第二节化二次型为标准型

1、第二节化二次型为标准形若二次型f(Xi，X2，,Xn)经可逆线性变换化为只含平方项的形式.2.2bi yi b2 y则称之为二次型f(Xi,X2, ,Xn)的标准形.由上节讨论知，二次型f(%,x2, ,xn)YT(CTAC)Y.如果CTAC为对角矩阵bibny2,XT AX在线性变换X CY下，可化为bn则f(Xi,X2,Xn)就可化为标准形biyi2b2y2bny2,其标准形中的系数恰好为对角阵B的对角线上的元素，因此上面的问题归结为A能否合同于一个对角矩阵.内容分布图示二次型的标准性用配方法化二次型为标准形 TOC o 1-5 h z 例i例2例3例4用初等变换化二次型为标准形例5例6定

2、理34用正交变换化二次型为标准形例7例8二次型与对称矩阵的规范形例9例i0内容小结课堂练习习题5-2返回内容要点：一、用配方法化二次型为标准形.定理i任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形拉格朗日配方法的步骤：(i)若二次型含有Xi的平方项，则先把含有Xi的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止，经过可逆线性变换，就得到标准形；(2)若二次型中不含有平方项，但是a”0(ij),则先作可逆变换XiyiyjXjyiy”(ki,2,ki,j)Xkyk化二次型为含有平方项的二次型，然后再按(i)中方法配方.注：配方法是一种可逆线性变换，但平方项的系数与A的特征

3、值无关.因为二次型f与它的对称矩阵A有对应的关系，由定理i即得：定理2对任一实称矩阵A,存在非奇异矩阵C,使BCTAC为对角矩阵.即任一实对称矩阵都与一个对角矩阵合同.、用初等变换化二次为标准型设有可逆线性变换为XCY,它把二次型XTAX化为标准型YTBY,则CTACB.已知任一非奇异矩阵均可表示为若干个初等矩阵的乘积,故存在初等矩阵P1,P2,Ps，使CP1P2Ps,于是CEP1P2PsCTACPsTP2TP1TAP1P2Ps.A由此可见,对2nn矩阵施以相应于右乘PP2Ps的初等列变换,再对A施以相应于左乘PT,P2T,P1的初等行变换,则矩阵A变为对角矩阵B,而单位矩阵E就变为所要求的可

4、逆矩阵C.三、用正交变换化二次型为标准形 TOC o 1-5 h z 定理2若A为对称矩阵，C为任一可逆矩阵,令BCTAC,则B也为对称矩阵,且r(B)r(A).注：二次型经可逆变换XCY后淇秩不变，但f的矩阵由A变为BCTAC;(2)要使二次型f经可逆变换XCY变成标准形，即要使CTAC成为对角矩阵,即b1y1YTCTACY(y1,y2,yn)b2y2b1y12b2y22bnyn2.bnynnPY, 使 f 化为标准形定理3任给二次型faijxixj(ajiaij),总有正交变换Xi,j1222f1y12y2nyn,其中1,2,口是的矩阵A(aj)的特征值.用正交变换化二次型为标准形将二次型

5、表成矩阵形式fXTAX,求出A; TOC o 1-5 h z 求出A的所有特征值1,2,n;求出对应于特征值的特征向量1,2,n;将特征向量1,2,n正交化,单位化,得1,2,n,记C(1,2,n);(5)作正交变换XCY,则得f的标准形222f1y12y2nyn.四、二次型与对称矩阵的规范型, 如有必要可重新安排量的次序(相当于作一次可将二次型化为平方项之代数和形式后逆线性变换),使这个标准形为d1x12d px2pd2 p1xp1d r xr2(1)其中di0(i 1,2, , r).定理 4 任何二次型都可通过可逆线性变换化为规范形的唯一形式,与所作的可逆线性变换无关.注 : 把规范形中

6、的正项个数p 称为二次型的正惯性指数惯性指数, r 是二次型的秩. 且规范形是由二次型本身决定，负项个数r p称为二次型的负注 : 任何合同的对称矩阵具有相同的规范形Ep000 Er0定理 5 设 A 为任意对称矩阵,如果存在可逆矩阵C,Q ,且C Q,使得Ep00Ep000ErP0,QTAQ0Erq0000000CTAC则p q.注：说明二次型的正惯性指数、负惯性指数是被二次型本身唯一确定的O例题选讲：例1（讲义例1）将x2x1x22x1x32x24x2x3x|化为标准形.用配方法化二次型为标准形.例2化二次型fx22x25x；2x1x22x1x36x2x3为标准形，并求所用的变换矩阵.例3

7、（讲义例2）化二次型f2x1x22x1x36x2x3成标准形，并求所用的变换矩阵.例4用配方法将以下二次型化为标准型.不收火）用初等变换化二次为标准型2x1x2x1x3x1x4x2x3x2x42x3x4.1例5（讲义例3）设A11例6求一可逆线性变换将12,求非奇异矩阵C使CTAC为对角矩阵.12x1x22x1X34x2X3化为标准形.用正交变换化二次型为标准形例7（讲义例4）将二次型f22217x114x214x34x1x24x1x38x2x3通过正交变换xPy,化成标准形.例8设f2x1x22x1x3次型化为标准形.二次型与对称矩阵的规范型2x1x42x2x32x2x42x3x4,求一个正交变换xPy,把该二例9将标准型2y22y212,，-y2规范化.例10 （讲义例5）化二次型