《中级微观经济学》(第一章 最优化的逻辑结构)

1、 中级微观经济学教案第一章最优化的逻辑结构一、引言经济学是理解世界的一种方式。经济学方法的一种重要内容是，从行为结果反推行为动机。人类经济行为的动机可以概括为理性。经济学意义上的理性，从人的行为来看，表现为在可选择的范围内，决策者权衡各种选择，选取一个最大者。最优化(Optimization)称为表述人类理性的一种方式。均衡概念将个体理性(最优化)与社会群体理性统一起来，将个人行为、社会行为及人类历史，纳入到一个可操作的框架之内。最优化决策及其结果(即均衡)称为人们理解、描述世界的一种工具，他们作为描述人类行为及其经济现象的工具，仅仅是以经济学视角解释世界的一种方式，而不是全部。二、最优化问题

2、最优化问题的数学模型在侧重个体的成本收益分析的新古典经济学中，最优化是用来描述个体决策行为的主要手段。最优化问题的数学模型为：maxf(x)或minf(x)s.t.xeGs.t.xGG其中：f(x)为目标函数；x为决策变量；G为可行集，表示个体在决策时所受到的约束，约束可以是等式，也可以是不等式。maxf(x)S.t.gj(x)0j=1,2,，mm0引入参数，最优化问题可以表示为：maxf(x，a)S.t.gi(x，a)f(x),VxGGx*=x*(a)二argf(x,a)2、均衡与最优解经济学以均衡概念理解社会现象，以均衡的移动来描述社会演变过程。均衡有三个方面的内容：存在性稳定性唯一性相关

3、概念：凸性凸集：对于一个集合S,Vx1,x2GS，如果有Xxi+(1九)x2GS,九G0,1，则称集合S为凸集。凹函数：对于xi,x2GS和九G0,1,如果f九x1+(1九)x2Xf(x1)+(1九)f(x2),则称f(x)是凹concave)函数，如果取不等号则为严格凹函数。图象上看，两边点连线的弦在曲线的下面。拟凹函数：对于x1,x2GS和九G0,1,如果f(x1)f(x2)nf九x1+(1X)x2f(x2)，则称函数f(x)是拟凹的(quasi-concave),如果取不等号则为严格拟凹函数。命题：如果一函数是拟凹的，则其轮廓线是凸的。证明：VXG0，1，x1，x2GS，有f(x1)f(

4、x2)nfXx1+(1X)x2f(x2)f(x2)二c=甘(x1)+(1X)f(x2)fXx1+(1X)x2Xf(x1)+(1X)f(x2)表明拟凹函数有凸的轮廓线。所以：在经济学中，对目标函数的标准假设为拟凹函数。3、最优解的存在性极值定理(韦氏定理，Weierstrass)：如果目标函数f(x)在一个有界闭集S上连续，这该函数在S上存在最大值或最小值。4、最优解的唯一性如果目标函数f（x）是严格拟凹的，则存在唯一的最优解。证明：设X*GG为最优解，xwG且xzx*为另一解，有f（x*）二f（x）。因为G是凸集，有X=x*+（1九）xgG，九g0,1。如果f（x）是严格拟凹的，则有f（x）=

5、f心*+（1九）xkf（x*）+（1X）f（x）=f（x*），九G0,1与x*是最优解的定义矛盾，故不存在另一个最优解x。5、最优解的性质（1）全局解和局部解（2）边界解和内部解内部点：对于xGS，有3O（x，）匸S，则称x为集合S的内点。边界点：对于xGS，O（x，）既有集合S中的点，又有不属集合S对点，则称x为集合S的边界点。（三）最优解的求解1、无约束问题maxf(x)x二x(x，1x，x)2n解：令z二f（x）一阶条件（必要条件）：f（x）二0，i二1,2,，n（偏导数形式）i或dz=0，dx不同时为零，i=1,2,，n（微分形式）i0（正定）0（半正定）二阶条件（充分条件）：d2z*

6、0（半负定）0（负定）d2z为负定是目标函数取得极大值得充分条件，d2z为正定是目标函数取得极小值得(zzz11121nzzz21222nYdx)1dx2充分条件。d2z=(dx,dx，dx)12nVzzz八n1n2nnzzz1112Inzzzd2z负定的充要条件是H=21222n海塞Hessian行列式)的顺次主子式负正zzzn1n2nn相间，即zzzzzz11121n11zz1112130,zzz21222n111zz2122232122zzz313233zzzn1n2nn0注意：d2z半负定o函数f(x)为凹函数，表明如果f(x)为凹函数，则稳定点为一个绝对极大值；d2z负定=函数f(x

