2019年数学高考试题(及答案)

1、2019年数学高考试题（及答案）一、选择题1.某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表:X1.99345.16.12V9r1.54.047.51218.01对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是（）A.y=2x-2c.y=log2x的部分图象大致是（2.A.对任意xeR,都有x20B不存在xWR,都有x20C.存在XoR,使得x2n0D存在XoWR，使得x0204.一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为（）c.D.A.3+1B.一3一1C.一3+1D.3-16.设0p则4BC的形状为()直角三角形钝角三角形等

2、边三角形等腰三角形但不是等边三角形.且不等式6x+cVO的解集为(a,Z),则这个B-近D2Bab=a2b2Da2b2=ab一个样本a,3,4,5,6的平均数是方,样本的标准差是（）A.1C./3下列说法正确的是（）Aab=ac2be2C.ab=a3b312.在同一直角坐标系中，函数y=,y=iog“（x+*（d0且dHi）的图象可能是二填空题log2x,x013.设函数/W彳log：(-x),xvO，若几。)/(。)，则实数“的取值范围是1是虚数单位，若复数(l-2/)(+z)是纯虎数，则实数。的值为.如图，正方体ABCD-AQCQ的棱长为1,线段Bp上有两个动点E,F,且疔=返，现有如下四

3、个结论：2AC丄BE；EF/平面ABCD三棱锥A-BEF的体积为定值；异面直线AE、BF所成的角为定值，其中正确结论的序号是16函数y=logXl)+l(d01z/Hl)的图彖恒过定点A,若点A在一次函数2y=mx+n的图象上，其中gn0,则+的最小值为mn17.若函数/(-)=+x2+lax在扌，+上存在单调增区间，则实数a的取值范围是18.已知样本数据力，3，如的均值云=5,则样本数据2X1+1,2x2+1,2叭+1的均值为_.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2,则它们的面积比为1：4,类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2,则它们的体枳比为上已知四棱锥S-ABCD的三

4、视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于.正视图侧视图三、解答题21.已知f（x）=lnx+a（l-x）.讨论/（x）的单调性；当/（Q有最人值，且最大值人于2-2时，求。的取值范I制.“微信运动”是手机砂推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”.他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：4、02000步，（说明：02000”表示人于或等于0,小于2000,以下同理）,B、20005000步，C、50008000步，D、80001

5、0000步，E、1000012000步，且4、B、C三种类别的人数比例为1:4:3,将统计结果绘制如图所示的柱形图：男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图.（I）若以大学生M抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计人学生M的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在20008000的人数；（II）若在大学生M该天抽取的步数在8000-10000的微信好友中，按男女比例分层抽取6人进行身体状况调查，然后再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率.如图，在几何体ABC-AC

6、,中，平面AACC,丄底面ABC,四边形ACCt是正方形，BCJiBC、Q是A0的中点，AC=EC=2BGZACB=求证：QBJ平面AiACCl求二面角人-BBl-C的余弦值.已知菱形ABCD的顶点4,C在椭圆F+3于=4上，对角线3D所在直线的斜率为1.当直线3D过点(0,1)时，求直线4C的方程.当ZABC=60。时，求菱形ABCD面积的最大值.已知数列ClH的前n项和Sn=n一5n(nGN.).(1)求数列。”的通项公式；(2)求数列务的前n项和Tn.2【参考答案】衬*试卷处理标记，请不要删除一、选择题D解析：D【解析】【分析】根据的数值变化规律推测二者之间的关系，最贴切的是二次关系.【

7、详解】根据实验数据可以得出，近似增加一个单位时，)的增量近似为2.5,3.5,4.5,6,比较接近y20f故选d.【点睛】本题主要考查利用实验数据确定拟合曲线，求解关键是观察变化规律，侧重考查数据分析的核心素养.A解析：A【解析】【分析】根据函数的奇偶性，排除D：根据函数解析式可知定义域为所以y轴右侧虚线部分为x=l,利用特姝值x=0.01和x=1.001代入即可排除错误选项.【详解】易知心）卞卜|-2-/(x)所以函数/（x）=f为奇函数，排除D选项JT+x-2根据解析式分母不为o可知，定义域为1，所以y轴右侧虚线部分为x=l,当x=o.oi时,代入/可得排除C选项当x=1.001时，代入/

8、（X）可得/（X）O,排除E选项所以选A【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数的图彖，依据主要是奇偶性、单调性、特殊值等，注意图中坐标的位置及特殊直线，属于中档题.D解析：D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题对任意xGR,都有x20的否定为.存在xoWR,使得Xo2()先增后减，因此选D.【点睛】E=土5、陀)=f(忑-E)2p,=-Ep).TOC o 1-5 h zi=li=li=lB解析：B【解析】等比数列的性质可知$=&=16，故选BB解析：B【解析】用反证法证明数字命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而要证命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两

