材料力学-理论课专题3-2：弯曲应力

1、13-2 弯曲应力材料力学(ci lio l xu)共四十二页21 引言 2 平面弯曲时梁横截面上的正应力3 梁横截面上的剪应力4 梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面5 非对称截面梁的平面弯曲开口薄壁截面的弯曲中心6 考虑材料塑性(sxng)时的极限弯矩3-2 弯曲应力 共四十二页 引言(ynyn)弯曲应力1、弯曲构件(gujin)横截面上的（内力）应力内力剪力Q 剪应力t弯矩M 正应力s共四十二页平面(pngmin)弯曲时横截面s 纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)平面弯曲时横截面t 剪切弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)弯曲应力2、研究(ynji)方法纵向对称面P1P2例如：共四

2、十二页 某段梁的内力(nil)只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。弯曲应力PPaaABQMxx纯弯曲(wnq)(Pure Bending):共四十二页2 平面弯曲(wnq)时梁横截面上的正应力1.梁的纯弯曲(wnq)实验 横向线(a b、c d）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。（一）变形几何规律：一、 纯弯曲时梁横截面上的正应力弯曲应力中性层纵向对称面中性轴bdacabcdMM共四十二页横截面上只有(zhyu)正应力。平面假设：横截面变形(bin xng)后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形(bin xng)

3、相等。（可由对称性及无限分割法证明）3.推论弯曲应力2.两个概念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。共四十二页A1B1O1O4. 几何(j h)方程： 弯曲应力abcdABdqrxy)OO1)共四十二页 （二）物理(wl)关系：假设：纵向纤维互不挤压。于是(ysh)，任意一点均处于单项应 力状态。弯曲应力sxsx（三）静力学关系：共四十二页弯曲应力（对称面） (3)EIz 杆的抗弯刚度。共四十二页（四）最大正应力(yngl)：弯曲应力 (5)DdDd=abBhH共四十二页例1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（

4、1）11截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求11截面的曲率(ql)半径。弯曲应力q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120180zy解：画M图求截面(jimin)弯矩30共四十二页弯曲应力Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120zy求应力(yngl)18030共四十二页求曲率(ql)半径弯曲应力Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax1212018030共四十二页3 梁横截面上的剪应力一、 矩形(jxng)截面梁横截面上的剪应力1、两点假设： 剪应力与剪力平行；距中性(zhn

5、gxng)轴等距离处，剪应力 相等。2、研究方法：分离体平衡。 在梁上取微段如图b； 在微段上取一块如图c，平衡弯曲应力dxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb图a图b图c共四十二页弯曲应力dxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb图a图b图c由剪应力互等共四十二页弯曲应力Qt方向：与横截面上剪力方向相同；t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布(fnb)为抛物线。最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。二、其它(qt)截面梁横截面上的剪应力1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为：其中Q为截

6、面剪力；Sz 为y点以下的面积对中性轴之静矩；共四十二页2、几种常见截面(jimin)的最大弯曲剪应力 弯曲应力Iz为整个截面(jimin)对z轴之惯性矩；b 为y点处截面宽度。工字钢截面：;maxA Qtf结论： 翼缘部分tmax腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。 铅垂剪应力主要腹板承受（9597%），且tmax tmin 故工字钢最大剪应力Af 腹板的面积。;maxA Qtf共四十二页 圆截面：薄壁圆环：槽钢(co n)：弯曲应力exyzPQeQeh共四十二页4 梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理(hl)截面1、危险(wixin)面与危险(wixin)点分析：一般截面，最大正应力

7、发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。弯曲应力QtsssMt一、梁的正应力和剪应力强度条件共四十二页2、正应力和剪应力强度(qingd)条件：带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上述相同；还有一个(y )可能危险的点，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交处。（以后讲）弯曲应力3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：sMQtts共四十二页4、需要校核剪应力的几种特殊(tsh)情况：铆接或焊接的组合(zh)截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。梁的跨度较短，M 较小，而Q较大时，要校核剪应力。各向异性材料（

8、如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。、校核强度：校核强度：设计截面尺寸：设计载荷：弯曲应力共四十二页解：画内力图(lt)求危面内力例2 矩形(jxng)(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，=7MPa，=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。弯曲应力q=3.6kN/mxM+ABL=3mQ+x共四十二页求最大应力(yngl)并校核强度应力(yngl)之比弯曲应力q=3.6kN/mxM+Q+x共四十二页y1y2GA1A2A3A4解：画弯矩图并求危面内力(nil)例3 T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的L=30MPa，y=60 MPa，其截面形心位于(wiy)

9、C点，y1=52mm， y2=88mm，Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？4弯曲应力画危面应力分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM共四十二页校核(xio h)强度T字头在上面(shng min)合理。弯曲应力y1y2GA1A2A3A4x2.5kNm-4kNmMy1y2GA3A4共四十二页二、梁的合理(hl)截面（一）矩形(jxng)木梁的合理高宽比R北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出:矩

10、形木梁的合理高宽比 为弯曲应力bh共四十二页强度(qingd)：正应力：剪应力：1、在面积(min j)相等的情况下，选择抗弯模量大的截面其它材料与其它截面形状梁的合理截面弯曲应力zDzaa共四十二页弯曲应力zD0.8Da12a1z共四十二页工字形截面(jimin)与框形截面(jimin)类似。弯曲应力0.8a2a21.6a22a2z共四十二页 对于铸铁类抗拉、压能力(nngl)不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：弯曲应力2、根据材料特性选择(xunz)截面形状sGz共四十二页弯曲应力（

11、二）采用变截面(jimin)梁 ，如下图：最好(zu ho)是等强度梁，即若为等强度矩形截面，则高为同时Px共四十二页5 非对称截面梁的平面(pngmin)弯曲 开口薄壁截面的弯曲中心几何方程(fngchng)与物理方程(fngchng)不变。弯曲应力PxyzO共四十二页依此确定(qudng)正应力计算公式。剪应力研究方法(fngf)与公式形式不变。弯曲应力弯曲中心(剪力中心)：使杆不发生扭转的横向力作用点。 （如前述坐标原点O）PxyzO共四十二页槽钢(co n)：弯曲应力非对称截面梁发生平面弯曲的条件：外力必须作用(zuyng)在主惯性面内，中性轴为形心主轴，,若是横向力，还必须过弯曲中心

12、。exyzPPsMQe共四十二页弯曲(wnq)中心的确定:(1)双对称轴截面(jimin)，弯心与形心重合。(2)反对称截面，弯心与反对称中心重合。(3)若截面由两个狭长矩形组成，弯心与两矩形长中线交点重合。(4)求弯心的普遍方法：弯曲应力CCCQyeC共四十二页ssss6 考虑材料塑性(sxng)时的极限弯矩（一）物理(wl)关系为：全面屈服后,平面假设不再成立;仍做纵向纤维互不挤压假设。弯曲应力sessss理想弹塑性材料的s-e图ssss弹性极限分布图塑性极限分布图共四十二页（二）静力学关系(gun x)：（一）物理(wl)关系为：弯曲应力yzxssMjx横截面图正应力分布图共四十二页弯曲应力yzxssMjx横截面图正应力分布图共四十二页例4 试求矩形截面梁的弹性极限(jxin)弯矩M max与塑性极限弯矩 Mjx之 比。解：弯曲应力共四十二页41本章(bn zhn)结束共四十二页内容摘要1。某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。横向线(a b、c d）变形后仍为直线(zhxin)，但有转动。横向线与纵向线变形后仍正交。平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。中