7、)为严格凹函数，表明如果f(x)为严格凹函数，则稳定点为唯一的绝对极大值；结论：只要一阶条件满足，函数凹性或严格凹形即可取代二阶条件，成为绝对极值得充分条件。2、等式约束问题：拉格朗日函数法(Lagrangesmethod)(1)1个等式约束的情况maxf(x)，x二x(x，x，x)x2ns.t.g(x)二c解：令z二f(x)构造一个拉格朗日函数，把有约束的极值问题转化为无约束的极值问题L(x,九)二f(x)+Xc-g(x)一阶条件：L-f(x)g(x)，i-1,2,niiiL九二c-g(x)二阶条件:函数z二f(x)，满足g(x)二c，其二阶条件仍然取决于d2z的符号，因为d2z是一个变量为

8、dx，dx，dx的约束二次型，满足关系12ndg二gdx+gdxHFgdx二01122nn给定加边海塞行列式12 g_1H=g2zzz11121nzzz21222nzzzn1n2nnd2z负定的充分条件是H的顺次主子式负正相间，即H0,H023n00ggggg123120,gzzzH=gzzH11112132111123gzzzgzz221222322122gzzz33132330，m个等式约束的情况maxf(x)s.t.gj(x)二0,j=1,2,，m，mo，带入上式有：（MUlp-MUlp）dI1122如果上式为正，表明套利成功，消费者将多买物品1，少买物品2，直到MUlp-MUlpo，带

9、入上式有：（MUlp-MUlp）dI22111如果上式为正，表明套利成功，消费者将多买物品2，少买物品1，直到MUlp-MUlp0ix为n维向量，即x二x(x,x，x)12n在有决策变量非负约束的最优化问题中，其极大值的必要条件应修正为：如果x*0，则f(x*)二0ii如果x*=0，则f(x*)0iii-1,2,，n把上述两种情形统一起来，可得：f(x*)0，x*-f(x*)-0，i-1,2,，niiii式称为补充松弛条件。minf(x)s.t.x0ix为n维向量，即x-x(x，x，x)12n在有决策变量非负约束的最优化问题中，其极小值的必要条件应修正为：如果x*0，则f(x*)-0ii如果x

10、*-0，则f(x*)0iii-1，2，n把上述两种情形统一起来，可得：f(x*)0，x*0，x*-f(x*)-0，i-1,2,，niiii式称为补充松弛条件。(2)凹规划maxf(x)s.t.gj(x)0j-1,2,，mx0 x为n维向量，nm，函数f(x)、gj(x)均为凹函数。 解：令L(x,九)=f(x)+乙九gj(x)jj=1则凹规划达到极大值的一阶条件为：库恩塔克条件(Kuhn-Tucker)TOC o 1-5 h zQLmQL=f(x*)+乙九*gj(x*)0，x*=0，i=1,2,，n(3) HYPERLINK l bookmark100 QxijiiiQx*ij=1i=gj(x

11、*)0，X*0，X*gj(x*)=0，j=1,2,，m(4)Q九jj可见，(3)是(x,X)在x0情形下关于x的极大值，即是(x*,X)的补充松弛条件。同样，(4)是(x,X)在X0情形下关于X的极小值，即是L(x,X*)的补充松弛条件。三、比较静态分析比较静态分析是研究在均衡状态(最优解)下,一个外部参数对均衡(最优解)到影响。它假定其他因素不变,分析一个参数的变动带来的均衡的移动,从而来描述人的行为1、拉格朗日乘子的经济含义maxf(x)s.t.gj(x)=cj=1,2,，mjx为一个n维向量df(x)当x=x*时，有：X=idci对该问题,可以把目标函数设定为效用、产出、利润等,约束条件

12、代表了资源的限制如果某一种要素限制有一微小增加，其他保持不变，X表示这一要素在最优时的影子价格,i即厂商在最优决策时,愿意为这种要素的增加付出的最大价格。例：消费者最优决策问题maxU(x,x)12s.t.px+px=I1122UUX1=2pp12当U=U*时：dU=Udx+Udx1122=Xpdx+Xpdx1122=X(pdx+pdx)1122=XdIdUX=dI，可以看作消费者选择达到最优时，收入I的一种价格（成本），这种以U=U那效用计算的、在最优解时收入I的一种价格，称为“影子价格”对存在不等式约束的问题，也可以用上述方法将其转化为一个无约束的问题，其中约束为严格不等式，则其相应当影子

