高三数学概率题汇编

1、2007年高三数学概率题汇编概率题：以教材例、习题模型为背景，重点考查独立事件的概率以及利用排列组合知 识解决的概率问题，理科注意概率分布和数学期望；文科考查概率的计算。某人有5把钥匙，一把是房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一把 .于是，他逐把不重复 地试开，问：(1)恰好第三次打开房门锁的概率是多少？(2)三次内打开的概率是多少？(3)如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？答案：5把钥匙，逐把试开有 A5种等可能的结果.(i)第三次打开房门的结果有 a：种，因此第三次打开房门的概率P (Aa!=i a55(2)三次内打开房门的结果有 3A4种，因此，所求概率 P (A3A4a5

2、(3)方法一：因5把内有2把房门钥匙，故三次内打不开的结果有A3A2 种,从而三次内打开的结果有 a5A3A2种，所求概率 P (A)=A5 -a3a2910C12 A3A2 A3种；三次内恰C12 A；A2 A3+A3 A3种，所求概率 232333(2) P( =3) =(2)2525P(=4)1/2 2 33 3)5 (5)51125方法二：三次内打开的结果包括：三次内恰有一次打开的结果有有2次打开的结果有 A2 A3种.因此，三次内打开的结果有 331 A 1 A 1 A 3 2 3P (A) = C2A 3A 2 A 3 +A 3 A 3 = _9 a510.在2004年雅典奥运会中

3、，中国女排与俄罗斯女排以“五局三胜”制进行决赛，根据3以往战况，中国女排在每一局赢的概率为已知比赛中，俄罗斯女排先胜了每一局，求:5(1)中国女排在这种情况下取胜的概率；(2)设比赛局数为 之，求的分布列及E之(均用分数作答)答案：(1)中国女排取胜的情况有两种，第一种是中国女排连胜三局，第二种是在第2局到第4局，中国女排赢了两局，第 5局中国女排赢，中国女排取胜的概率为 (斗3 c；(3)2Z 3 =29755 5 5 625，所以：的分布列为12 2 3 22 3 3 2 270122 . c23P(5) -C3(二)(二)C3 (-)-555 5625P42551125270625E二%

4、 12517、(本小题满分12分)在一次由三人参加的围棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4,乙胜丙的概率为0.5,丙胜甲的概率为 0.6，比赛按以下规则进行；第一局：甲对乙；第二局：第 一局胜者对丙；第三局：第二局胜者对第一局败者；第四局：第三局胜者对第二局败者， 求：(1)乙连胜四局的概率；(2)丙连胜三局的概率.17、解：(1)当乙连胜四局时，对阵情况如下：第一局：甲对乙，乙胜；第二局：乙对丙，乙胜；第三局：乙对甲，乙胜；第四局：乙 对丙，乙胜.所求概率为 F = (1-0.4)2 x 0.52 = 0,32 = 0.09 乙连胜四局的概率为 0.09 . 6分(2)丙连胜三局的对阵情况如下：

5、第一局：甲对乙，甲胜，或乙胜.当甲胜时，第二局：甲对丙，丙胜.第三局：丙对乙，丙胜；第四局：丙对甲，丙胜. 当乙胜时，第二局：乙对丙，丙胜；第三局：丙对甲，丙胜；第四局：丙对乙，丙胜.故丙三连胜的概率 F2 = 0,4 X 0.62 X 0.5 + ( 1-0.4 ) X 0.52 X 0,6 = 0.162 . 12 分17.(本题满分12)田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A、忿、A;田忌的三匹马 B1、R、B3；三匹马各比赛一次，胜两场者为获胜，双方均不知对方 的马出场顺序。(1)若这六匹马比赛优、劣程度可以用不等式表示：A1B1A2B2A3B3;则田忌获胜的概率是多

6、大？(2)若这六匹马比赛优、劣程度可以用不等式表示：A1B1A2B2B3A3;则田忌获胜的概率是多大？“ 117、(1)解：田忌获胜的概率是 -;61 (2)解：田忌获胜的概率是 1 。318、(12分)2006年12月9日，在第十五届多哈亚运会羽毛球男子单打决赛中，排名世界 第一的林丹迎战陶菲克，在此前一周内，林丹曾两次击败陶菲克，但在决赛中，林丹却意 外地以0: 2失利，与冠军擦肩而过，根据两人在以往的交战成绩分析，林丹在每一局的比 赛中获胜的概率但是 0,7，比赛按“三局二胜制”的规则进行(即先胜两局的选手获胜，比 赛结束)，且设各局之间互不影响；求林丹以0: 2失利的概率；若林丹与陶菲

