定积分以及其应用

1、关于定积分及其应用第一张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第一节 定积分的概念重点：定积分的概念和性质难点：定积分概念的理解第二张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月abxyo实例1 （求曲边梯形的面 积）一、两个实例第三张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月 在初等数学中，以矩形面积为基础，解决了较复杂的直边图形的面积问题.现在的曲边梯形有一条边是曲线，所以其面积就不能按照初等数学的方法来计算.困难就在于曲边梯形底边（区间）上的高是变化的，而且这种变化规律不是线性的.但由于曲线是连续的，所以当在上的变化很小时，相应的高的变化也很小.由于这个想法，可以用一组平行于轴的

2、直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，只要分割的充分细，每个小曲边梯形就很窄，则其高的变化就很小， 第四张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积（四个小矩形）（九个小矩形）第五张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月曲边梯形如图所示，第六张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为第七张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月实例二、求变速直线运动的路程思路：把整段时间分割成若干个小段，每小段上速度看作不变。求出各小段的路程再相加，便得到路程的近

3、似值。最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值。第八张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月（1）分割部分路程值某时刻的速度（2）求和（3）取极限路程的精确值第九张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月二、定积分的定义定义第十张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和第十一张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月注意：第十二张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月定理1定理2三、存在定理第十三张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月四、定积分的几何意义第十四张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月几

4、何意义：ab第十五张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月 例1、用定积分表示下列图中阴影部分的面积第十六张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第十七张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月解：根据定积分的几何意义，解题如下：第十八张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第十九张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月对定积分的补充规定:说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小五 定积分的性质第二十张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月证性质1第二十一张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月证性质2第二十二张，PPT共一百一十

5、三页，创作于2022年6月例 若（定积分对于积分区间具有可加性）则性质3第二十三张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月证性质4第二十四张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月证由闭区间上连续函数的介值定理知性质5（定积分中值定理）积分中值公式第二十五张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月使即积分中值公式的几何解释：第二十六张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月 第二节 微积分基本公式重点：牛顿莱布尼兹公式难点： 积分上限的函数第二十七张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为一、

6、问题的提出第二十八张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月考察定积分记积分上限函数二、积分上限函数及其导数第二十九张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月积分上限函数的性质证第三十张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月由积分中值定理得第三十一张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第三十二张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第三十三张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第三十四张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月 （2）第三十五张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第三十六张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月分母的导数为所

7、以有第三十七张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月定理 3（微积分基本公式）证三、牛顿莱布尼茨公式第三十八张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月令令牛顿莱布尼茨公式第三十九张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月微积分基本公式表明：注意求定积分问题转化为求原函数的问题.第四十张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月例计算下列定积分（1）(2)(3)(4)(5)第四十一张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第四十二张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第四十三张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第四十四张，PPT共一百一十三页，创作于2022

8、年6月 第三节 积分的换元法 重点与难点： 掌握定积分的换元积分公式 牛顿莱布尼茨公式把定积分的计算问转化为求原函数（不定积分）的问题，因而求不定积分的各种具体方法经过适当的变化，都可用于求定积分，本节我们来学习定积分的换元法. 第四十五张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第四十六张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第四十七张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月 解法2要比解法1简便些，因为它省去了变量回代这一步。 一般的，定积分的换元法可表述为：第四十八张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月定积分的换元法有两个特点：换成新变量时，积分限也要换成相应于新变量

9、的积分限.即所谓的“换元必换限.”（）求出的一个原函数后，不必象不定积分那样再把原变量回代，而直接代入新变量的上下限，然后相减就把原变量（1）用可以了。第四十九张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第五十张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第五十一张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第五十二张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第五十三张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第五十四张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第五十五张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月 第四节 定积分的分部积分法重点与难点： 熟练掌握定积分的分部积分公式第

10、五十六张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月把不定积分的分部积分公式添加上积分限，就得到定积 分的分部积分公式：第五十七张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第五十八张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第五十九张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第六十张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第六十一张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月 例 求 解：由例4的结果知当时，当时，第六十二张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第六十三张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第六十四张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第六十五张

11、，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月令则当时，当时代入到中得：第六十六张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月 第五节 无穷区间上的广义积分 重点与难点： 广义积分的概念与计算第六十七张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第六十八张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第六十九张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月显然，当在内变化时，曲边体形的面积也随着b的变化而变化 时，这个曲边梯形面积的极限就应该是“开口曲边梯形” 的面积，即当第七十张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第七十一张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月二、 广义积分的定义第

12、七十二张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第七十三张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第七十四张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第七十五张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第七十六张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月为了书写方便起见，我们规定：记为写为第七十七张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第七十八张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第六节 定积分应用举例重点与难点：正确理解定积分的元素法；熟练掌握用元素法求平面图形的面积和旋转体的体积；会求平面曲线的弧长、变力作功和函数的平均值。 第七十九张，PPT共一百一十三页，创

13、作于2022年6月 回顾曲边梯形求面积的问题一、问题的提出abxyo第八十张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月（3）求和 得A的近似值 面积表示为定积分的步骤是：第八十一张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月abxyo（4） 求极限 得A的精确值提示面积元素第八十二张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第八十三张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月微元法的一般步骤：第八十四张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月这个方法通常叫做微元法应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等第八十五张，PPT共一百一十三页，创作于2022

14、年6月曲边梯形的面积平面图形的面积二、平面图形的面积第八十六张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月解 两曲线的交点为面积元素选 为积分变量第八十七张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第八十八张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第八十九张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第九十张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第九十一张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴圆柱圆锥圆台三、旋转体的体积第九十二张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月xyo旋转体的体积为第九十

15、三张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月解直线 方程为第九十四张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第九十五张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第九十六张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第九十七张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第九十八张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月弧长元素弧长 四、平面曲线的弧长第九十九张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月解所求弧长为第一百张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第一百零一张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月如图所示第一百零二张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第一百零三张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月点击图片任意处播放暂停解建立坐标系如图第一百零四张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月这一薄层水的重力为功元素为(千焦)第一百零五张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月第一百零六张，PPT共一百一十三页，创作于2022年6月等份，每个小区间的长度为由于连续，所以当足够大时，我们可把在区间上看作常数，先把区间用分点第一百零七张，PPT共一百