重庆邮电大学信号与系统课件第5章

1、第五章 LTI离散系统的Z域分析5.1 Z变换5.2 Z变换的性质5.3 Z反变换5.4 离散系统的Z变换分析法5.5 离散系统函数H(z)与系统特性5.6 离散系统的Z域模拟框图和信号流图通信基础教学部5.1.1 从拉氏变换到Z变换抽样信号的拉氏变换：一个任意的连续时间信号f(t)经过以均匀间隔T进行理想取样得到取样信号fs(t)，可表示为：5.1 Z变换对上式两边进行拉氏变换，得即通信基础教学部 引入一新的复变量z, 令 再将f(kT) 抽象为f(k), 则上式变成了复变量Z的函数式F(z):5.1 Z变换 f(k)的z变换是f(t)的理想抽样信号fs(t)的拉普拉斯变换Fs(s)将变量s

2、通过z=esT代换的结果。通信基础教学部5.1.2 Z变换序列 f(k) 的Z变换定义为： 由于 k 的取值范围是正负无穷大（- k )，上式称为双边Z变换。5.1 Z变换 如果离散信号始有始序列，k 的取值从大于零开始（0 k )，上式变为：就是单边Z变换，本课程以单边Z变换为主。 F(z)称为f(k)的象函数 f(k)称为F(z)的原函数通信基础教学部5.1.3 Z变换的收敛域 ROC (region of convergence ) 与连续信号的拉氏变换一样，离散信号的Z变换也存在收敛 域问题。Z变换表现为一个幂级数。显然，仅当该级数收敛时， Z变换才有意义。级数收敛条件为： 上式称为序

3、列 f(k) 的绝对可和条件，它是离散信号 f(k) 的Z变换存在的充分必要条件。满足该条件|Z|的的取值范围称为z变换的收敛域(ROC) 由于上式是一个正项级数，通常可以利用两种方法比值判定法和根值判定法来判别其收敛性。5.1 Z变换通信基础教学部a. 比值判定法若级数 存在，且令则，当1时该级数收敛； 当 1 时该级数发散； = 1不确定。 b. 根值判定法若级数 存在，且令则，当1时该级数收敛； 当 1 时该级数发散； = 1不确定。 5.1 Z变换通信基础教学部为正实数，求其收敛域。解：欲使则须满足Z平面上收敛域如图例5.1 Z变换通信基础教学部例为正实数，求其收敛域。解：对于 令 m

4、 = k 则欲使则须再令 m = k 则由上例知，对于 有 5.1 Z变换通信基础教学部Z平面上收敛域如图故收敛域5.1 Z变换通信基础教学部5.1.4 常见离散信号的Z变换1. 单位函数Z推论5.1 Z变换通信基础教学部2. 单位阶跃序列Z收敛域为 单位圆以外区域，如图 5.1 Z变换通信基础教学部3. 指数序列4. 虚指数序列ZZ平面上收敛域如图5.1 Z变换通信基础教学部5. 斜坡序列同理， 由二次微分得到Z5.1 Z变换通信基础教学部6. 正弦序列5.1 Z变换通信基础教学部5.1 Z变换 常见序列的单边Z变换原函数像函数通信基础教学部5.2.1 线性性质若则5.2 Z变换的性质解：解

5、：通信基础教学部5.2.2 比例性（尺度变换）若则已知问解：5.2 Z变换的性质通信基础教学部5.2.3 移序性质特别：若f(k)为因果序列，则 f(km) zmF(z) 。5.2 Z变换的性质通信基础教学部例已知 问解：请注意 与 的Z变换不同。5.2 Z变换的性质通信基础教学部解：5.2 Z变换的性质通信基础教学部5.2.4 卷积定理若则5.2 Z变换的性质通信基础教学部 证明：根据卷积和的定义和Z变换的定义Z其中，f(-1)=f(-2)=f(-3)=.=0Z5.2 Z变换的性质通信基础教学部例 已知试求解：5.2 Z变换的性质通信基础教学部5.2.5 序列求和的Z变换若则f(k) (k)