7、克下次在比赛中再次相遇，请你计算林丹获胜的概率；若林丹与陶菲克下次在比赛中再次相遇，试求林丹的净胜局数的分布列和期望值。18、(本小题满分14分)平面上有两个质点A(0, 0 ), B(2, 2 ),在某一时刻开始每隔11，一秒向上下左右任一万向移动一个单位.已知质点A向左，右移动的概率都是，向上，下41 一移动的概率分别是 一和p,质点B向四个万向移动的概率均为q .(1)求p和q的值；(2)3试判断至少需要几秒，A、B能同时到达D(1, 2),并求出在最短时间同时到达的概率？ TOC o 1-5 h z 1118、(1)质点向四个万向移动是一个必然事件，则p=； q= .(2)至少需要3秒

8、才可 HYPERLINK l bookmark30 o Current Document 641以同时到达 D,则当经过3秒，A到达D点的概率为C； P(右)P(上)P(上)=.设N(2,1),C(1,1),H(3,2 ), F(2, 3),E(1,3),M(0,2 ),则经过3 秒，B 至U时A到达D139达D的可可匕怕境共有 9种.B 到达D点的概率为9父()=.又B到达D点与 464 193点之间没有影响，则 A, B同时到达的概率为 X=12 642562、口袋里装有大小相同的 4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回摸球，每 次摸出一个球，规则如下：若一方摸出一个红球，则此人

9、继续下一次摸球；若一方摸 出一个白球，则由对方接替下一次摸球，且每次摸球彼此相互独立，并由甲进行第一 次摸球.(I)求在前三次摸球中，甲摸得红球的次数E的数学期望；(II )设第n次由甲摸球的概率为 an,试建立an书与an的递推关系，并求数列an的通项公式.解：(I )记“甲摸球一次摸出红球”为事件A, “乙摸球一次摸出红球”为事件B,则八一412八八 TOC o 1-5 h z P(A)=P(B)= ,P(A) = P(B)=，且 A、B相互独立 (2 分)4 8 33据题意，七 的可能取值为0, 1, 2, 3,其中2 12 314P( =0) =P(A B) P(A B A) =2 -

10、 (-)3 =-.3 3327122c10P( =1) = P(A A) P(A B A) = (一)23 33271 2 22P( =2) =P(A A A) =(Q2 -=.33271 o 1P( =3) =P(A A A)=(二)3 =三. HYPERLINK l bookmark32 o Current Document 327/rE=0 x +1X +2X +3X = (7分)2727272727(II )据摸球规则可知，第 n次由甲摸球包括如下两个事件:(1 - an J ) 3 .第n1次由甲摸球，且摸出红球，其发生的概率为第n-1次由乙摸球，且摸出白球，其发生的概率为上述两个事

11、件互斥，由an2 .an A +一(1 一an),即 an312 , 一an-(n _ 2).(10 分)12- L2)(n22)得1/1、/c、一二(an一二)(n - 2)，32甲进行第一次摸球,12分)1、，数列(an -)是首项为2，1 -，,公比为一1的等比数列,3. an一.(二产22317.P.试17.72714分)(本题满分12分) 甲，乙两人进行乒兵球比赛，在每一局比赛中，甲获胜的概率为(1)如果甲，乙两人共比赛 4局，甲恰好负2局的概率不大于其恰好胜 3局的概率,求P的取值范围.-41 (2)若P =,当采用3局2胜制的比赛规则时，求甲获胜的概率.31 一 ，一(3)如果甲

12、，乙两人比赛 6局，那么甲恰好胜 3局的概率可能是 1吗？为什么？3解：设每一局比赛甲获胜的概率为事件A,则0 W P(A) 1 TOC o 1-5 h z (1)由题意知 CjP2(1 P)2 WC：P3(1 P) 2分3即 6P2(1 -P)2 W4P3(1 P)解得 p=0或一 P 1 4分5(2)甲获胜，则有比赛 2局，甲全胜，或比赛 3局，前2局甲胜1局，第3局甲胜，故2 1 2111 1p=c1(-)2 +c2-(1-)- =333 3(3)设“比赛6局，甲恰好胜3局”为事件C则P (C) =C；P3(1 P)3. 9分1当p=0或p=i时，显然有 p(C) 一 10分36 5 4

13、3333又当 0P1 时，P(C) =P (1 -P) =20P(1-P)3 2 1Q P 1 P 八 1201= 20P(1P) 20( c ) =20(。) 11分22643故甲恰好胜3局的概率不可能是 1 12分317.(本小题满分12分)抛一枚均匀的骰子(骰子的六面分别有数字1、2、3、4、5、6)来构造数列an,使fl,(当第n次出现奇数时)、口an,td j a i-1,(当第n次出现偶数时) 乙i7(1)求2 ai =3的概率；i 427(2)若 ai #0,求 ai =3的概率.i 4i 1717.解：(1)设事件Z ai =3为A,则在7次抛骰子中出现5次奇数，2次偶数, i