13、价格（乘数九）等于0表明选择是不受约束的，不需要j支付机会成本，否则九工0。例：有最优化问题maxU(x,M)s.t.M=Mpx0 xx其中：x为消费者对某种商品的消费量，p为该商品的价格，M为消费者的财富,M为消费前的财富存量，x受市场供给总量X的限制。构造拉格朗日函数L（x,M,九）二U（x,M）+九（M-px-M）+肌X-x）dLdU则：=hp卩0，x0,dLx-dLdU设x0，则式变为：訂瓦一一卩=0dUdx=Xp+B由、式得：p二dMdxdUdM.dU_dxdUdxdU丽Xp+Pp+X，x=x*时，称为消费者对商品进行选择的影子价格。则P=0,表明对该商品的数量限TOC o 1-5

14、h zdMP HYPERLINK l bookmark204 从式看，如果影子价格p=p+=P, HYPERLINK l bookmark192 dxXi0i0,dMP门制不起作用；如果影子价格P二P+；P，则P0,表明对该商品的数量限制dx九起作用。上述结论可以用来说明计划经济中的商品短缺。当商品的计划价格（P）与消费者愿意支付的价格（P）一致时，反映了商品真实的稀缺状况；当商品的计划价格（P）低于消费者愿意支付的价格（P）时，消费者对商品的需求大于供给，出现商品短缺。2、比较静态分析的一般模型隐函数定理：给定方程组Fi（x,x，x；a,a，a）=0TOC o 1-5 h z12n12mF2

15、（x,x，x；a,a，a）=012n12mFn（x，x，x；a，a，a）=012n12m对所有的变量x和a，函数Fi,.,Fn均具有连续偏导数。如果在点（x,x,x；a,a，,a）满足上述方程组，且下面的雅可比行列式非零，即i020n0i020m0FiFi-.Fi12nF2F2.F212nFnFnFni2n则存在一个点（xi0,x20,xn；TOC o 1-5 h zai0,S,am0）的m维邻域，在此邻域内，变量xi，2,xn是变量ai，9,化的函数，即有:x二fi(a,a，a)ii2mx二f2(a,a，,a)2i2mx二fn（a,a，a）ni2m且函数x二fi（a,a，,a）连续，对所有的

16、变量a,a，,a具有连续偏导数。ii2mi2m克莱姆法则：给定方程组ax+ax+ax二diiii22inni ax+axdax二d2112222nn2ax+axdax二dn11n22方程组的解为aad-a111211naada212222naadan1n2nnnnnnn_1（由rd）1d2d丿n代替第j列）比较静态分析的一般模型无约束的最优化问题可以表示为maxf（x，a）x_（x,x，x）,a_（a,a,，a）12n12m给出一阶条件：f（x,x,，x；a,a,，a）=0112n12mf（x,x，x；a,a，a）=0212n12mf（x,x,，x；a,a，a）=0n12n12m如果雅可比行列

17、式非零：11121nfffJ_21222n丰0fffn1n2nn则由隐函数定理，可得：x_hi（a,a，a）,i_1,2,，ni12m_hi来表示。jQx每个参数变化对最优解到影响均可以用偏导数LQa讨论参数变化对最优解的影响,先求全微分,再按克莱姆法则求解。对一阶条件进行全微分：f（x,x,，x；a,a,，a）=0112n12mf（x,x，x；a,a，a）=0212n12mf（x,x,，x；a,a，a）=0n12n12m有：fdx+fdxHFfdx+fda+fdaHFfda二01111221nn1n+111n+221n+mmfdx+fdx+fdx+fda+fda+fda二02112222nn

18、2nH112nH222nHmmnnnnn+11nn+22fdx+fdx+fdx+fda+fda+fda=0nn+mmn11n22写成矩阵形式为：_fda_fda_fda1n+111n+221n+mm_fda_fda_fda2n+112n+222n+mm_fda_fda_fdann+11nn+22nn+mm根据比较静态的含义，即假定其他条件不变，daj丰0，dak=0，k丰j，k=口，mdxJjdaJ，其中J.|为雅可比行列式J|的第i列由ij_f1n+j2n+j代替而成的行列式。由克莱姆法则得：_fnn+j11121n从上式可以看出，雅可比行列式J=21222n刚好就是海塞行列式。n1n2nn3、包络定理内容：对最优化问题maxf（x，a）s.t.gj（x，a）=0j=1,2,，mx为n维向量，a为l维参数，m1表示经营者负盈不负亏，用两个企业来表示市场kk的这种恶性竞争状况。存在如下最