6、(因果序列)与(k)的卷积和解：5.2 Z变换的性质通信基础教学部例 5-5已知试求解：5.2 Z变换的性质通信基础教学部5.2.6 Z域微分性质设则证明： 由定义将等式 F(Z) 两边关于Z 求导得，即5.2 Z变换的性质通信基础教学部类推5.2 Z变换的性质通信基础教学部不是严格的数学表达式其中，5.2 Z变换的性质通信基础教学部例已知试求解：5.2 Z变换的性质通信基础教学部5.2.7 Z域积分性质（序列 k+m ）设则 该性质的证明可与拉普拉斯变换s域积分性质相对应，本课程不做要求。5.2 Z变换的性质通信基础教学部例已知试求解：5.2 Z变换的性质通信基础教学部5.2.8 初值定理若

7、 且 存在 则证明： 由定义 5.2 Z变换的性质通信基础教学部另外，由于类推：5.2 Z变换的性质通信基础教学部例求解：5.2 Z变换的性质通信基础教学部5.2 Z变换的性质通信基础教学部5.2.9 终值定理若 且 收敛 则证明： 根据Z变换的线性性质和移序性质另外，由Z变换的定义ZZ5.2 Z变换的性质通信基础教学部令Z1, 则 为了保证 f() 的存在，(z-1)F(z)的极点必须限制在单位圆以内 由此可以根据终值f()来判断信号f(k) 是否收敛。5.2 Z变换的性质通信基础教学部求解： 条件是 |a| 1 , 否则（z -1)F(z)的极点在单位圆的外部，f(k) 发散。 例5.2

8、Z变换的性质通信基础教学部作业5.1 （1）5.2 （1）（3）（5）（7）通信基础教学部5.3.1 幂级数展开法例若知道 F(z) 的幂级数的形式，则由Z变换的定义，即可求出 f (k)。则例如5.3 Z反变换 知道了F(z)求f(k),便是求Z反变换，记作F(Z)与f(k)构成Z变换对。本课程仅限于单边的Z反变换又称Z逆变换。通信基础教学部例解：长除法5.3 Z反变换通信基础教学部 采用幂级数展开法求解Z反变换，一般情况下f(k)难以归纳成数学解析式。5.3 Z反变换通信基础教学部5.3.2 部分分式展开法 则可将 展开为标准形式再利用典型的指数序列Z变换公式 求得反变换。为什么不是展开

9、F(z) 呢？这是因为无论 (k) 或 rk(k) 的 Z 变换分子均含有 z , 即 和 而部分分式展开出来的一般式的分子不含z，按上述分式 展开能确保 F(z) 的展开式里含有z , 从而与一般典型信号的Z变换保持一致。如果Z域函数式 有实数单极点r1 , r2 , r3 ,5.3 Z反变换通信基础教学部例如，若 则 若 则待定常数的确定：再例如 则 5.3 Z反变换通信基础教学部例 已知 求 f(k)。解：5.3 Z反变换通信基础教学部5.3.3 围线积分法（留数法）5.3 Z反变换留数定理: 该积分可表示为围线C内所包含F(z)z k-1的各极点留数之和，即F(z) 的Z反变换可表示一

10、围线积分 通信基础教学部5.3.3 围线积分法（留数法） 在Z平面上F(Z)的收敛域是以R为半径的圆以外区域 ，在这个区域里选一条包含圆点逆时针 方向旋转的围线C（如图所示）。 将上式两边同时乘以 zn-1 , 然后在围线C上沿逆时针方向作线积分，得5.3 Z反变换通信基础教学部将积分与求和符号的次序互换，得根据复变函数的柯西积分定理 因此上述积分的右端，除了m=nk = 0 , 即 n = k 项以外，其余项均为零 ; 等式左端的zn-1=zk-1 , 所以上式变为5.3 Z反变换通信基础教学部即这就是F(z) 的Z反变换的围线积分(留数)表达式。留数定理: 积分 , 可表示为围线 C 内所

