新课标高中数学精讲精练§2.2.1对数与对数运算

1、新课标高中数学精讲精练第 15 讲 对数与对数运算（二）学习目标 ：通过阅读材料， 了解对数的发现历史以及对简化运算的作用； 理解对数的概念及其运算性质， 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数； 理解推导这些运算性质的依据和过程；能较熟练地运用运算性质解决问题 .知识要点 ：对 数 的 运 算 法 则 ：log (MN )logMlogN，logMlogMlogN，aaaaaaNalogM nn log a M ，其中 a0, 且a1 ， M0,N0, nR . 三条法则是有力的解题工具，能化简与求值复杂的对数式.对数的换底公式loga Nlogb N log b a. 如果令

2、b=N，则得到了对数的倒数公式log a b1.nlog b aan同 样 ， 也 可 以 推 导 出 一 些 对 数 恒 等 式 ， 如 log n Nlog aN ， log am Nnlog a N，mlog a blogb c log c a1 等.例题精讲：【 例1 】 化 简 与 求 值 ：（ 1 ）(lg2)1 lg2 lg5(lg2) 222lg21；（ 2 ）log 2 (4747 ) .解：（ 1）原式 =12 12 = 121(lg2)lg2 lg5(lg21) 22lg2lg2 lg5(lg21)4212111=lg2lg2 lg5lg21 =422lg 2(lg 22

3、lg52)14= 1 lg 2(lg1002)1011 .4121（ 2）原式 = log 2(4747 )2 =log (4747 )2222= 1 log (474724227) =1 log 14 .22【例 2】若 2a5b1011，则=.（教材P83 B 组 2 题 ）aba解：由 25b10 ，得 alog 2 10 ， blog 5 10 . 则1111lg 2g5lg101.ablog 2 10log 510【例 3】 （ 1）方程 lg xlg( x3)1 的解 x= ；（ 2）设x1, x2 是方程lg2 xa lg xb0 的两个根，则x1 x2 的 值是.解：（ 1）由

4、 lg xlg( x3)1 ，得 lg x(x3)lg10 ，即 x( x3)10 ，整理为2x3x100 .解得 x= 5 或 x=2.x 0，x=2.2（ 2）设 lg xt ，则原方程化为tatb0 ，其两根为tlg x , tlg x .121212由 ttlg xlg xlg( xx )blg10 b ，得到 xx11221210b .点评 ：同底法是解简单对数方程的法宝，化同底的过程中需要结合对数的运算性质. 第 2 小题巧妙利用了换元思想和一元二次方程根与系数的关系.【例 4】（ 1）化简：111；log 5 7log 3 7log 2 7（ 2）设log2 3 log 3 4

5、log 4 5log 2005 2006 log 2006 m4 ，求实数m 的值 .解：（ 1）原式 = log7 5log7 3log 7 2log 7 (532)log 7 30 .（ 2）原式左边= log3log 2 4 log2 5log 2 2006log 2 mlogm ,22log2 3 log 2 4log 2 2005 log 2 2006log 2 mlog24 ，解得 m16.2点评 ：换底时，一般情况下可以换为任意的底数，但习惯于化为常用对数. 换底之后，注意结合对数的运算性质完成后阶段的运算.第 15 练 对数与对数运算（二）基础达标（log n 1nn1n ）等

6、于（） .A. 1B. 1C. 2D. 22 (5) log 5 (a )2（ a 0）化简得结果是（） . aB. a2C. aD. a化简lg2lg5log3 1的结果是（） .21 2B. 1C. 2D.10已知f ( x3 )logx , 则f (8) 的值等于（） .A. 1B. 2C. 8D. 12化简 log3 4 log 4 5 log5 8 log 8 9 的结果是（） .A .1B.32C. 2计算(lg5) 2lg 2lg50 .7若 3a 2，则 log 38 2log 36.能力提高8（ 1）已知log9a ， 18b，试用a、b 表示log18 45 的值；18（

7、2）已知log14 7a，log14 5b，用 a、 b 表示log 35 28 .9在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v (m / s) 和燃料的质量M ( kg) 、火箭（除燃料外）的质量m ( kg) 的关系是v2000ln(1M ) . 当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭m的最大速度可达到10 km/ s ？探究创新10 （ 1）设x, y, z 均为实数，且3xy4 ，试比较3x 与 4y 的大小 .（ 2）若 a、b、c 都是正数，且至少有一个不为1， z 所满足的关系式.xy zyz xz xya b ca b ca b c1 ，讨论 x、y、参考答案第 15 练 对数与

8、对数运算（二）【第 15 练】1 5BCAAC ；6.1 ；7. a 2.8. 解：（ 1）由alog18 9a，得到 18z9 .设 log18 45z，则 1845 .因为 18z9518a18b18a b ，所以zab ，即log 18 45ab .714（ 2）log35 28log14 28log14 7log14 4a2log 14 2a2log14log14 35log14 7log14 5ababa2(1log14 7)a2(1a)2aababab9.解 ： 由100002000ln(1M148.41147.4yymM )， 即 ln(1 mM )5 . mMe51m.用 计 算 器x10. 解：（ 1）解：由 34，得到 xlog3 4y log 3 4 .从 而3x4 y3 y log44 yy(3log44)y log3y log81y log 10， 所 以43333334643x4y .（ 2）由 axb ycz1 ，两边取对数， 得x lg ay lg bzlg c0 ，同理y lg az lg bx lg c0 ，zlg ax lg by lg c0 . 三式相加，得( xyz)(lg alg blg c)0 .