2022年分式知识点总结与分式方程的应用

1、知识点 1、分式概念重点：掌握分式的概念和分式有意义的条件难点：分式有意义、分式值为 0 的条件分式的概念：形如 A ，其中分母 B 中含有字母，分数是整式而不是分式 . B(1) 分式无意义时，分母中的字母的取值使分母为零，即当 B=0时分式无意义 . (2) 求分式的值为零时，必须在分式有意义的前提下进行，分式的值为零要同时满足分母的值不为零及分子的值为零，这两个条件缺一不可 . (3) 分式有意义，就是分式里的分母的值不为零 . 易错易混点(1) 对分式的定义理解不准确；知识点 2、分式的基本性质(2) 不注意分式的值为零的条件；重点：正确理解分式的基本性质 . 难点：运用分式的基本性质

2、，将分式约分、通分分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以( 或除以 ) 同一个不等于零的整式，分式的值不变，用式子表示是：AB= A M，AB= A M .( 其中 M是不等于零的整B M B M式) 分式中的 A，B，M三个字母都表示整式，其中 B 必须含有字母，除 A 可等于零外， B，M都不能等于零 . 因为若 B=0，分式无意义；若 M=0，那么不论乘或除以分式的分母，都将使分式无意义 . 分式的约分和通分(1) 约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分(2) 分式约分的依据：分式的基本性质(3) 分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公

3、因式1 / 9 (4) 最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式求几个分式的最简公分母的步骤：1取各分式的分母中系数最小公倍数；要取到；2各分式的分母中所有字母或因式都3相同字母（或因式）的幂取指数最大的；4所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。各个分式的分母都是多项式，并且可以分解因式。这时，可先把各分式的分母 中的多项式分解因式，再确定各分式的最简公分母，最后通分。易错易混点 分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因式 的最低次幂，注意系数也要约分。当分式的分子、分母为多项式时，先要进 行因

4、式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分注意对分子、分 母符号 的处理分子或分母的系数是负数时，一般先把负号提到分式本身的前边(3) 约分时，分式的分子或分母中因式符号的变化容易出错。知识点 3、分式的运算 重点：掌握分式的运算法则 难点：熟练进行分式的运算 1. 分式加减法法则（1）通分：把异分母的分式化为同分母分式的过程，叫做通分（2）同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加 减（3）异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分变为同分母 分式后再加减2 / 9 2分式的化简 分式的化简与分式的运算相同，化简的依据、过程和方法都与运算一样，分式 的化简题，大多是

5、分式的加、减、乘、除、乘方的混合题，化简的结果保留最 简分式或整式3. 分式的四则混合运算 分式的四则混合运算运算顺序与分数的四则运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号内的有些题目先运用乘法分配律，再计算更简 便些分式混合运算法则口诀：分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法 符号须变（乘）：乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运 算；加减分母需同分母化积关键；找出最简公分母，通分不是很难；变号必 须两处结果要求最简以开放题的形式出现的分式计算，字母的取值范围很广，在选取字母合适的值 时存在许多种选法，一般地，取易于计算的值，但要考虑分式的分母不为 零易错

6、易混点(1) 分式乘除法运算顺序容易错误；(2) 把通分当成去分母、错用分配律；(3) 结果没有化成最简分式或整式。知识点 4、分式方程 重点：掌握分式方程的解法与步骤 难点：解分式方程的思想转化以及验根 分式方程是方程中的一种，且分母里含有字母的方程叫做分式方程。分式方程的解法 3 / 9 去分母 方程两边同时乘以最简公分母( 最简公分母 : 最小公倍数相同字母的最高次幂只在一个分母中含有的照写）, 将分式方程化为整式方程。若遇到互为相反数时 . 不要忘了改变符号 。按解整式方程的步骤（移项，若有括号应去括号 , 注意变号 , 合并同类项，系数化为1）求出未知数的值。验根( 求出未知数的值后

7、必须验根, 因为在把分式方程化为整式方程的过程中, 扩大了未知数的取值范围 , 可能产生增根 ). 验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于 0，这个根就是 增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，则原方程无解。解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“ 去分母” ，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。解分式方程的基本思路是：先确定最简公分母，再通过去分母把分式方程转化成整式方程，从而求得其解须舍去要注意的是解分式方程必须检验，若为增根，分式方程的无解，就是分式方程中未知数的取值使分母的值为 0，导致分式无意义 . 分式方程无

8、解，实质就是指对应整式方程的解是原分式方程的增根，其整式方程的解会使最简公分母的值为零 . 易错易混点（1）解分式方程不检验。(2) 验根方法错误，将所求到的根只代入化为整式的方程中，而不是代入最简公分母或原方程的各个分母中；(3) 认为增根也是 原方程的根。知识点 5、分式方程的应用 重点：掌握解分式方程应用题的步骤难点：审题弄清题目中的等量关系 4 / 9 列分式方程与列整式方程解应用题一样，应仔细审题，找出反映应用题中所有数量关系的等式，恰当地设出未知数，列出方程与整式方程不同的是求得方程的解后，应进行两次检验，一是检验是否是增根，二是检验是否符合题 意 (1) 行程问题：基本公式：路程

9、=速度 时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题 (2) 数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法 (3) 工程问题 基本公式：工作量 =工时 工效 (4) 顺水逆水问题 v 顺水v 静水v 水流、v 顺水v 静水-v 水流 (5) 计划任务应用性问题分式应用题一、营销类应用性问题例 1 某校办工厂将总价值为 2000 元的甲种原料与总价值为 4800 元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料 0.5kg 少 3 元，比乙种原料 0.5kg 多 1 元，问混合后的单价 0.5kg 是多少元？某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8 万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用 17.