9、个钝角”，所以应假设三角形的内角至少有两个钝角，故选B.9.C解析：C【解析】【分析】【详解】解答：由已知条件得bBP=aPA亠cAC=bPC;ac、/.PC=一ZM+-4C;bb.PC=PA-iAC;根据共面向量基本定理得:ABC为等边三角形。故答案为：等边三角形。10.B解析：B【解析】由题意得a+3+4+5+6=5b,a+b=6,解得a=2,b=4,所以样本方差5-=-(2-4)-+(3-4)-+(4-4)2+(5-4)-+(6-4)-=2,5所以标准差为故答案为B.11.C解析：C【解析】【分析】由不等式的性质，对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例.【详解】选项月，当c=0时，

10、由ab.不能推出a(fb(f,故错误；选项，当bt但云b时，必有al),故正确；选项D,当a=-2,b=-1时，显然有但却有a1时，函数y=/过定点(0J)且单调递增，则函数y=A过定点(0J)且单调递减，函数当0VGV1时，函数y=/过定点(0,1)且单调递减,则函数y二丁过定点(0,1)且单调递a(1A1y=lognx+-过定点(一,0)且单调递增，各选项均不符合综上，选D.I2丿2【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图彖和性质掌握不熟，导致判断失误：二是不能通过讨论。的不同取值范围，认识函数的单调性.二填空题13.【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为

11、解析：(-1,0)理,+8)【解析】【分析】【详解】a0a0由题意/(6/)/(-(!)=log】a或log,(-)=IIakz。1或一lvavO,贝ij实数a的取值范围是(70)u(l,*o),故答案为aIa(702(1,+oo).【解析】试题分析：由复数的运算可知是纯虚数则其实部必为零即所以考点：复数的运算解析：-2【解析】试题分析：由复数的运算可知Q2（a+l）=a+2+（l2口）八（1-2/）（+/）是纯虚数，则其实部必为零，即7+2=0,所以=-2.考点：复数的运算.【解析】【分析】对于可由线面垂直证两线垂直；对于可由线面平行的定义证明线面平行；对于可证明棱锥的高与底面积都是定值得出

12、体积为定值；对于可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值【详解】对解析：【解析】【分析】对于，可由线面垂直证两线垂直；对于，可由线面平行的定义证明线面平行；对于，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值.【详解】对于，由4C丄BD.AC丄疗冋，可得4C丄面故可得出4C丄BE,此命题正确；对于，由正方体ABCD-A厲CQ,的两个底面平行，EF在平面内，故EF与平面ABCD无公共点，故有尸/平面ABCD,此命题正确；对于，尸为定值，B到EF距离为定值，所以三角形3尸的面积是定值，又因为A点到面。阴距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体

13、积为定值，此命题正确：对于，由图知，当F与济重合时，此时E与上底面中心为O重合，则两异面直线所成的角是ZA/O,当疋与D|重合时，此时点尸与O重合，则两异面直线所成的角是ZOBC,此二角不相等，故异面直线AE,BF所成的角不为定值，此命题错误.综上知正确，故答案为【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查线面平行的判断、线面垂直的判断与性质、棱锥的体枳公式以及异面直线所成的角，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘岀题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集

14、中精力突破较难的命题.8【解析】函数（且）的图象恒过定点A当时.乂点A在一次函数的图象上其中.乂（当且仅当时取）故答案为8点睛：本题主要考查了基本不等式基本不等式求最值应注意的问题（1）使用基本不等式求最值其失误解析：8【解析】函数y=Iog“（x1）+1（oo,且qhI）的图彖恒过定点a,当x=2时，y=l,A（2,1）,又点A在一次函数y=inx-n的图彖上，其中inn01A27Z7+/7=L又rnn0/7Z?0,770,A-+-=（+-）-（2w?+/z）=4+8,（当且仅当mnmnmnf1=2m=i时取“=”），故答案为8.2点睛：本题主要考查了基本不等式基本不等式求最值应注意的问题（

15、1）使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.（2）在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.【解析】【分析】【详解】试题分析：当时的最大值为令解得所以a的取值范围是考点：利用导数判断函数的单调性解析：（-gx0）【解析】【分析】【详解】试题分析：蚀j+Z十引+严最人值为+8时,fx）的（2221（1Ar-=2+-,令2f/+-0,解得,所以a的取值范围是-,+0313丿999I9丿考点：利用导数判断函数的单调性.18.11【解析】因为样本数据xlx2-x