14、 =4 一一 ，一， 1而抛骰子出现的奇数和偶数的概率为P是相等的，且为 P = -2 TOC o 1-5 h z 1c 21根据独立重复试验概率公式：P(A) =c5()5()2 = 62128分 222(2)若 ai =0,则 ai =2,或工ai = -2 ,即前2次抛骰子中都是奇数或都是偶数 . i 1i 1i W若前2次都是奇数，则必须在后 5次中抛出3次奇数2次偶数，其概率：P1 =1d(-)3(1)2422648分若前2次都是偶数，则必须在后 5次中抛出5次奇数，其概率：112810分 TOC o 1-5 h z 5111，所求事件的概率 P=P1+P2=+= 12分64 128

15、12817.(本小题满分12分)在一次军事演习中，某军同时出动了甲、乙、丙三架战斗机对一军 3 一 事目标进行轰炸，已知甲击中目标的概率是-;甲、丙同时轰炸一次，目标未被击中4 ,11 ，一一，的概率为 ;乙、丙同时轰炸一次，都击中目标的概率是.(1)求乙、丙各自击12417解:中目标的概率；(2)求目标被击中的概率 .(1)记甲、乙、丙各自独立击中目标的事件分别为A B、C.3则由已知，得 RA)= ?, R A C 尸R A)R C)= 11- RQ尸,P(C)=-44123 TOC o 1-5 h z 213由P(B。=RB)P(。=1,得2P(B)=1, ，RE)=3. 8分348(2

16、)目标被击中的概率为1-RABC)1-1- P(A)1-P(B)1-P(C)=1-(1-3)(1- 3 )(1-2)= 91 , 10分4839612答：(1)乙、丙各自击中目标概率分别为-,-；(2)目标被击中的概率为好.8396分17.（本小题满分12分）移动公司进行促销活动，促销方案为顾客消费1000元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖，一1的概率为1,中奖后移动公司返还顾客现金1000兀，小李购买一台价格 2400兀的手机,5只能得2张奖券，于是小李补偿 50元给同事购买一台价格 600元的小灵通（可以得到三张 奖券），小李抽奖后实际支出为U （元）.（1）求白的分布列；（2）试说明小李

17、出资 50元增加1张奖券是否划算。17、(1)1的所有可能取值为 2450,1450,450 , - 550 ,P( =2450) =(4)3 5641251 14 q 48P( =145。)=% (广而24501450450-550P6448121125125125125P( =450)=C(1)2 (。)=E 55125PS =-550) = C；(1)3=,，之分布列为5125(6分)一64(2) E =2450 2 1450125= 1850 (元)48121士45022(-550) HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 125125125

18、(9分)设小李不出资50元增加1张奖券消费的实际支出为 （元）则 P( 1 =2400) =(4)25P( 1 =1400) =C216二 254 8PC/5 25125140025= 2000(元)故小王出资50元增加1张奖券划算。(12分)19.(本小题14分)从原点出发的某质点M ,按照向量a =(1,0)3移动的概率为q，按照向量b= (2,0)移 516E 1 =240 16 1400125E-Ei(n ,0)的概率为Pn .一一 2 一， 动的概率为，设可到达点5(I )求概率p、p?(n)求Pn也与Pn、Pn书的关系并证明数列R七Pn书是等比数列J；(出)求Pn ._ 3M点到达

19、点(2 ,0)的事件由两个互斥事19.解(I ) M点到达点(1 ,0)的概率为P1 =；5件组成：人/”点先按向量a =(1,0)到达点(1,0),再按向量a = (1,0)到达点(2,0) ”,， 3 9此时 P( A)=(-)；52B= M点先按向量b = (2 ,0)移动直接到达点(2 ,0) ，此时P(B) = 2。5 TOC o 1-5 h z 3 2219P2 = P(A) P( B)=(一)一 二5525(n ) M点到达点(n +2 ,0)的事件由两个互斥事件组成:Ane = 从点(n +1 ,0)按向量a =(1,0)移动到达点(n+2 ,0)”,，一3此时 P(An) =

20、-Pn+；52Bn = 从点(n,0)按向量b =(2,0)移动到达点(n+2,0)，此时P(Bn)=一匕。52 _+ Pn，即Pn* - Pn中52的等比数歹u。5数列pn 一 pn平是以P2 - R = a为首项，公比为25422 c(出)由(n)可知 Pn 书Pn中=一(一)1 =( )n 2555Pn1 一巳=(一2产 5Pn -=(-2 5P2-P1 H-|)253,2、n(-)52.2/ 2.Pn - P1 =( -二)(一二)5522、n一51一(飞)22、n%5)-(-2)n-17 75Pn =5-(-2)nJ 7 75H .2(N严35 7518.(本小题满分12分)已知袋中装有大小相同的2个白球和4个红球.(I )从袋中随机地将球逐个取出，每次取后不放回，直到取出两个红球为止，求取球次数之的数学期望;4次球,(H)从袋中随机地取出一个球，放回后再随机地取出一个球，这样连续取求共取得红球次数 n的方差.18.(本小题满分12分)(I)依题意，U的可能取值为2, 3, 4A4P( =2)二消5P( = 3)=_ 112 一 1(C2c4 A2