10、6 万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的 2 倍，但单价贵了 4 元，商厦销售这种衬衫时每件定价都是 58元，最后剩下的 150 件按八折销售，很快售完，在这两笔生意中，商厦共赢利多少元。某商店甲种糖果的单价为每千克 20 元，乙种糖果的单价为每千克 16 元，为了促销，现将 10 千克的乙种糖果和一包甲种糖果混合后销售，如果将混合后的糖果单价定为每千克 17。5 元，那么混合销售与分开销售的销售额相同，这包甲糖果有多少千克？二、工程类应用性问题例 2 某工程由甲、乙两队合做 6 天完成，厂家需付甲、乙两队共 8700 元，乙、丙两队合做5 天完成全部工程的 10 天完成，厂家需

11、付乙、丙两队共 2 ，厂家需付甲、丙两队共 5500 元9500 元，甲、丙两队合做3求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？5 / 9 若工期要求不超过 15 天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱 最少？请说明理由一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用已知甲、乙、丙三辆车每次运货物量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别运 2a 次、 a 次能运 完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了 180t；若乙、丙 两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了 270t 问：乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍；现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主

12、应付车主运费各多少 元？ (按每运 1t 付运费 20 元计算 ) 一台甲型拖拉机4 天耕完一块地的一半，加一天乙型拖拉机，两台合耕，1 天耕完这块地的另一半。乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？三、行程中的应用性问题 例 3 甲、乙两地相距 828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5 倍直达快车比普通快车晚出发 2h，比普通快车早 4h 到达乙地，求两车的平均速度如图 , 小明家、王老师家、学校在同一条路上 , 小明家到王老师家的路程为 3km,王老师家到学校的路程为 0.5km, 由于小明的父母战斗在抗“ 非典” 第一线 , 为了使他能

13、按照到校 , 王老师每天骑自行车接小明上学 .? 已知王老师骑自行车的速度是步行速度的 3 倍, 每天比平时步行上班多用了 20min, 问王老师的步行速度及骑自行车速度各是多少 ? 6 / 9 小明家 王老师家学校从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km 的普通公路，另一条是全长480Km的告诉公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快 45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时 间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。从甲地到乙地的路程是15 千 M，A 骑自行车从甲地到乙地先走，40 分钟后， B骑自行车从甲地出发，结果同时到达

14、。已知 车的速度。四、轮船顺逆水应用问题B的速度是 A 的速度的 3 倍，求两例 4 轮船在顺水中航行 30 千 M的时间与在逆水中航行 20 千 M所用的时间相等，已知水流速度为 2 千 M时，求船在静水中的速度？某人沿一条河顺流游泳 lM，然后逆流游回出发点，设此人在静水中的游泳速度为 xm/s, 水流速度为 nm/s, 求他来回一趟所需的时间 t 。（1）小芳在一条水流速度是 0.01m/s 的河中游泳，她在静水中游泳的速度是 0.39m/s, 而出发点与河边一艘固定小艇间的距离是60m,求她从出发点到小艇来回一趟所需的时间。（2）志勇是小芳的邻居，也喜欢在该河中游泳，他记得有一次出发点

15、与柳树 间来回一趟大约用了 2.5min ，假设当时水流的速度是 0.015m/s ，而志勇在静 水中的游泳速度是 0.585m/s ，那么出发点与柳树间的距离大约是多少？五、计划任务应用性问题某煤矿现在平均每天比原计划多采330 吨，已知现在采煤33000 吨煤所需的时7 / 9 间和原计划采 23100 吨煤的时间相同，问现在平均每天采煤多少吨。某农场原有水田 400 公顷，旱田 150 公顷，为了提高单位面积产量，准备把部分旱田改为水田，改完之后，要求旱田占水田的 为水田。10%，问应把多少公顷旱田改两块面积相同的小麦实验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收 获小麦 9000K

16、g 和 15000Kg,已知第一块实验田的每公顷的产量比第二块少 3000Kg,分别求这块实验田每公顷的产量。A 做 90 个零件所需要的时间和B 做 120 个零件所用的时间相同，又知每小时A、B两人共做 35 个机器零件。求 A、B每小时各做多少个零件。能力提升某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000 元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为 10 万元，今年销售额只有 8 万元（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为 3500 元，乙种电脑每台进价为

17、3000 元，公司预计用不多于5 万元且不少于 4.8 万元的资金购进这两种电脑共15 台，有几种进货方案？（3）如果乙种电脑每台售价为 3800 元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金 a元，要使（ 2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？某校原有 600 张旧课桌急需维修，经过 A、B、C 三个工程队的竞标得知，A、B的工作效率相同，且都为 C队的 2 倍，若由一个工程队单独完成，C 队比 A 队要多用 10 天学校决定由三个工程队一齐施工，要求至多 6 天完成维修任8 / 9 务三个工程队都按原来的工作效率施工2 天时，学校又清理出需要维修的课桌 360 张，为了不超过6 天时限，工程队决定从第3 天开始，各自都提高工作效率， A、B 队提高的工作效率仍然都是 3 天才能成整个维修任务C队提高的 2 倍这样他们至少还需要求工程队 A原来平均每天维修课桌的张数；求工程队 A提高工作效率后平均每天多维修课桌张数的取值范围北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用 32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用 68000 元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的 2 倍，但每套进价多了 10 元（1）该