数值分析第八章常微分方程的数值解课件

1、第八章 常微分方程的数值解第八章 常微分方程的数值解引言简单的数值方法Runge-Kutta方法单步法的收敛性和稳定性线性多步法一阶常微分方程组和高阶方程在高等数学中我们见过以下常微分方程：8.1 引言(1)，(2)式称为初值问题，(3)式称为边值问题。在实际应用中还经常需要求解常微分方程组：本章主要研究问题(1)的数值解法，对(2)(4)只作简单介绍。（其中L为Lipschitz常数）则初值问题（1）存在唯一的连续解。 考虑一阶常微分方程初值问题其中，y = y(x) 是未知函数，y(x0) = y0 是初值条件，而f(x, y) 是给定的二元函数. 由常微分方程理论知，若f(x)在xa,b

2、连续且 f 满足对 y 的Lipschitz条件：常微分方程的数值解法有单步法和多步法之分：单步法：在计算yn1 时只用到前一点yn 的值 ；多步法：计算yn1 时不仅利用yn，还要利用yn-1, yn-2,.，一般k步法要用到 yn, yn-1, yn-2,., yn-k+1。求问题（1）的数值解，就是要寻找解函数在一系列离散节点x1 x2 xn xn+1 上的近似值y1, y 2,yn 。为了计算方便，可取xn=x0+nh，(n=0,1,2,)， h称为步长。8.2 简单的数值方法一、欧拉（Euler）方法在x= x0 处，用差商代替导数：由得同理，在x= xn 处，用差商代替导数：由得若

3、记则上式可记为此即为求解初值问题的Euler方法，又称显式Euler方法。Pn+1yOxx0 x1x2xnP0P1P2Pny=y(x)xn+1Euler方法的几何意义：（Euler折线法）例: 用Euler方法求解常微分方程初值问题并将数值解和该问题的解析解比较。解：Euler方法的具体格式：xn y(xn) yn yn-y(xn)0.00000.20.19230.20000.00770.40.34480.38400.03920.60.44120.51700.07580.80.48780.58240.09461.00.50000.59240.09241.20.49180.57050.07871

4、.40.47300.53540.0624取h=0.2, xn=nh,(n=0,1,2,15), f(x,y)=y/x 2y2 计算中取f(0,0)=1. 计算结果如下：xn y(xn) yn yn-y(xn)1.60.44940.49720.04781.80.42450.46050.03592.00.40000.42680.02682.20.37670.39660.01992.40.35500.36980.01472.60.33510.34590.01082.80.31670.32460.00793.00.30000.30570.0057由表中数据可以看到，微分方程初值问题的数值解和解析解的误

5、差一般在小数点后第二位或第三位小数上，这说明Euler方法的精度是比较差的。O : 数值解； : 准确解 数值解和解析解的图示比较如下：若直接对y=f(x,y)在xn, xn+1积分，利用数值积分中的左矩形公式：此即为Euler公式。设y(xn)= yn，则得若用右矩形公式：得上式称后退的Euler方法，又称隐式Euler方法。可用迭代法求解：初值：迭代：k=0,1,因故当hL1时，迭代法收敛。二、梯形方法由利用梯形求积公式：得上式称梯形方法，是一种隐式方法。用迭代法求解：初值：迭代：k=0,1,因故当hL/2n)上产生的偏差均不超过 ，则称该方法是绝对稳定的。关于收敛性的讨论有个前提，即必须

6、假定差分方法的每一步计算都是准确的。然而实际计算中往往由于有舍入误差等原因而产生扰动，而这些扰动有可能 “淹没” 真解，所以我们还要考虑稳定性问题。稳定性分析相当复杂，不仅与方法本身有关，而且总跟方程的右端 f(x,y) 和步长h有关。为简单起见，通常只对试验方程（也称模型方程）（其中 为常数，当 是复数时，Re( )n时，要使只要此时Euler方法是绝对稳定的。在 =h复平面上，|1+ |1表示以(-1,0)为圆心，1为半径的单位圆内。Im(h)Re(h)O-2绝对稳定区间：-2 h0对后退的Euler方法：解y=y，得故则绝对稳定域：即在=h复平面上，是以(1,0)为圆心，1为半径的圆外部

7、。Im(h)Re(h)O2包含左半平面，因此是A稳定的。由上知，Euler方法（显式）与后退Euler方法（隐式）阶数相同，但后退的Euler方法的绝对稳定域大得多，说明隐式方法稳定性比显式方法好。对二阶R-K方法（改进的Euler方法），用其解y=y，得令=h ，得绝对稳定域：由曲线围成。经典的四阶R-K方法的绝对稳定域：8.5 线性多步法计算yn+k时，除用yn+k-1的值外，还用到yn+i (i=0,1,k-2)的值，则称此方法为线性多步法。一、一般公式：其中 fn+i =f(xn+i, yn+i)， xn+i = x0+ih， i , i为常数。若0 , 0不全为0，称线性k步法；若k

8、=0，称显式k步法；否则称隐式k步法。系数i 及i可根据方法的局部截断误差及阶确定。定义：线性k步法在xn+k上的局部截断误差为若Tn+k= O(hp+1)，则称多步法为p阶的。由得其中q=2,3,若选i , i，使c0=c1=c2=cp=0，cp+10则多步法为p阶的。由相容性定义知， p1 ，即c0=c1=0，则上式为线性多步法与初值问题相容的充要条件。当k=1时，（1）若1=0，则0=1 ， 0=1-Euler公式c2=1/20，具有1阶精度。（2）若10，隐式方法，由c0=c1=c2=0，得故-梯形公式c3=-1/120，具有2阶精度。k2时，可确定i , i和Tn+1。关于几种常用的多步法公式请参考教材。8.6 一阶常微分方程组和高阶微分方程的 数值解法简介一、一阶常微分方程组的数值解法：下列包含多个一阶常微分方程的初值问题：称为一阶常微分方程组的初值问题。引进向量记号: 则上述一阶常微分方程组的初值问题化为矩阵形式：它在形式上跟单个微分方程的初值问题形式完全相同，只是函数变成了向量函数。故前面介绍的一切数值方法都适用，只要把函数换成向量函数即可。 一、高阶