经济应用数学2-经济应用数学微积分

1、微积分经济应用数学部分习题解答(参考)习题一(P37)21.一1f(a+1)1.设函数f(x)丝求：f(0),f(-1),f(-),x1a解：分析：即求当x为0,-1,1，(a+1)时的函数值。af(-1)=f(0)=1；f(1)=af(a+1)=2(a1)123(a1)1a3.下列各组函数是否表示相同的函数？为什么?(1) y= lg x2 与 y= 2lgx(2)y=1与y=sin2x+cos2xx21一,y=1与y=x+1x1y=-xx与y=-x2解：分析：相同函数的条件是D与f相同。(定义域与对应规则)(1)不同，D不同(2)相同定义域与对应法则相同(3)不同，D不同(4)不同对应法则

2、不同(当x=-1,对应y不同)4.求下列函数的定义域:(1)y= arcsinx1y=-x,1y=lg1x解：求定义域应记住：分母?y=三1x2x1(4)y=lglg(x+1)(6)y=tan(2x+1)(2x+1-k)0Ha0log：x0三角函数的限制。y=解D:x#0或(-,0)(0,)y=1x2(4)lglg(x+1)解:1x2D:-1x1解:ig(i)0D:(0,+oo)(3) y= lgy=arcsin解:D:-2,1解:D:-1,3解:2x+1y=tan(2x+1)2kx2D:x245.判断下列函数的奇偶性。xxxx(1)f(x)=Tf(x)=lg(x+.13x解:f(-x)=3=

3、f(x)解:f(-x)=lg(-x+1(x)2f(x)是偶函数。(x1x2)(x-1x2)=lg2(x、1x2)R1一xzUX2)1=-lg(x+1x2)=-f(x)f(x)是奇函数。f(x)=xex解：f(-x)=-xex小(x)也于-f(x)f(x)是非奇非偶函数。(5)f(x)=log3解:f(-x)=log31分析：判断奇偶函数=log3(=-logx产)1x1x1x(1)f(-x)=f(x),f(x)(2)f(-x)=-f(x),f(x)是偶函数是奇函数=-f(x)否则非奇非偶。f(x)是奇函数。x(6)设f(x)=x22求f(0),f(-1),f(-2),f(2),并作出函数图像。

4、解：分析：求分段函数的函数值D先确定xo的所属的区间从向确定其解析式尔后代之，作图需分段作图。0 -1x 1 -1 x xx2解：y,2.x(x1)y2(、.x)(x1).x(x1)x32x(5)y=解法2：y(解法1：y= 4(1 x) (1 , x)(1一x)(Lx)一.)(1)1.x1,x11_2x2x-(1、x)(1、.x)2,(1(1=21(1)(1x)122(1x)2:1(1,x)2(1、.x)2-2,x(1.x)2(1、x)214.x2,x(1x)22(1x)2解:y =1Tx 11.(6)y=(1、x)(1)xy(；Vx)xy=x33x解：y(x3)3xx3(3x)=3x %

5、x2、x3xx33xln3x23=3(3xxIn3)一2_42y=(x3x1)(xx1)解：y(x23x1)(x4x21)(x23x1)(x4x21)(2x3)(x4x21)(x23x1)(4x32x)4x3 2x5_3_4_2_5342=2x52x32x3x43x234x52x312x46x2=6x515x48x39x23(9)y=2x131x1(11)y=解：y解：y(2x1)(x31)(x31)(2x1)/32(x1)(1.x)(1.x)(1x)(1.x)(1x)21 277(1、x)1.x(1 . x)2(10) y =ln xcos x解：y(ln x) cosx (cosx) ln

6、 x2cos x1-cosx sinxlnxx2cos x_ cosx xsin xln x=2xcos x(12) y = x 2x sin x解：y x 2x sin x x (2x) sin x x 2x(sin x)2xsinx x 2xln2 sinx x 2xcosx2x(sinx xln2sinx xcosx)2xln2(x31)3x2(2x1) TOC o 1-5 h z /32(x1)x.3222(xIn2In23x)3x/32(x1)6.求下列函数的导数。(1)y=(1x2)5解：y5(1x2)4(1x2)x=10 x(1x2)4y=(2x1)*1x2.o2x解：y2,1x

