3.1.1空间向量及其加减运算 (6)

1、3.1 空间向量及其运算一、平面向量复习定义：既有大小又有方向的量叫向量 几何表示法：用有向线段表示； 字母表示法：用字母a、b等或者用有向线段的起点与终点字母 表示相等的向量： 长度相等且方向相同的向量 ABCD平面向量的加减法与数乘运算向量的加法：aba+b平行四边形法则aba+b三角形法则向量的减法aba-b三角形法则向量的数乘aka（k0）ka（k0）推广：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：平面向量的加法与数乘运算律加法交换律：abba 加法结合律：(ab)ca(bc) 数乘分配律：(ab)

2、ab 数乘结合律：(a)()a 起点终点 类似于平面向量,为了研究的 方便起见,我们规定: 零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念.你认为应该怎样规定?） 的相反向量，记为：（abOAB2. 空间向量加法、减法与数乘向量运算：a + baaaOPa - baC3.空间向量加法与数乘向量运算律加法交换律：a + b = b + a；加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；数乘分配律：(a + b) =a +b .abca + b + c abca + b + c a + b b + c (a)()a 数乘结合律：对空间向量的加法、减法与数乘向量的说明：空间向量的运算就是

3、平面向量运算的推广两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加推广：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：4. 平行六面体：ABCDA1B1C1D1A1D1C1B1BACD记作ABCDA1B1C1D1，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱.a 平行四边形ABCD(包括它的内部)平移向量a到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体.ABCDABCD例1.解：ABCDABCD设M是线段CC的中点，则解：ABCDABCDM设G是线段AC靠近

4、点A的 三等分点，则GABCDABCDM解：例2.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值.ABCDA1B1C1D1例2.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1例2.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1解：例2. 已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1解：1. 共线向量（平行向量）：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合.共线向量定理：二、共线向量与共面向量 推论：如果l为经过已知点A且平行于已知

5、非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式PBOP = (1- t)OA + t OB. (2)说明: (1)或(2)都叫做空间直线的向量参数表示式,(3)是线段AB的中点公式。.共线向量OP = OA + t AB 或定理: 对于空间任意两个向量a、b(b0),a/b的充要条件是存在实数使a= b.OP = OA + t a. (1)a其中向量a叫做直线l的方向向量.AOA、B、P三点共线的充要条件为：（其中x+y=1）2.共面向量我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量. 思 考:空间任意两个向量是否一定共面? 空间任意三个向量哪?ABCD 已知平面与

6、向量a,如果向量a所在的直线OA平行于平面或向量a在平面内,那么我们就说向量a平行于平面,记作 a/.aOAa下面讨论三个向量共面的条件：MBAPAabp反之，(3)共面向量定理:推论:空间一点P 位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使MP = xMA + yMB或对空间任一定点O，有OP = OM + xMA + yMB.如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y，使MBAPAabpp = xa + yb.（平面MAB的向量表达式）O即即四点P、A、B、C共面的充要条件为：对空间任意一点O，存在实数对x、y，z，使（其中x+y+z=1）例3. 如图，已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量OE = kOA，OF = kOB，OG = kOC，OH = kOD，求证：（1）四点E、F、G、H共面； （2）平面EG/平面AC.证明：（1） 四边形ABCD是平行四边形例3.如图，已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点