集合知识点与题型归纳

1、第集合高考明方向.了解集合的含义，元素与集合的属于关系；能用列举法或描述法表示集合.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义.理解并会求并集、交集、补集；能用Venn图表达集合的关系与运算.备考知考情对于本节的考查，一般以选择题或填空题形式出现，难度中低档 .命题的规律主要体现在集合与集合、元素与集合之间的关系以及集合的交集、并集、补集的运算，同时注意以集合为工具，考查对 集合语言、 集合思想的理解和运用，往往与映射、函数、方程、不等式等知识融合 在一起，体现出一种小题目综合化的特点.在考查集合知识的同时突出考查准确使用数学语言能力及用数形结合、分类讨论思想解决

2、问题的能力；以集合为载体考查对信息的收集、捕捉、加工能力.一、知识梳理名师一号P1知识点一元素与集合某些指定的对象集在一起就成为一个集合.其中每个对象 叫做集合中的元素.1、集合中的元素具有三个特性确定性、互异性和无序性2、集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种， 分别用e和？来表示.3、常见数集的符号表示:数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集表示法NN*或 N+ZQR4、集合有三种表示方法：列举法、描述法、图示法还可以用区间来表示集合.5、集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集知识点二集合间的基本关系表示 关/、文字语言符号语言集合间 的基本 关系相等集合

3、:与集合B中的 所有元素都相同子集中任意一个元素均为H中的兀素,4匚丹或月口4真子集J中任意一个元素均为 月中的元素，且B中至 少有一个元素不是一4中 的元素一4军/?或空集空集是任何集合的工建,是任何非空集 合的真子集知识点三集合的基本运算及性质1.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表不AU BAn b若全集为U,则集合A的补集为？uA图形表不意义x|x e A或 xC Bx|x e A 且 xC B?iA= x|x U且 x?A注意补集的相对性2.集合的运算性质并集的性质：AU = A; AUA = A; AUB = BUA; AUB = A? B? A交集的性质：AH =

4、; AAA=A; AAB=B、； AAB = A? A? B补集的性质：AU(?uA)=U; AA?uA)= ; ?u(?uA) = A二、例题分析：(一)元素与集合之间的关系例1.(1)名师一号P1 对点自测2已知集合 A = x|y= x2, B=(x, y)|y= x,则 ACB =答案：注意：名师一号P2高频考点 例1规律方法(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是 数集、点集还是其他类型集合 名师一号P2问题探究问题2、 与0有什么区别与联系？是空集，不含任何元素. 不是空集，它含有一个元素 ；同样，0也不是空集，它含有一个元素

5、 0. TOC o 1-5 h z 由于空集是任何集合的子集，故0, ;又根据 是 的一个元素，也可以得到 .另外， 00尸.例 1.(2)(补充)P y x2 1 , Q y|y x2 1, _2_2_.Ex|y x1 , F(x,y)|yx 1 , Gx|x1,则()(A) P F (B) Q E (C) E F (D)Q G答案：D练习：名师一号P2高频考点变式思考1(1)已知集合 A = (x, y)|x, yCR,且 x2+y2=1,B = (x, y)|x, y R,且 y= x,则 APB 的元素个数为()A. 0 B. 1 C. 2 D. 3答案：2注意：集合与解析几何集合与平

6、面解析几何结合是高考的又一热点 ，这类题型一般以集合为载体考查解析几何基本图形的性质 及相互之间的关系，解题关键是抓住表达式的几何意义练习 1:已知集合 M=(x, y)|y- 1 = k(x1), x, y R, 集合 N = (x, y)|x2 + y22y=0, x, yCR,那么 M AN 中()A .不可能有两个元素B .至多有一个元素C.不可能只有一个元素 D.必含无数个元素解析：y1 = k(x1)表示经过定点(1,1),斜率为k的直线，不包括通过(1,1)与x轴垂直的直线即x= 1.x2+y2 2y=0,可化为 x2+(y 1)2=1,表示圆心在(0,1),半径等于1的圆，又(