7、2(2x1)221x24x2x.1x2sin(10)y=ln(lnx) TOC o 1-5 h z xx、xx解：y2sin-(sin-)x(二)x2222=2sinxcos222a1解：y(lnx)lnx=_J_xlnx(3)xy7.求隐函数的导数.（指yx）xeyy210解：原方程两边对x求导解：两边取对数eyxeyyx2y*0yInxxlnyey丫“xey2y两边求导,yyxlnxxlnyx&yyx,yInyx,xInx一yy(xlnyy)x(yInxx)9.求高阶导数.y=ln(1+x)求y(4)xxe(n)y解：y解:xxe（1x)ex(1x)e(2xx)e(3)y2(1x)3(3)

8、y(2x)e(3x)ex(4)y6(1x)4由不完全归纳法的y(n)(nx)ex10.求下列函数的微分.(1)y=13x2(4)y=arcsinx6x解：y22.13x解：（arcsin、x）3x0 , (x ？-100)21x(x 100) x4.求下列函数的单调区间.x(0, 100)100(100, +8)f+0一f/(x100)21一0即尸(x100)vx2,x0 x1002(Jx)2Xw100函数在(0,100)/在(100,+s)5.证明下列不等式.当0Vx万时，2xsinxx证明：当0 x02设f(x)=x-sinxf(x)=1-cosx0/x0,f(x)=x-sinxf(0)=

9、0 xsinxxx令g(x)=snx-x/、xcosxsinxcosx(xtanx)g(x)22xx对于x0,tanxx2g(x)0g(x)在(0,-)即xg(-)sin-2两g(尸一202g(x)0即皿20即sinx2x的证x6.求下列函数的极值。(1)y解：y驻点:6x212x18=6(x-3)(x+1)x=3x=-1x(-0,-1)-1(-1,3)3(3一)f+一+f/极大极小/2x36x218x7函数的极大值为f(-1)=17函数的极小值为f(3)=-477.求下列函数在所给区间上的最大值和最小值解：分析：不必列表，只须将可纯的极值点的极值与端点值比较之求极(2)y=x42x25,x-

10、2,2x= 1y x 14, y x 2 13y m ax13,y m in 4解：y4x34xy0 x=0yx05,y|x14,y、213,比较之，12.某商品的总成本函数为C=1000+3Q,需求函数Q=-100P+1000,其中P为商品单价，求能使利润最大的P值解：L=R-C,R=PqL=R-C=P(-100P+1000)-1000+3(-100P+1000)=-100P2+1300P-4000L=1300-200P令L=0P=6.5答：能使利润最大的P值是6.5。17.确定下列函数图形的凸向区间和拐点。(1)4_2y=x6x解:4x312xy12x21212(x21)x=1x(-0,-

11、1)-1(-1,1)1(1,+)y+0一0+yU拐n拐U，(1,+)图形下凸区间为(-oo,-1)上凸区间为(-1,1)拐点是(-1,-10),(1-10)18.求下列曲线的渐近线。(1)y=-(x2)3ln(e1一)x1角和limylimx2yx2(x2)3解:limln(exx=-2是y的铅垂渐近线。1limln(e)x0 xlimx1(x2)3lim11n(exey=0是曲线的水平渐近线。y=1为曲线的水平渐近线X=0和x=-1为曲线的铅垂渐近线。e19.按照作图步骤，描绘下列函数的图象。解：函数作图步骤：求出函数的定义域考查函数的奇偶性，周期性。求出方程f(x)=0的根，列表判别函数的

12、升降区间及极值点求出方程f(x)=0的根，列表确定函数凸凹性与拐点求出函数的渐近线计算几个点的函数值，画出图形。1(1)y=x+-x解：函数定义域为(-s,0)U(0,+s),f(x)为奇函数，无周期性。1f(x)1,f(x)=0 x=1x2f无零点x0f0,x0f0 xX=0处f,f,f均不存在x(-0,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)f+一一+f一一+fn/-2nu2U/一1f(x)13)limx-a=lim(-)lim11x0 xxxxx2lim xx1c,b=limf(x)axlim0 x=0为铅垂渐近线，无水平渐近线。y=x为斜渐近线习题四.求解下列问题:(1)已知曲线

