导数与矢量运算

1、关于导数和矢量运算第一张，PPT共四十一页，创作于2022年6月一、定积分微分和积分是对立面的统一。1.1.4 积分例 物体作匀速直线运动，路程速度时间，即sv t 。在 v-t 图中，路程 s 为阴影的面积。第二张，PPT共四十一页，创作于2022年6月例 若物体作变速直线运动，速度vv(t ) , 可以把 t 分成许多均等小段t ，只要t 充分小，每段时间中的速率近似看成是不变的，把各小段时间内走过的路程相加，即近似为总路程，曲折的梯形曲线下的面积即近似为总路程。当 时 , 右边的极限值就是所求总路程：第三张，PPT共四十一页，创作于2022年6月上式可用积分形式表达：定积分的上、下限、被

2、积函数、积分变量即定积分形式。定积分的一般形式：几何意义: 从 0 到 t 这段时间中v (t ) 曲线下的面积。第四张，PPT共四十一页，创作于2022年6月二、基本定理如果被积函数 f (x) 是某一个函数 (x) 的导数， f (x) (x)，则在 xa 到 xb 区间内 f (x) 对x 的定积分等于 (x) 在这区间内的增量。 (x) 称为原函数 积分是导数的逆运算第五张，PPT共四十一页，创作于2022年6月求解例找 的原函数：因为 故:三、不定积分不定积分是不定出上、下限的积分，可写成第六张，PPT共四十一页，创作于2022年6月式中C 为常量，可根据具体问题所给的条件定出此常量

3、已知曲线的切线斜率为 若曲线经过点 求此曲线方程 。例(1) 求曲线方程 ；解(1) 设曲线方程为 已知故第七张，PPT共四十一页，创作于2022年6月不同的C 对应不同的曲线。曲线经过点 把 代入曲线方程， 则曲线方程为:第八张，PPT共四十一页，创作于2022年6月四、基本积分公式第九张，PPT共四十一页，创作于2022年6月一、矢量定义二、矢量的合成附录 1.2 矢量第十张，PPT共四十一页，创作于2022年6月一、矢量定义 物理量可以按其是否具有空间方向性来分类。 矢量的大小 矢量的模 模等于 1 的矢量 单位矢量 需要以大小和方向表示的物理量 矢量， 如：速度、加速度、力。 只有大小

4、而无方向的量 标量，如： 温度、质量、体积。第十一张，PPT共四十一页，创作于2022年6月用图表示矢量 用有向线段表示：长度表示其大小，箭头表示其方向。矢量平移时大小和方向不变。第十二张，PPT共四十一页，创作于2022年6月二、矢量的合成1. 三角形法则：余弦定理 几何关系 第十三张，PPT共四十一页，创作于2022年6月若两个以上的矢量相加 所有的矢量首尾相连第十四张，PPT共四十一页，创作于2022年6月2. 解析法将矢量沿直角坐标轴分解，各分矢量叫分量 只需用带正号或负号的代数值表示 第十五张，PPT共四十一页，创作于2022年6月三、矢量的标积(点乘)两矢量相乘得到一个标量 标积。

5、其定义为：投影第十六张，PPT共四十一页，创作于2022年6月根据标积定义 推论：(3) 若 两矢量垂直 (4) 直角坐标系的单位矢量 具有正交性第十七张，PPT共四十一页，创作于2022年6月四、矢量的矢积(叉乘)两矢量相乘得到一个矢量 矢积。写成：若 则根据矢积定义 推论： 规定：若 则第十八张，PPT共四十一页，创作于2022年6月五、矢量的导数设矢量 为时间t 的函数，规定其对时间的导数为：在直角坐标中， 为常矢量 第十九张，PPT共四十一页，创作于2022年6月一般情况下有以下性质：第二十张，PPT共四十一页，创作于2022年6月六、矢量的积分一般采用直角坐标分量式计算。 矢量的线积