11、包含F(z)z k-1的各极点的留数之和，即5.3 Z反变换通信基础教学部1. 当F(Z)Z k-1含有实数单极点r1, r2, r3,时，5.3 Z反变换通信基础教学部例 已知 求 f(k) 。解：5.3 Z反变换通信基础教学部5.3 Z反变换通信基础教学部2.当F(z)z k-1含有某一实数 z = rk 的 m 重极点时5.3 Z反变换通信基础教学部例 已知 求f (k)。解：当k=0时F(z)z k-1含有三个极点，其中z=0为二重极点；当k=1时, z=0时单极点；当k 2 时，只含有两个单极点。5.3 Z反变换通信基础教学部所以，当 k 2 时，5.3 Z反变换通信基础教学部对于复

12、数根可视为单根分别考虑。5.3 Z反变换通信基础教学部1.单边Z变换与拉氏变换的关系5.3.4 单边Z变换与拉氏变换的关系设则抽样后 可否找到一种关系，直接由信号f(t)的拉氏变换F(s)求得对应的离散信号f(k)的Z变换F(z)呢？答案是肯定的。5.3 Z反变换通信基础教学部令5.3 Z反变换通信基础教学部 根据该式，可以直接由信号f(t)的拉氏变换F(s)求的相应的离散信号 f(kT) 们的Z变换F(z)。上式的也可表达为留数形式：5.3 Z反变换通信基础教学部例 5-17 已知 求相应的F(z)。解：5.3 Z反变换通信基础教学部2. Z域与s域的映射关系因为复变量z和s之间有下面的映射

13、关系5.3 Z反变换 f(k)的z变换是f(t)的理想抽样信号fs(t)的拉普拉斯变换Fs(s)将变量s通过z=esT代换的结果。通信基础教学部，则由以上关系式可表示为 若令可见，当=0时，有|z|=1，即s平面中的虚轴j映射成z平面中的单位圆；当0时，有|z|= 0时，有|z|= 1 ，即s平面中的右平面映射到z平面中的单位圆的外部，如图所示。映射5.3 Z反变换通信基础教学部s平面可被分成无限条宽度为2/T的水平带，所以s平面可被映射成无限多个z平面。z平面上的一点，映射到s平面上为无穷多点： 映射5.3 Z反变换通信基础教学部作业5.15 （1）5.16 （1）通信基础教学部5.4 离散

14、系统的Z变换分析法5.4.1 基本信号zk激励下的零状态响应5.4.2 一般信号f(k)激励下的零状态响应5.4.3 差分方程的Z域求解5.4 离散系统的Z变换分析法通信基础教学部5.4.1 基本信号激励下的零状态响应若 , 则 若h(k)为因果信号(对应的系统称因果系统)，则有由卷和知5.4 离散系统的Z变换分析法式中， 即H(z)是系统单位序列响应h(k)的单边Z变换， H(z)称为离散系统的系统函数，zk称为系统的特征函数。 上式表明：离散系统对基本信号zk的响应等于zk与系统函数H(z)的乘积。通信基础教学部5.4.2 一般信号激励下的零状态响应 一般信号f(k)可以分解为基本信号zk

15、之和 对于线性系统，围线C上任一z，信号zk产生的零状态响应为H(z)zk，对应关系表示为 5.4 离散系统的Z变换分析法通信基础教学部另一方面，由于yf(k)=f(k) *h(k) ，因此系统函数5.4 离散系统的Z变换分析法籍此，可归纳出Z域分析法求解零状态响应的四个步骤：求离散系统函数H(z),它是系统的单位函数响应h(k)的Z变换；求激励f(k)的Z变换 F(z)f(k) 求零状态响应yf(k)的Z变换 Yf(z)=F(z)H(z)，求Yf(z)的Z反变换-零状态响应yf(k)= Z -1 Yf(z)， 通信基础教学部例5-18 已知离散系统输入为f1(k)=(k) 时，零状态响应yf

