h nn d xu)教学课件：应用统计学与随机过程 概述均值为 、方差为26(1-0.8912)

46、的正态分布函数的全积分为1(任意均值成立)均值(jn zh)为0情况下的条件正态分布共一百一十二页湖南大学教学课件：应用(yngyng)统计学与随机过程 概述性质(练习/自学)：标准正态分布随机数Y1可以通过两个相互独立(dl)的0,1区间上均匀分布的随机数X1、X2按照如下的函数产生证：按如下方式构造另外一个随机变量存在唯一反函数关系求概率密度分布函数的技能之一:构造新的变量,形成多维函数关系四象限反正切函数,值域范围0,2,通过反正切函数的值域扩展得到共一百一十二页湖南大学(h nn d xu)教学课件：应用统计学与随机过程 概述雅可比行列式值为共一百一十二页湖南大学教学(jio xu)课

47、件：应用统计学与随机过程 概述Y1、Y2的联合(linh)概率密度分布函数为Y1、Y2的概率密度分布函数均为标准正态分布，且两个随机变量相互独立。X1、X2的联合概率密度分布函数为共一百一十二页湖南大学教学课件：应用(yngyng)统计学与随机过程 概述技巧(练习/自学)：利用概率密度分布函数的积分(jfn)特性求无穷区间内的函数积分(jfn)变换成正态概率密度分布函数的积分形式共一百一十二页湖南大学教学课件：应用(yngyng)统计学与随机过程 概述求正态分布随机变量(su j bin lin)的均方值共一百一十二页随机变量(su j bin lin)的特征函数1.6湖南大学教学课件：应用统

48、计学与随机(su j)过程 概述1. 连续型随机变量X的特征函数 概率密度函数的频域特征(在某些时候,采用频域分析方法比时域分析方法更方便 )(概率密度函数的傅立叶变换?X的函数ejX的数学期望) 参见工程数学之积分变换复变函数为虚数单位(欧拉定理)为复数共一百一十二页湖南大学教学(jio xu)课件：应用统计学与随机过程 概述2. 离散(lsn)型随机变量X的特征函数 特征函数与概率密度函数的傅立叶变换对关系 为什么称为特征函数？附录：见附录与标准傅立叶变换在定义上的差别?共一百一十二页湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程(guchng) 概述3. 多维随机变量(su j bin lin)的多维特征函数 类似于多维傅立叶变换共一百一十二页湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程(guchng) 概述附录(fl)(自学)： 证：当x0 时当x=0 时因此：奇函数的积分为0余弦函数在任意周期内的积分为0，无穷区间总可以划分为无穷个周期共一百一十二页湖南大学教学课件：应用统计学与随机(su j)过程 概述再附录：上式的无穷(wqing)定积分如何求偶函数注：积分技巧:广义二维积分共一百一十二页湖南大学教学课件：应用(yngyng)统计学与随机过程 概述4. 特征函数的性质(xngzh)1 设CX()为随机变量X的特征函数，则容