16、n的均值x二5所以样本数据2x1+12x2+12xn+l的均值为2x+l=2X5+1=11所以答案应填:11考点:均值的性质解析：11【解析】因为样本数据小，恋，尢的均值云=5,所以样本数据2X1+1,2X2+1,2兀+1的均值为衣+1=2x5+1=11,所以答案应填：H.考点：均值的性质.19.1：8【解析】考查类比的方法所以体积比为1:8解折：1：8lA=lxl=l/?.428所以体积比为1：8.【解析】考查类比的方法，丫r520.【解析】【分析】先还原儿何体再从底面外心与侧面三角形的外心分别作相应面的垂线交于O即为球心利用正弦定理求得外接圆的半径利用垂径定理求得球的半径即可求得表面积【详

17、解】由该四棱锥的三视图知该四棱锥直观图解析:101龙【解析】【分析】先还原几何体，再从底面外心与侧面三角形SAB的外心分别作相应面的垂线交于O,即为球心，利用正弦定理求得外接圆的半径，利用垂径定理求得球的半径，即可求得表面枳.【详解】由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图,因为平面S4B丄平面ABCD、连接AC,BD交于E,过E作面ABCD的垂线与过三角形ABS的外心作面ABS的垂线交于0,即为球心，连接A0即为半径，令人为/SAB外接圆半径，在三角形SAB中，SA二SB二3,AB二久则2cosASBA=,3fSBA*,3_9siiiZSBAys=1,计算得,疋=里+1=2010120故答案

18、为少【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题，考查了四棱锥的外接球的问题，关键是找到球心,属于较难题.三、解答题21.(1)/(x)在(c1110、一单调递增，在,+00a丿丿单调递减.（0,1）.【解析】试题分析：（I）由广（刃=丄一G,可分a0两种情况来讨论：（II）由（I）知当A/10时/(兀)最人值为/-=-na+a-l.因此a)f十)2d2olna+d-11时g0,因此a的取值范围是0,1.试题解析：（I）/（X）的定义域为（0,+8）,f=1一,若0J（x）在（0,+8）X是单调递增：若a0t则当氏卜卩时f（x）0,当氏,+町时广（刃0,所以单调递增，在+8单调递减.（II）由（I

19、）知当0时/（X）在兀=丄取得最aT(=111+a丿1-2d2olnd+d10.令g(a)=lnc/+a-l,则g(d)在(0,+8)是增函数,g1=0,于是，当0VGV1时,g(c/)l时g(d)0,因此a的取值范围是0,1.考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.322.（I）见解析（1【）=3【解析】【分析】（I）所抽取的40人中，该天行走20008000步的人数：男12人，女14人，由此能求出400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000步的人数(II)该天抽取的步数在800010000的人数：男6人，女3人，共9人，再按男女比例分层捕取6人，则其

20、中男4人，女2人，由此能求出其中至少有一位女性微信好友被采访的概率.【详解】由题意，所抽取的40人中，该天行走20008000步的人数：男12人，女14人，所以400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000步的人数约为400X=260人;40该天抽取的步数在800010000的人数中，根据频率分布直方图可知，男生人数所占的频率为0.15x2=0.3,所以男生的人数为为20 x0.3=6人，根据柱状图可得，女生人数为3人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人.再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访,基本事件总数n=C：=15种，至少1个女性的对立事件是选取中的两人都是

21、男性，C23其中至少有一位女性微信好友被采访的概率：P=【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及占典概型及其概率的求解，以及分层抽样等知识的综合应用，其中解答中认真审题，正确理解题意，合理运算求解是解答此类问题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.23.(1)详见解析；(2)纟国.31【解析】【分析】连接AG，AC交于M点，连接M0,则四边形是正方形，点M是AG的中点，推导出四边形是平行四边形，从而,由此能证明色011平面A.ACC,.以c为原点，CE,cq分别为y轴和乙轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角ABB-C的平面角的余弦值.【详解】证明：(1)如图所示，连接A

22、C交于M点，连接M0.因为四边形A.ACC,是正方形，所以点M是AG的中点，又已知点0是AB的中点，所以MQBC,且mq=bc,又因为BQ/BC,且BC=2B&,所以且MQ=,所以四边形BMQ是平行四边形，故因平面A/CC,C】Mu平面AACCl,（2）如图所示，以c为原点，分别为y轴和乙轴建立空间直角坐标系,不妨设AC=BC=2BG=2,则A（V3,-1,O）,A（G_1,2）,（0,2,0）,色（0丄2）,所以坊人=（馆,一2,0）,丽=（0丄一2）.设平面4BB的法向量为加=（X,y,z）,/?/?_4_431mny/Tl31叱:雷唯;y则4（5）平面CBB、的一个法向量并=（1,0,0）,所以cos何,齐）=故二面角