7、1,1)是圆上的点，.直线与圆有两个交点，故选 C.练习2：已知集合A x, y y J3x 0 ,c2- 2/B x, y x y a 1 ,若AI B B ,则实数a的取值范围是()A. 2,B ., 2c 2,2 d ., 2 U 2,答案：B例2. (1)名师一号P1对点自测3已知集合 M=1, m + 2, m2+4,且5CM,则m的值为.解析：因为 5 C 1 , m + 2, m2 + 4,所以 m+2=5或m2 + 4 = 5,即 m = 3 或 m= +.当 m = 3 时，M=1,5,13;当 m=1 时，M =1,3,5;当m= 1时，M= 1,1,5不满足互异性.所以m

8、的值为3或1.注意：名师一号P2问题探究问题1如何正确认识集合的三大特性？集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到 解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.例2. （2）名师一号P2高频考点例1已知集合 A=1,2,3,4,5, B = （x, y）|xCA, yCA, x-y A,则B中所含元素的个数为（）A. 3 B. 6C. 8 D. 10解析：由 xyC A,及人=1,2,3,4,5得 xy, 当y= 1时，x可取2,3,4,5,有4个；当y= 2时，x可取3,4,5,有3个；当y= 3时，x可取4,5,有2个；当y= 4时，x可取5,有1个.故共

9、有1+2 + 3 + 4=10（个），选D.注意：名师一号P2高频考点例1规律方法（2）集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法 常用于解决集合问题.例2. (3)名师一号P2高频考点例1 (2)(07 全国 I)设 a,b R,集合1,a b,a 0,-,b a贝 U b a ()A. 1 B ,1 C , 2 D ,2解析:因为1, a+b, a= 0, b, b , awQ 所以 a+b = 0,得a= 1,所以 a= 1, b=1.所以 ba= 2.注意：利用互异性解题练习：（补充）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q = x|x = ab,为通常

10、的乘法运算，aCP, bC Q,若P = 0,2,4, Q = 1,2,6,则P*Q中元素的个数是（）A. 9B. 8C. 7D. 6解析：由题意可知P*Q = 0,2,4,8,12,24.故选D.本题易形成错解：从P中选取元素a有3种选法，对于它的每一种选法，在 Q中选取b有3种选法， 共有3X3= 9种，选A.例3.(补充)，八，1在集合M=0,万，1,2,3的所有非空子集中任取一个集合，1该集合恰满足条件“对？ xCA,有e A”的概率是.x解析：集合M的非空子集有251=31个，而满足条件“对？ x8,则18”的集合A中的元素为1、J或2, TOC o 1-5 h z X2一 一 .且

11、2, 2要同时出现，故这样的集合有3个：1, 2, 2, 1, 2, 2.因此，所求的概率为31 223 1注意：1、一般地，若a A,则元素a一定满足集合A中元素的共同特征2、名师一号P2 对点自测4 (2)含有n个元素的集合的子集个数是2n,真子集个数是2n1,非空真子集的个数 是2n 2.练习1:名师一号P2高频考点 例1变式思考1(2)若集合A = x|ax2 3x+2=0的子集只有两个，则实数 a=.集合A的子集只有两个，A中只有一个元素.，2,八一.、当a=0时，x = W符合要求.39当 aw。时，A= (3)24a2=0, a= .8故a=0或9.8练习2:(补充)设集合 U

12、x, y x R, y R , A x, y 2x y m 0B x,y x y n 0 ,则点 P(2,3) AI CUB 的充要条件是答案：m 1且n 5(二)集合与集合之间的关系例1. (1)名师一号P2高频考点 例2 (1)已知集合 A = x| 2407 B = x|m+1xm 1,则m 2,则 2m1&Z解彳# 2m4.m+ 12m 1,综上，m的取值范围是( 8, 4.例1. (2)名师一号P2高频考点 例2 (2)& U=R,集合 A = x|x2 + 3x+2=0,B = x|x2+(m+ 1)x+ m = 0.若(?uA) CB=,求m的值.，得 B A.解析：A= 2,

