高三数学一轮复习数学归纳法提分训练题

1、数学归纳法一、选择题1.用数学归纳法证明命题“当 n是正奇数时，xn+yn能被x + y整除，在第二步时，正确 的证法是().A.假设n= k(k N+),证明n= k+1命题成立B.假设n= k(k是正奇数)，证明n=k+ 1命题成立C.假设n=2k+1(kC NI+),证明n= k+ 1命题成立D.假设n= k(k是正奇数)，证明n=k+2命题成立解析 A B C中，k+1不一定表示奇数，只有 D中k为奇数，k+2为奇数.答案 D.用数学归纳法证明2 nn2+1对于nno的正整数n都成立时，第一步证明中的起 始值团应取()A. 2B . 3C . 5D . 6解析分别令n0= 2,3,5,

2、依次验证即可.答案C.对于不等式 后市n+1(nC N),某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n=1时，12+11)时，不等式成立，即 楙2+ kk+ 1,则当n=k+1时， 个k+ 1 _2+_k+ 1 -= 楙2+ 3k+ 21)时，等式成立, 即有 12-22+ 32- 42+ (-1)k 1 - k2=(-1)k1k k+ 1那么，当n= k+ 1时，则有12 22+ 32 42+ ( -1)k 1 - k2+( -1)k(k+1)2 = ( 1)k1k k；l +( 1)k (k+1)2kk+1,= (-1) - k+2(k+1)k k + k+ /= (-1) . .n=k+

3、1时，等式也成立, 由(1)(2)得对任意nC N*有12-22+ 32- 42+-+ (_1)n1 . ：=(_1广114.已知数列an中，a1=a(a2),对一切 nCN,2anan 0)an +1 =汽 aan求证：an 2 JiL an+1 v an.证明法2anan 一 0,2an- 1an - 2 =ran - 1 一3 2 0, aan- 1- 1 An 2.6存在 3k = 2 ,贝U 3k 1 = 2 ,由此可推出ak-2=2,，a1 = 2,与ai = a2矛盾，故an2.an2 - an an+ 1 an = 75； V 0,an-1,. . an+ 1 V an.法二

4、(用数学归纳法证明an 2)当n= 1时，a1 = a2,故命题 an2成立; *假设n = k(kl且kC N)时命题成立，即ak2,那么,2akak+1 2= t， ;-2=q二 ak - 1二ak-2ak 12-0.所以ak i2,即n=k+ 1时命题也成立.综上所述，命题 an 2对一切正整数成立.an+1 an的证明同上.一，115.已知数列an中，a1=1, an+1=c an(1)设c=5，bn = -1,求数列bn的通项公式;2 an 2(2)求使不等式anan+12.用数学归纳法证明：当 c2时,an a1, a1命题成立;*(ii)设当 n=k(kl 且 kC N)时，ak

5、Vak+1,则当n=k+ 1时,_ 11 .ak+2= c c = ak+1.ak+1ak故由(i )( ii )知当 c2 时，anVan+1.11当 c2 时，因为 c= an+1+ an+ , chan2所以an - can + 1 V 0有解,c c 4所以j anc+ c2 4c+ 水2 42-10-当2v cw不时，anq时，a 3, 3且 1 w ana an+1=( a an) ( a an) T2( a an-1)an 3331,、log 3时,a 3a an+1 3,与已知矛盾.一 10 一 .因此cw不符合要求.3所以c的取值范围是2, 130 116.是否存在常数 a、

6、b、c 使等式 12+ 22 + 32 + + n2+( n1)2+ + 22+12= an( bn2+c)对于一切nCN*都成立，若存在，求出 a、b、c并证明；若不存在，试说明理由.解析 假设存在 a、b、c使 12+ 22+ 32+ + n2+( n1)2+ 22+12= an(bn2+c)对于一切 nC N都成立.当 n= 1 时，a( b+ c) = 1 ；(2)ai=1, a2 = c- 1,由 a2ai,当 n=2 时，2a(4b + c) =6；当 n=3 时，3a(9b + c) = 19.a b+c =1,解方程组$a 4b+ c =3, 3a 9b+c =19.解得3=2

7、,c= 1.证明如下：当n= 1时，由以上知存在常数a, b, c使等式成立.一 - * - - 一假设n = k(ke N)时等式成立，即 12+ 22+ 32+ + k2+(k1)2+ 22+12=1k(2 k2+1)；3当n= k+ 1时，12 + 22+ 32+ k2+(k+1)2+k2+(k1)2+ 22+12= ；k(2 k2+1) + (k+1)2 + k2= ；k(2 k2+3k+1) + (k+ 1)2 31= k(2k+1)(2k+ 1) +(k+ 1)1 .2.= -(k+1)(2 k + 4k+3)3= ；(k+1)2( k+1)2+1. 3即n= k+ 1时，等式成立.一，1八，*一