16、1(k)=3k(k) 。求输入为f2(k)=(k+1)(k)时系统的零状态响应yf2(k)。解： 系统函数为 5.4 离散系统的Z变换分析法通信基础教学部5.4.3 差分方程的Z域求解求解方法与s域的方法类似 用Z变换求解差分方程是将离散信号和描述离散系统的k域差分方程变为Z域代数方程进行分析，以便于运算和求解；同时，单边Z变换将系统的初始状态自然地包含于像函数方程中，既可利用Z变换分别求得零输入响应、零状态响应，也可利用Z变换直接求得系统的全响应。5.4 离散系统的Z变换分析法通信基础教学部例 解：1）求零输入响应yx(k)5.4 离散系统的Z变换分析法通信基础教学部2）求零状态响应yf(k

17、) , 此时系统的初始状态为0，5.4 离散系统的Z变换分析法对差分方程两边进行z变换得通信基础教学部n阶系统5.4 离散系统的Z变换分析法通信基础教学部该系统的离散系统函数为5.4 离散系统的Z变换分析法通信基础教学部3）求全响应5.4 离散系统的Z变换分析法全响应初始条件：零输入响应初始条件：通信基础教学部6. 5 离散系统的Z域分析(11)解：将差分方程两端作ZT代入已知，整理后得作Z反变换得通信基础教学部5.4 离散系统的Z变换分析法将差分方程两端作ZT通信基础教学部5.4 离散系统的Z变换分析法作 Z 反变换得通信基础教学部例试求（1）离散系统函数H(z)；（2）单位函数响应h(k)

18、； （3）当激励 f(k) = (k), 初始状态为零时的零状态响应yf(k)。解： 对差分方程两边进行Z变换，并考虑零初始状态和激励为有始信号，可得(1)5.4 离散系统的Z变换分析法通信基础教学部（2）5.4 离散系统的Z变换分析法通信基础教学部(3)5.4 离散系统的Z变换分析法通信基础教学部三、 离散系统Z域模拟框图1. Z域基本运算器5.4 离散系统的Z变换分析法通信基础教学部标量乘法器延迟器时 域Z域加法器通信基础教学部2.离散系统Z域模拟框图 运用基本运算器也可以将离散系统在Z域加以模拟5.4 离散系统的Z变换分析法例求其Z 域模拟框图。解：通信基础教学部5.4 离散系统的Z变换

19、分析法引入中间变量q(k)通信基础教学部离散系统Z域模拟框图也可以用信号流图来表示；信号流图的系统函数同样可以用梅森公式来求解，其方法与S域一样。5.4 离散系统的Z变换分析法通信基础教学部作业5.17 (3)5.18 (2)5.205.24通信基础教学部5.5.1 系统函数H(z)的定义5.5.2 由H(z)零极点的分布确定h(k)的特性5.5.3 H(z)与离散系统稳定性5.5.4 H(z)与离散系统的频率特性H(ej) 5.5.5* 离散信号与系统的频域分析5.5 离散系统函数与系统特性通信基础教学部5.5.1 系统函数H(z)的定义 离散系统函数H(z)是离散系统的零状态响应的Z变换Y

20、f(z)与其激励的Z变换F(z)的比值。它表征了离散时间系统本身的特性，是单位函数响应 h(k) 的Z变换。5.5 离散系统函数与系统特性 n 阶线性时不变离散系统的数学模型为：通信基础教学部5.5 离散系统函数与系统特性 r是系统函数H(Z)的零点； j是系统函数H(Z)的极点分母多项式等于零时的方程称为该离散系统的特征方程特征根通信基础教学部例如0.51j0.5-j0.55.5 离散系统函数与系统特性在z平面上零极点得分布图就是离散系统的零极点图。通信基础教学部5.5.2 由系统函数零极点的分布确定单位函数响应的特性H(z)的因子形式为：其中，(zr) 为零点因子，(z j) 为极点因子。

