押题14圆锥曲线的综合—运算过关拥抱你（解析版）

1、押题14圆锥曲线的综合运算过关拥抱你密押点睛【多项选择】（2022太原第五中学高三模拟）抛物线E：y2=2px（p。）的焦点为八 过点厂7T且倾斜角为7的直线交抛物线于M、N两点，MN =8.4（1）求抛物线E的方程；在抛物线E上任取与原点不重合的点4过A作抛物线的切线交X轴于点不点4在 直线l = -1上的射影为点C,试判断四边形AC3F的形状，并说明理由.【解析】（1）设过点尸且倾斜角为g的直线方程为代入y2=2px（p0）乙2得3px + g = 0,假设 M（不必）”（X2，%），贝1不+=3所以|四|=上|+%+ = 4 = 8,那么p = 2即抛物线的方程为V=4x（2）设那么在A

2、作抛物线E的切线为）-%=%（九一/），即x =匕卢+% k代入V=4x,整理得24y + 4% 以2=。2因为此直线与抛物线相切，所以A = 4（4-4饭+r%）=0,即的（2）2 =0次= 0/ x所以过A的切线为%令k0 得 x = r。，即 3（一七,0）,所以 |BF|=|AF|=|AC|又ACIIBF ,所以四边形ACB厂有一组对边平行且相等，且邻边也相等所以四边形ACBb为菱形.【押题理由】L圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，常见的热点题型有：范围、 最值问题，定点、定值问题，探索型问题等.2.以解答题的压轴题形式出现，难度较大，重 在提升逻辑推理、直观想象、数学运算的核心

3、素养,考查数学抽象、直观想象、数学运算的 核心素养.【考前秘笈】1.求解圆锥曲线中最值、范围问题的主要方法（1）几何法:假设题目中的条件和结论能明显表达几何特征和意义,那么考虑利用图形性质数形结 合求解.代数法:假设题目中的条件和结论能表达一种明确的函数关系，或者不等关系，或者参图1图2己知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.假设取半径为26的圆形纸片，设定点F到圆心E 的距离为2,按上述方法折纸.以点后所在的直线为x轴，线段所的中垂线为），轴，建立 坐标系，求折痕所围成的椭圆。（即图1中“点的轨迹）的标准方程.经过椭圆。的左焦点乙作直线/,且直线/交椭圆。于RQ两点，问x轴上是否存在一点 M,使

4、得福诙为常数，假设存在，求出坐标及该常数，假设不存在，说明理由.【解析】（1）如图，以此所在的直线为不轴，FE的中点。为原点建立平面直角坐标系.设为椭圆上一点，由题意可知+|ME|=|岗=24 |跖| = 2,所以加点轨迹是以RE为左右焦点，长轴长2a = 26的椭圆，因为2c = 2, 2 = 26,所以c = l, 4 = 那么/=2 ,所以椭圆的标准方程为二+反=1; 32由题知，6（T,。），假设存在点“亿0）,使得桥瓶为常数，当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y = A（x+l）,。（冷*）,。（%，%），y = k（x + l）那么联立方程I/2得（2 + 3攵2 口2 + 6

5、攵2% + 3攵2 6 = 0 ,+ = 1 32由“6k23%26所以一布因为。=（不 一，,yMQ = （x2-t,y2） 所以 MP 诙=（% ，）（%2，）+必为=（% 一，）。2一，）+ 女2（%1 +1）（% +1）=（入D仪+小% +%） + /+/ =（匕置：一一十小/d i 7 2 g(2/)(2 + 3攵2) (4fH) 4,H(6，-1)左-623322 cl 3 f 广=f t =广 + 2,r2 + 3攵22 +3k23 2 + 3攵 2 TOC o 1-5 h z _ _16因为加血为常数，故/上必1 4 +飞与k无关, i 十-3 2 + 3产164 11所以 4

6、/ + = 0,即，=,此时 MPMQ =；339所以，当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x = -1,此时P -1，+-1,-当/ = _&时，MP.M2 = (l + z)2- = -, 339综上，在x轴上存在一点加(-1,0),使得京A血为常数，这个常数为39数与新参数之间的等量关系等,那么利用代数法求参数的范围.求定值问题的思路方法思路:求解定值问题的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这 类问题选择消元的方向是非常关键的.方法:从特殊入手，求出定值,再证明这个值与变量无关;直接推理、计算,并在计算推理的 过程中消去变量,从而得到定值.求定点问题的解题方法动直

7、线1过定点问题:设动直线方程（斜率存在）为y=kx+t,由题设条件将t用k表示为 t二mk,得y=k （x+m）,故动直线过定点（-m, 0）.动曲线C过定点问题：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立,令其系数 等于零，得出定点.证明问题代数传化法：圆维曲线中的证明问题多涉及几何量的证明，比方涉及线段或角相等以及位置 关系等，证明时，常把几可量用坐标表示，建立个变量的函数，用代数方法证明.探究、存在性问题存在性问题的解法:先假没存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，推证满 足条件的结论，假设方程组有买数解。元营（点、直线、面线或参数）存在:否那么，元素（点、直 线、曲

8、线或参数）不存在。要注意的是：（1）当条件和绝论个一时要分类河论：（2）当给出结论 而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；（3）当条件和结论都不知，按常规方法 解顾报难时，要开放思维，采取另外合适的方法.押题精选1.（押考向最值问题）（2022海南中学模拟预测）点T是圆A：（x-炉+ /8 = 0上的 动点，点3（-1,0）,线段8T的垂直平分线交线段AT于点S,记点S的轨迹为曲线C.求曲线C的方程；过B（-1,0）作曲线。的两条弦。石，MN,这两条弦的中点分别为P, Q,假设诙.耐=0, 求VHP。面积的最大值.【解析】 圆A:（x-1y + V=8的圆心A。,。），半径= 2&，