6、分：矢量的面积分,就是计算矢量通过曲面的通量N :在正法线方向的分量第二十一张，PPT共四十一页，创作于2022年6月一、函数有两个互相联系的变量 x 和y ，每当x 取了某一数值后，按照一定的规律就可以确定 y 的值，就称 y 是 x 的函数，记作 yf（x）或 yy（x），x 为自变量， y 叫因变量。 自由落体运动: 物体从离地面为 h0 高度处开始下 落，则物体与地面的距离依赖于时间 t 的规律是：1.1.1 导数第二十二张，PPT共四十一页，创作于2022年6月这里t 为自变量，h 为因变量，也可记为：二、极限当自变量 x 无限趋于某一数值 x0 ( 记作x x0 ) 时，函数 f

7、(x) 的数值无限趋于某一确定的数值a ，则 a 叫做 x x0 时函数 f (x) 的极限值，记作：第二十三张，PPT共四十一页，创作于2022年6月 在三角函数中， 当 x 无限向正向增大时， arctan x 无限接近 ，用极限表示：类似有：三、导数当自变量 x 由一个数值 x0 变到另一个数值 x1 时，后者减去前者叫作该自变量的增量，记作函数 xx1x0 .第二十四张，PPT共四十一页，创作于2022年6月增量可正可负，y 与自变量的增量 x 密切相关，两者之比：称增量比。与此对应，因变量 y 的数值由 y0 f ( x0 ) 变到 y1 f ( x1 ) ，增量为：第二十五张，PP

8、T共四十一页，创作于2022年6月存在，则该极限就称为函数 f ( x ) 在 x 点的导数，记为 ，f ( x ) 或 y 。定义：如果极限四、导数的意义(1)导数是函数在一点(而不是一个区间里)的变化率， 物理中的瞬时速度和瞬时加速度即导数的例子。第二十六张，PPT共四十一页，创作于2022年6月(2) 几何意义：函数的曲线上任意一点的切线的 斜率，就是函数在这一点的导数值。设函数 y f (x) ，在曲线上取一点A， A是曲线上另一点，割线AA 和 x 轴的夹角记为。当A点沿着曲线趋近于A时，割线AA趋近于某一极限位置 AT，显然，直线 AT 就是曲线在A点的切线，AT与 x 轴所成的夹

9、角即为变角 的极限。导数的几何意义第二十七张，PPT共四十一页，创作于2022年6月 曲线上横坐标为x0 的一点A处的切线斜率就 是函数 f ( x ) 在 x0 处的导数值 f ( x0 ) 。第二十八张，PPT共四十一页，创作于2022年6月一、基本函数的导数运算举例1.1.2 导数的运算求解第二十九张，PPT共四十一页，创作于2022年6月求 及解当 时，第三十张，PPT共四十一页，创作于2022年6月二、常用初等函数的导数公式第三十一张，PPT共四十一页，创作于2022年6月三、导数运算法则以下设 u,v 为x 的函数，且导数 u,v 存在(1) 和（差）的导数，由极限的加法法则：(2

10、) 积的导数：(3) 商的导数：第三十二张，PPT共四十一页，创作于2022年6月(4) 复合函数的导数法则，设 yf (v )，v (x) 均有导数，则或求解例1第三十三张，PPT共四十一页，创作于2022年6月求解例2求解例3第三十四张，PPT共四十一页，创作于2022年6月求双曲线 在任意点的切线斜率。解例4切线斜率为 ，在方程中逐项对 x 求导于是 ，此即曲线在坐标为( x , y ) 的点的切线斜率。第三十五张，PPT共四十一页，创作于2022年6月一、微分概念定义：若 f (x) 在x 处有导数，则称 f (x) dx 为 f (x) 在 x 处的微分，记为dy f (x) dx 。P，C 是曲线上两点，1.1.3 单变量函数的微分二、微分的几何意义函数微分自变量微分导数 微商第三十六张，PPT共四十一页，创作于2022年6月根据微分定义，可直接由导数公式求微分，相应地，微分运算法则与导数运算法则相同，如：三、微分运算法则(2)(1)函数在 x 处的微分 dy 就是曲线在 x 点的切线的纵坐标的增量。第三十七张，PPT共四十一页，创作于2022年6月(5) 若 ，则(4)