13、1, 由(?uA)rB =方程 x2+ (m+ 1)x+ m = 0 的判别式 A= (m+ 1)2 4m = (m 1)2q.Bw .B = 1或 B = 2或 B = 1, 2.若 B = 1,则 m=1;若 B = 2,则应有(m+1) = (2)+(2)= 4,且m = (2) (2) = 4,这两式不能同时成立，.B2;若 B = 1, 2,则应有(m+1) = (1)+( 2)= 3,且m = (1)(2) = 2,由这两式得 m=2.经检验知m=1和m = 2符合条件.m=1或2.注意：名师一号P2高频考点例2规律方法(1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子

14、集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.如A B时，A有两种情况：A 与A在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时, 要对参数进行讨论.解含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要注意空集区分“包含于”、“包含”、“真包含”、“不包含”关注区间端点值是否取到一具体检验！方程与不等式的解集练习1:名师一号P3高频考点例3变式思考3(1)，“1 V已知全集为R,集合A= x 2xl ,B = x|x2-6x+80 WJAn?RB = ()A. x|x 0B x|2 奚4D. x|

15、0 x41、，解析：A= x 2 x0 B=x|2 买04所以？RB = x|x4,止匕时 AA?RB = x|0 雯4.k 1练习2:(补充)设集合M x |x - -,k Z, 2 4则 ()(A) M N (B) M N (C) M N (D) M I Nk 1N X1X 4 2，k Z,答案：B(三)集合的运算例1 .名师一号P2高频考点例3 (2)已知 R 是实数集，集合 P=x|y= ln(x2+2 014x-2 015),Q=y|y=V-x2+2x+3,则(?rp)uq=()A. (0,1 B. 0,1C. ( 2 015,1 D. -2 015,2解析：集合P表示函数y=ln(

16、x2+2 014x-2 015)的定义域， 由 x2 + 2 014x-2 0150,即(x1)(x + 2 015)0,解得 x1.故 P=( - 2 015)U (1, +oo), ?rP= 2 015,1.集合Q表示函数y=x2+2x + 3的值域，设 t= x2 + 2x+3,则 y=#.因为 t= x2+2x + 3= (x 1)2+ 44所以 y=/e 0,2,即 Q=0,2 .所以(?RP)UQ= 2 015,2,故选 D.注意：1、正确解读集合语言集合的运算问题要依据交、并、补运算的定义求解同时关注区间端点值是否取到2、名师一号P2问题探究 问题4数轴和Venn图是进行交、并、

17、补集运算的有力工具， 数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中 各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、 直角坐标系或Venn图等工具，将抽象的代数问题具体化、 形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解题.例2. (1)名师一号P2对点自测6设全集 U = 1,2,3,4,5,6,7,8,集合 A=1,2,3,5, B = 2,4,6, 则右图中的阴影部分表示的集合为()A. 2B. 4,6C . 1,3,5 D. 4,6,7,8解析 由图知即求(?uA) PB,而？uA=4,6,7,8,B = 2,4,6,所以(?uA) fB = 4,6.故选 B.例2. (2)(补

18、充)已知集合 U1,2,3,4,5,若 AI B 2 ,CuA I B 4 ,CuA ICuB 1,5 ,则A , B答案：A 2,3 , B 2,4温故知新P1第8题（四）综合运用名师一号P3特色专题1.以集合为载体的创新型问题以集合为载体的创新型问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算以及创新交汇等，此类 问题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力.例1.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个 类”, 记为k,即k = 5n + k|n CZ , k = 0,1,2,3,4给出如下四个结论：2 014C 4;3C3; Z =

19、U 1 U2 U 3 U 4; 整数a, b属于同一类的充要条件是a- bC 0其中，正确结论的个数是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【规范解答】因为2 014= 402X5+4,又因为4=5n + 4|nCZ,所以2 014C 4,故正确；因为一3=5X1) + 2,所以一3C2,故不正确；因为所有的整数Z除以5可得的余数为0,1,2,3,4,所以正确；若a, b属于同一类，则有a=5m + k, b= 5n2+k,所以 ab = 5(m n2) 0,反过来，如果a-b 0,也可得到a, b属于同一类故正确.故有3个结论正确.【名师点评】解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：紧扣新定义-言听计从！.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型 集合问题难点的关键所在.(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的 一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.以集合为载