13、上任一点切线的斜率为3x,且该曲线过点(1,1)求此曲线方程。解：分析；若所求曲线方程为y=f(x),则已知f(x)=3x即已知f(x)=3x,求f(x)用3xdx方法。f (x)dx =33xdx = 一 2x2+c 即 y=2x2+c过(1,1)点，1=3X11=x3 dx x 2 dx+cc=-22所求曲线方程为y=-x2-1,即3x2-2y-1=022.求不定积分解：原式=2x3dx 4xdx+ dx=1 x4-2x2 +x+c2(2x34x1)dxdxxx4解：原式=x3dx1=3x3+c(3)(次；)dxvx11解：原式=(x3xdx(4)(Jx1)(-1)dxx解：原式=一：dx

14、,x=-j=dxxxdx二”412x2c=2、x33-xc3(5)(axa6)dx(6)(dxx.1x解：原式二Ga解：原式=3c2x3x2x3xdx(x3x1、,一)dxx(7)(11),x.xdxx解：原式=(131).x4dx3(x414)dx3x3ln(8)3xexdx解：原式二(3e)xdx3cln(3e)=4x473xex1In33.求不定积分(1)(2x5)4dxa3xdx解：分析用凑微法解：方法同(1)原式=(2x5)4.1d(2x25)原式=3a3xd(3x)(二24.udu3xac3lna(二21一(2x105)5c4.求不定积分(1)3x adx解：原式=3 uduxx6

15、dx(第二换元法)解：令、,x6udx2udu2原式二(u6)u.2udu42=(2u412u2)du5.求下列不定积分(分部积分公式xsinxdx解：udv形式，用分部积分法原式二xdcosx=xcosxcosxdx=xcoscsinxcxsec2xdx解：原式=xdtanx=xtanxtanxdxsinx.=xtanxdxcosxd(cosx)=xtanx_ 25u54u 34(x6)3udv uv vdu )x2exdx解：原式=x2dex=x2ex2xexdx(第二次用公式)2XXx=xe2xeedx2xxx=xe2xe2eclnx,(4升dxx解：原式=lnxd()x TOC o 1

16、-5 h z lnx1=dxxxlnx1=cxxcosx=xtanxIncosxc*8.求下列微分方程的通解和满足条件（初始）的特解(1x)dy(1y)dx解：分函变量:ln1xln1yIncdydxy1x两边积分In1yIn1xInc(1x)(1y)cyexy,yxo2x y解：y edy exdx eyey dy exdxeydy exdx ey ex cyx02Jx0202.eecce1yx2eee1yln(exe21)习题五1.不计算积分，比较下列各组积分值大小一4一.4c(1)2xdx与2xdx解：根据定积分性质与f(x)g(x)(1)x2xx(x1)0 x2,42x2xx2,4 T

17、OC o 1-5 h z 112(2)exdx与exdx，00bbf(x)dxg(x)dxaa2(2)当x0,1xx112 HYPERLINK l bookmark46 o Current Document exdxexdx00424xdxxdx222.估计下列积分值的大小:4(1)1(1x)dx解：根据积分性质6,m(ba)baf(x)dxM(ba)而在1,4f(x)1Mf(x)17mf(x)4I141(1(1x2)dx17x2)dx5110exdx解：fmax1fminoexdxe3.求下列函数的导数(1)(x)；.1tdt(x)12dt解：依据定理5.1(x)xf(t)dt)f(x)a(

18、1)(x)(2)(x)bt2.edxxxt2edx)bx2e(3)(x)x21dt04-1t(4)(x)1xln(4t)dt解:(x)221f(x)(x).2x8x解:(x)x11n(4t)dt2x1x8ln(4x).求下列极限(1)x 2 .cos tdtlim -2x xlxm0 xarctan tdt0解：原式洛必达limx,x 2.、(cos tdt) 0(x2)解：原式=lxm0arctan x=limx2cos x2x=01 =limx 0_ 1一万2x12 x2（有界量X无穷小量=无穷小）（二次用洛必达法则）x.求函数（x）0t（t4）dt在区间-1,5上的最大值和最小值解：令(

19、x)x(x4)0 x=0,x=4为驻点x2t2)02x2px2t3又(x)0(t24t)dt(3(0)0 ,(4)327(1)- ,(5)(x)ft 1,5上最大值为F(0)0 ,最小值为F （4）253323.计算下列定积分(1)2 x2dx(2)sinxdx2解：原式=2-一12=1(x 17dx1 cosx、解：原式=0 (-21)dxJ 1= (-x sinx)02222咤xln(1x)2=ln3ln2一22 TOC o 1-5 h z 12xdxA一，02解：原式=12xdx02xdxx22dxJ1(x21)2解：是奇函数，原式=0二57计算下列定积分(1)(2)2x1,dx1x解:

20、原式二4d(x1)0Tx-12解：令u,x1,xu1,dx2udu5 dt原式u2uduu1du11一7一ldu=2(uarctanu)=2(1一)242.利用函数的奇偶性计算定积分3:cosxdx（2）（sinx2sinx）dx2.偶一二.奇解：原式20= 20ducosxdx解：原式=0=2sinx（22.计算下列定积分(分部积分法)(1)；x2Inxdx02xsin-dx21e3解：原式=;1lnxdx3解:原式二02x2xdcos-2=1x3lnx3-dxxx2xcos-2c，x.22cos-dx=1(x3lne313、e-x)13x4sin一2= 2.2 避 2=2e3199.计算下

21、列广义积分/、01(1)2dx(3x)21ex(lnx)2dx解：原式=blim0工dxb(3x)2d(lnx)解：原式=。而)2lim(bJeInxe=limblimbInb1Ine=limb=0+1=1.求下列各题中平面图形的面积(1)由曲线yx2与y2x2围成的图形2yx解：2交点坐标为(1,1)(-1,1)y2x1_1S20(2x2x2)dx20(2223182x2)dx2(2x-x3)03.某产品产量为Q单位时，边际成本为C(Q)=80(元/单位)，固定成本为C(0)500元，求生产100个单位产品时的总成本和平均成本。解：C(Q)80dQ80QCC(0)=500C(Q)80Q500

22、C(100)801005008500(元/单位)8500C85(兀/单位)100若生产100个单位产品时的总成本是8500元/单位，平均成本量85元/单位。.某投资总额为100万元，在10年中每年可获收益25万元，年利率为5%,试求(1)该投资的纯收入贴现值，(2)回收该项投资的时间。解：(1)pa/r(1ert)255%(1e 5%10) 500(1 e 05)= 500 (1500(10.6065)5000.393519675贴现值为R P A196.75 10096.75(万元)回收投资时间为/ -) 1 a(2) T lnr a Ar25ln5%25 100 5%520ln - 20

23、0.22344.46(年)习题六.求下列函数的定义域,并用联立不等式表示(1)1 y21ln(1 x22y_ y2)解:2 y2 x解:4x y2 x2 x02y2y4x22x y 12 y2 x2 y2 x解得:11或.求下列函数的极限(1)网sin xy /、2(x y)x（解法依据定义6.3)解:_ 2(0 2)sin2x原式=lm2x22x=2+4=6ln(xey)(2)limx122y0 xy解：原式=1nf_鲁)ln212023.讨论下列函数的连续性2x y-2Z x y0 x, y不同时为零时x y 0解：分析：由于y与x同阶时分子、分母同阶，所以可选用yKx2路线加以讨论。2.

24、 x ylim nx 042x 0 x ylim 7x 0 x22x Kx2 22(Kx )1 K由于K的不同可以解得不同的极限值,原极限9”丁2x y2不存在y4.求下列函数的偏导数1) Z arctan xyZ在(0, 0)不连续。解：分析P160,对于f(x,y) Z求关于X的偏导，只需将y视为常量,对x求导；求关于y的偏导，只需将x视为常量，对y求导即可。解:y 1y.x1 ( xy)2 2x xy2x(1 xy)y.(x2)y11xy .2Xyln x，xy ln x2(1 xy)ey解:xy x y xye (e e ) ex y 2(e e ).exyxy x y xe y(ee

25、 ) e xy 2(e e )xyexexyxyyZex(ee)eYf(exey)2数学(微积分)在经济问题中的应用一、经济问题中常见函数1.需求函数、供给函数、成本函数、收入函数、利润函数。习题一263126.设某商品的销售收入R是销售量Q的二次函数，已知Q=0,2,4时,相应地R=0,6,8试确定R与Q的函数关系1a-c02212解.设Raqbqc64a2bb4Rq4q816a4bco27.某厂生产产品1000t定价为130元/t,当售出量不超过700t时，按原定价出售。超过700t的部分按原价的九折出售，试将销售收入表示成销售量的函数。解：设销售收入为R元，销售量为q吨700tx130元/t=91000元，130X90%=1