概率论和数理统计(第三学期)第8章参数估计课件

1、第8章 参数估计 点估计 点估计的评选标准 参数的区间估计参 数 估 计 在实际问题中，对于一个总体往往是仅知其分布的类型，而其中所含的一个或几个参数的值却是未知的，因此只有在确定这些参数后，才能通过其分布来计算概率，如何确定这些参数的数值呢？这就是统计推断中的“参数估计”问题。 本章只研究总体分布是连续型或离散型两种情形。为简便起见，我们引入一个对这两种情形通用的概念：概率函数。我们称随机变量的概率函数为f(x)是指： 在连续型情形，f(x)是的密度函数。 在离散型情形，f(x)是=x的概率。定义 构造一个统计量 作定值的估计称为参数的点估计。8.1 点估计一、矩估计法（1）列出估计式。步骤

2、为:（2）求解关于估计量的方程组。（3）求出矩估计。解例1（1）列出估计式。（2）求解关于估计量的方程组。（3）求出矩估计。注意：只要总体的期望和方差存在，此结果对任何总体均适用。解例2 定义 二、顺序统计量法即样本中位数。即例3 有一个样本为 1 453，1 650，1 367，1 502解 将样本的观察值按大小顺序排列为 1 367，1 453，1 502，1 650定义三、极大似然估计法（最先出现的是概率最大的）注意：极大似然估计。具体步骤：1)总体为离散型分布。2)总体为连续型分布。似然方程例4解从而得p的极大似然估计量为：例5解即相应的极大似然估计量为：点估计的方法：一、矩估计法（也

3、称数字特征法） 直观意义比较明显，但要求总体k阶矩存在。二、顺序统计量法 使用起来方便，无需多大计算，但准确度不高。三、极大似然估计法。 具有一些理论上的优点，但要求似然函数可微。定义8.2 点估计的评选标准例1解例2证明 由于方差是度量随机变量落在它的均值E的邻域内的集中或分散程度的。所以一个好的估计量，不仅应该是待估参数的无偏估计，而且应该有尽可能小的方差。定义证明例3我们不仅希望一个估计是无偏的，且具有较小的方差，有时还希望当子样容量无限增大时，即观察次数无限增多时，估计能在某种意义下越来越接近被估计的参数的真实值，这就是所谓一致性的要求。定义一致性注意：下面证明：证明（1）（2）（3）

4、定义8.3 参数的区间估计有：随机区间(1,2)包含的概率为1。注意：单个正态总体的区间估计1、2已知，求的置信区间例1解2、2未知，求的置信区间在例1中若滚珠直径的方差2未知，用同样的数据求的置信概率为0.95的置信区间。解例2 分析例1和例2的结果会发现，由同一组样本观察值，按同样的置信概率，对计算出的置信区间因为2的是否已知会不一样。这因为：当2为已知时，我们掌握的信息多一些，在其他条件相同的情况下，对的估计精度要高一些，即表现为的置信区间长度要小些。反之，当2为未知时，对的估计精度要低一些，即表现为的置信区间长度在大一些。3、已知，求2的置信区间构造变量例3解4、未知，求2的置信区间两个正态总体的区间估计两台机床生产同一个型号的滚珠，从甲机床、乙机床生产的滚珠中分别抽取8个、9个，测得这些滚珠的直径（单位:mm）如下:甲机床 15.0，14.8，15.2，15.4，14.9，15.1，15.2，14.8乙机床 15.2，15.0，14.8，15.1，15.0，14.6，14.8，15.1，14.5 两台机床生产的滚珠直径服从正态分布，求这两台机床生产的滚珠直径均值差12 的置信区间，置信概率为0.90，设（1）已知甲、乙机床