21、由于H(z)与h(k) 是一对Z变换，所以可以从H(z)零极点的分布情况，确定h(k)的性质。5.5 离散系统函数与系统特性通信基础教学部 H(z)的每一个极点决定一项对应的时间序列，对于具有n个单极点的系统函数，其h(k)为5.5 离散系统函数与系统特性极点j确定了h(k)的模式；零点对只对h(k)的振幅与相位产生影响，对其数学模式没有影响。通信基础教学部极点对h(k)模式的影响 a). 当H(z)的极点为位于实轴的单极点且为实数极点时 ReZ0, h(k)正向单调变化5.5 离散系统函数与系统特性通信基础教学部b). 当H(z)的极点位于Z平面任何位置的共轭非重极点时5.5 离散系统函数与

22、系统特性通信基础教学部b). 当H(z)的极点位于Z平面任何位置的共轭非重极点时5.5 离散系统函数与系统特性通信基础教学部5.5.4 系统函数H(z)与离散系统稳定性1. 离散系统的因果性2. 离散系统稳定性3. 离散系统稳定性的一般判别法4. 朱利（Jury）判定法 5.5 离散系统函数与系统特性通信基础教学部1. 离散系统的因果性 如果离散系统的零状态响应yf(k)不出现于激励f(k)之前，也就是说， 对于k=0接入的任意激励f(k)， 如果在任意的f(k)=0(k0)时，系统的零状态响应都有yf (k)=0(k0)就称该系统为因果系统，否则便是非因果系统。离散因果系统的充分和必要条件是

23、：单位函数响应h(k)=0(k0(-1)2A(-1) =1-0.2-0.24=0.5605.5 离散系统函数与系统特性对于二阶系统，系统稳定的充要条件：a2|a0|、D(1)0、D(-1)0通信基础教学部5.5 离散系统函数与系统特性解：第1行第2行第3行第4行第5行第6行通信基础教学部 在连续系统中，若系统函数H(s)在j轴收敛,那么，将s= j代入H(s)就得到连续系统的频率响应H(j)。由s平面与z平面的映射关系知，当s= j时，z= ejTs 。因此， 在离散系统中，若H(z)在单位圆|z|=1上收敛，则H(z)在单位圆上的函数就是系统频率响应，即 由于ej = ejTs,是周期为2的

24、周期函数，因而，频率响应H(ej)也是周期为2的周期函数。与连续系统频率响应相似，这里幅频响应 |H(ej) |是(或)的偶函数，相频响应()是(或)的奇函数。 5.5 离散系统函数与系统特性5.5.4 离散系统与离散系统的频率特性通信基础教学部5.5.4 离散系统与离散系统的频率特性1离散系统的频率特性 设有连续复指数信号 （其中复数 ， F是信号幅度,为初相角），被以周期为Ts的取样序列 进行取样，所得信号为复指数离散序列 这里是连续信号角频率，Ts为取样周期。令=Ts ，则输入可写为5.5 离散系统函数与系统特性通信基础教学部若LTI离散系统的单位函数响应h(k)为，系统函数为H(z)，

25、则在复指数离散序列 激励下，系统的零状态响应为 根据Z变换定义，若令则yf(k)可写为5.5 离散系统函数与系统特性通信基础教学部2. 正弦序列激励下离散系统的稳态响应若输入正弦序列则离散系统的稳态响应5.5 离散系统函数与系统特性通信基础教学部例5-23 已知离散系统的系统函数为 ，系统的输入为 ，求系统的稳态响应。 解： 因为H(z)的收敛域为|z|0.5 ，所以H(z)在单位圆上收敛。系统函数可写为 系统的频率响应为 分别求系统对f(k)的各分量的正弦稳态响应：(1)在 f0(k)=6 的作用下，可以看成 =0， ， 5.5 离散系统函数与系统特性通信基础教学部 （2）在 下， 故5.5 离散系统函数与系统特性通信基础教学部3.数字滤波器的分类 类似于模拟滤波器，数字滤波器按其频率特性也分为低通、高通、 带通、 带阻和全通等类型。 由于离散系统频率特性 H(ej ) 具有周期性，数字滤波器的类型区分只能在 的频率范围内进行。如下图低通5.