9、依题意，|S8|=|ST|,+ST-SA=AT= 2y/22=AB,即点S的轨迹是以& A为左右焦点，长轴长为20的椭圆， 短半轴长人= 1 ,所以曲线。的方程为E+y2=l.2由瓦加=0知I，DE工MN ,直线。E,A/N不垂直坐标轴，否那么点P,。之一与点8重 合，不能构成三角形，即直线的斜率存在且不为0,设直线QE方程为：丁 =攵。+1）,（v 攵（x + ）由2一12 1消去y并整理得：（2攵2+12+4入+ 2公_2 = 0,设。（不凹）回口内），OE中 r+2y = 2点 P（Xp, yp） 9因此,因此,那么有天+/=Y，XP=-, %=注71 -2 尸+102 公+ 12K+1

10、阳小枭+（云3直线MN的斜率为-；，同理可得|3Q|二K直线MN的斜率为-；，同理可得|3Q|二KklR+l公+ 2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark8 o Current Document VBP0 面积 SaBPQ=BPBQ=.- =22 2女 +1 Z +24(|+)2 +2I k |Q1令，二|攵|+可22,当且仅当|%|=1时取那么Q 4 + 2 42 ,t(2函数y = 4% + 在2,+8)上单调递增，即当r=2时，4，+ =9,tI，/min所以当U2,即人士1时，-.二，37所以VBR2面积的最大值是，222.（押考向最值问题）（2022襄

11、阳市第五中学二模）椭圆C: = += l（b0）的左 a- b顶点是A,右焦点是尸（点,0）,过点尸且斜率不为。的直线与。交于P,。两点，B为线段AP的中点，。为坐标原点，直线AP与60的斜率之积为乙（1）求椭圆。的方程； 设直线，为圆/ + 丁=1的切线，且,与。相交于S, 7两点，求丽.历的取值范围.【解析】（1）设椭圆。的右顶点是4,连接RT,因为3, O分别是B4, A4的中点，所以H9PA,因为直线AP与8。的斜率之积为-；，所以原0女=J22设P（x,yO）,那么与+兽=1 er o因为4a。)，A3,0),所以b2a2b2b2x0 + a x0-aa2所以所以c = 42,解得a

12、2 =b2 +c222所以椭圆C的方程为工+匕=1.4222所以椭圆C的方程为工+匕=1.42（2）设S&j）, 丁（毛,%）当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为丁 =辰+，,当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为丁 =辰+，,联立y = kx-t,22土 + J42整理得（2左2 + i）x2 + 41ax + 2产一 4 = 0 ,整理得（2左2 + i）x2 + 41ax + 2产一 4 = 0 ,那么A = 8（4廿产+2）0,那么4尸+ 2,4kt% + M =121+2左22-4那么 y % =（2 +，）（依2 +/）= k2x1x2 + kt。1+ %） + j 7 2t2

13、4 4kt 2/一4公匕；+ kt- + 广二一； 2k2 + 12严 +1 2严 +1又直线/为圆/ + 丁=1的切线,那么亦=1即2r 4 t2-4k2 3/4公42r 4 t2-4k2 3/4公4A2r+12/+12公+1F+i _ i 2FTT = ；2 -E又因为OSOT =k2+12r+12 2（2左 2+1）10,且 +W = l + 4因为|770|=|77V|,所以%,+%=(),即+ ” = ，所以(X +2)(%-1) + (9+2)(乂 T)= 0,即(玉 +2)(生 +加一 1) + (/ +2)(而+m-l) = 0 .ll t、i 4z 8 /r i.、 8Azz

14、z . z .、 八所以 2Ar+ (2k +m- 1)7 +4(m-l) = 0 ,1+4K1+4/整理得：（2k + 1）（加一2% 1） =。，所以2攵+ 1= 0或m-2左-1 = 0,当加=24+ 1时,直线/:y=以+2） + 1过点T（-2,1）,不合题意，故舍去.所以2Z + 1 = （）,即攵= -g,即直线/的斜率是定值.5.（押考向.证明问题）（2022吉林长春三模）椭圆。的离心率为正，长轴的两个端2点分别为 A（2,0）, 5（2,0）.求椭圆C的方程；过点（1,。）的直线与椭圆。交于M、N （不与A、B重合）两点，直线AM与直线x = 4交于 点。，求证：B、N、。三

15、点共线.【解析】（1）由长轴的两个端点分别为4-2,0）, 8（2,0）,可得。=2,由离心率为可得 =立，c = VL2 a 2又=从+。2,解得8 = 1,2椭圆C的标准方程为 + /=1；4由题可知假设/斜率存在，且斜率不为零，故设/的方程为1 =冲+ 1,设加但，X）,阳，%），x = my由 1)相交于4C、。两点，求证:恒。=忸。V2【解析】设椭圆”的方程为彳田一（拄。），代入点3两点，与椭圆a交于1),V2 v2得2=2,所以椭圆M的方程为匕+上=1.82联立联立y = mx+n金+3=1(，1)消去y可得(1 + 4根2)Y+8/板 + 42 4万=0 ,Smn1 + 4m2那么无3 = 一4mn1 + 4m2（2）直线/不与1轴垂直，设Aj）, 5（%,%），线段AB的中点N（e，%），设。（乙,%），。（%5，%），线段 C。的中点。（天，”），y = iwc-n联立兰+ - 1， 14消去 y 可得(1 + 4/%2)x2+8加公 + 42 1 = 0 ,所以匕+毛=-Sm