有限长均匀带电杆的简单复合体的空间电场分布

1、有限长均匀带电杆及其简单复合体的空间电场分布邓晓宇摘要利用教材中有限长带电杆的电场分布的结论，将正四边形均匀带电体，田字形均 匀带电体视为多段带电直棒，在空间中采取分段计算然后利用场的叠加原理，导出带电正方 形杆，可变田字形杆的普遍表达式，并由此创新性的拓展研究两个正方形杆，两个田字形杆 的空间相互作用的空间电场分布，利用DTP平台编程画出其电场的空间分布图形。关键词带电正方形杆，田字形杆;分段计算;叠加原理；空间电场分布；DTP平台O引言电场强度的计算是电磁学中的一个常见问题，在各种带电体中，具有中心对称性的带 电细圆环或薄圆盘的研究比较多，方法也多种多样，而对不具有中心对称性的矩形或正方

2、形的带电体则研究得很少，本文从教材中一个例题的结果引出，将均匀带电正方形杆，田 字形杆视为多段带电直棒，采取分段计算然后利用场的叠加原理，导出均匀带电正方形杆， 田字形杆空间电场分布的普遍表达式，并由此拓展研究两个正方形杆，两个田字形杆的空 间相互作用的空间电场分布，最后利用DTP平台编程画出其电场的空间分布图形。1一段均匀带电细棒的空间电场分布一般来说应从点电荷的场利用叠加原理可计算限线电荷，面电荷，体电荷的场，但是， 往往处理积分特别是多重积分会遇到计算上的困难，有限长直线均匀带电体的电场有一个 解析表达式，利用这一结果，可以较方便的处理很多问题，其结果如下：如图1所示，均 匀带电细棒的线

3、电荷密度为人，直棒外一点P到直棒的距离为a，点P至棒两端的连线与直棒之间的夹角分别为a和&，则p点的场强为:Ex = (sin P - sin a)；4兀a人Ey =( c ocs - c o g )i4nea这是大学物理学教材中的结论，若点P到直棒的垂足为0,0到直棒两端的距离分别为， 叫，则P点的场强为:Ex =二(，-J - ,)(1)4双寸 2 + a2J(+a2（2）Ey = - (1+4na l2 + a2 v 1由公式（1）和（2）并将其扩展至三维坐标系中有:Ex =(/+y )4兀 (x 2 + z 2)(l + y )2 + x 2 + z 2(l y )2 + x 2 +

4、z 2Ey =上(,1 4兀8 ，v(l y )2 + x 2 + z 2,).M(l + y )2 + x 2 + z 2(3)(4)Ez =-(一4双(x 2 + z 2) Jl + y )2 + x 2 + z 2+ .)、:(l y)2 + x2 + z2(5)根据上述公式就可以利用DTP平台做出其空间电场分布的图形，如图2图2有限长均匀带电杆的空间电场分布2带电正方形线圈的空间电场强度计算及作图利用上述结论还可以较方便的讨论许多问题，例如均匀带电平面的场，平行平板电容 器的场，圆内接正多边形均匀带电线的场，环形均匀的场等。这里以正四边形的空间电场分 布为例作具体的研究讨论，并利用DT

5、P平台作出正四边形均匀带电体的场的空间电场分布 情况，并且由得出的结论作出可变田字形，两个正四边形，两个田字形均匀带电体的空间电 场分布情况作为创新性的扩展研究，使关于这一系列的问题的讨论更加全面，更加直观。如图3所示，取正方形线圈的中心为坐标原点，平行于水平边向右为x轴正方向，垂 直于纸面向内的方向为y轴的正方向，z轴垂直于线圈平面，设正方形线圈边长为21，场 点P的坐标为（x,y,z），先计算带电的BC边在P点产生的场强。由图3可知：图3均匀带电正四边形的空间电场分析a = PQ =、.(/ x)2 + z2(6)11= BQ = l + y(7)12 = QC = l - y(8)将式(

6、6)、式和式(8)代人式(1)和式(2)可得带电的BC边在P点产生的场强在Y方向和 QP方向的分量分别为：(11)4双v； (l y)2+(l x)2+ Z2.板(l +y)2 + (l x)2+Z2EBC y(9)EQPl-y: (. + 4兀(l x)2 + z2 y (l + y)2 + (l x)2 + z2p (l y)2 + (l x)2 + z2再把QP方向的场强分解到x和y方向：EBCxEqp Cos ZPQP4 双(l x)2 + z 2 ；;(l + y )2 + (l x)2 + z 2 + t (l y )2 + (l x)2 + z 2(10)EBCz Eqp Sin

7、ZPQP 4双(l x)2 + z2(l + y)2 + (l x)2 + z2 /(l y)2 + (l x)2 + z2)(11) 用同样的方法可求得其它带电的三条边在p点产生的场强，其中带电的CD边在p处产生的 场强为：E =二(.1- ,1)(12)CDx4兀 %，(l x)2 + (l y )2 + z 2：(l + x)2 + (l y )2 + z 2ECD yX (l y)4 双(l y)2 + z 2l+xlx+ .)(l x)2 + (l y)2 + z 2(13)(14)E =Xz(l + x+l x)CD,4双(l y)2+z2打 + x)2 + (l y)2+ z2J

8、l x)2+ (l y)2+ z2带电的DA边在P处产生的场强为:EDAyA -4双(l y )2 + (l + x)2 + z 21、.:(l + y )2 + (l + x)2 + z2EDAxX (l + x)( l + yl - y )4兀研(l +x)2 +z2y(1+y)2 + (l +x)2 + z2 y(l y)2 + (l + x)2 + z2(15)(16)(17)AB边电荷在P处产生的场强为:入E =(,=,)AB4双x；(l x)2 + (l + y )2 + Z 2 x：(l + x)2 + (l + y )2 + Z 2EAB y(.=+ ，4兀研(l + y)2

9、+ z2 t(l + x)2 + (l + y)2 + z2 i(l 一 x)2 + (l + y)2 + z2E _人z(l + x+l x)ABz4双(l + y)2 + z2 加 + x)2 + (l + y)2 + z2；(l- x)2 + (l + y)2 + z2(18)(19)(20)EDAz 4双(l + x)2 + z2 L(l + y)2 + (l + x)2 + z2 ；(l - y)2 + (l + X)2 + Z2 )依据前面各式带电正方形线圈在p点产生的场强E的分量表达式为:E_ E+ E+E+E(21)xABxBCxCDxDAxE_ E+ E+E+E(22)yAB

10、yBCyCDyDAyE_ E+E+E+E（23）zABzBCzCDzDAz由此结果可以作出正四边形均匀带电体的空间电场分布情况如图4所示：3基于正四边形均匀带电体空间电场分布情况的创新性扩展研究1.在均匀带电细棒的空间电场分布和正四边形均匀带电体电场分布的基础上将这两种带 电体放在同一空间，讨论其复合电场在空间的分布情况，电场分布的解析解可由与上诉 求解正四边形均匀带电体的相同的方法并利用叠加原理求出，这里不再写出具体的求解 方程（下同），其空间电场分布的情况如下图5所示：2.基于同样的原理我们可以继续作出两个正四边形均匀带电体（图6）以及两个田字形均 匀带电体（图7）的空间电场分布情况图：图6两个正四边形均匀带电体的空间电场分布图7两个田宇形均匀带电体的空间电场分布根据上述讨论，我们由此可以找到处理这一系列问题的方法，不仅如此，利用公式（1） （2）以及