沙堆模型综述

1、沙堆模型综述Document number: WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GTSandpile模型综述摘要:本文主要介绍了 Repast仿真工具、论述了基于Repast建立的 Sandpile仿真模型的原理以及对该模型在核裂变学科研究领域的典型应用进行 了阐述。关建字:Sandpile ；repast ； 地震；电力系统；水华暴发水污染一、Repast仿真工具简介Repast(RecurslvePorousAgentSimulationToolkit)是芝加哥大学社会科学 计算研究中心研制的多主体建模工具，它提供了一系列用以生成、运行、显示 和收集数据的类库，并能对运

2、行中的模型进行“快照”，记录某一时刻模型的当 前状态，还可以生成模型运行过程中状态动态演化的视频资料。Repast项目拟订了三个设计目标：使用方便、容易学习和容易扩展。设计 者通过让模拟软件的底层结构具备抽象性、可扩展性以及“良好”的表现来实现 这些目标。抽象性RePast的设计借鉴了很多别的主体建模软件，汲取了各个软件中最优秀的 设计思想。类库设计时充分应用了面向对象和设计模式的思想，因此RePast的 整个类库的结构非常明晰优美。类库提供了普通常用的底层抽象库(如安排时 序、显示、数据收集等类库)，类库还提供了一些用以建立表层元素的常用 类。这些类可直接使用，也可以根据需要继承和扩展。与S

3、warm 一样，Repast 还设计了一些关键的抽象数据结构，其中一些结构直接模仿了 Swarm，如时序 表等。可扩展性关键数据结构的抽象设计让Repast具备了可扩展的能力。为了充分从Swarm的抽象结构中获得方便，Repast继承了 Swarm时间测试 的设计方法，这对于提高其扩展性十分有利。此外，Repast还引人了设计模式 中的一些经典抽象结构，使得其扩展性得到进一步的提高。如用设计模式中的 综合模式实现时序的安排机制（时序表对象和各种行为类），由于这种综合模 式允许终端用户在建模编程时，能够对单独行为和复合行为进行统一编码处 理，因此模型中的时序安排机制便变得很清晰直观，且易于扩展。

4、“良好”的表现能力表现能力是指应用该平台建立应用研究模型时，该平台能否有效地适用于实 际应用领域；如能否有效地用平台的开发接口把问题表述成计算机模型，模型 能否在可承受的效率开销下运行，等等。“良好的表现能力是指：在不影响别 的优越特性前提下，可接受的表现能力。当表现能力的最优化不是设计的主要 目标时，设计者的注意力应集中在如何减少对象的生成开销，以达到一种能够 接受的运行速度。Repast可以算得上比较好地完成了这一目标，甚至有所超 越，相比其他模拟软件平台，Repast提供了更好的表现能力。此外，随着Java 虚拟机性能的提高，Repast模型的速度也会得到改善。二、基于Repast的Sa

5、ndpile模型的构建原理这个模型阐述了一个被称为自组织临界性的现象。在一个空间有一些现成 的沙堆，该空间的顶部有一个不断向下漏沙的沙栈。通常情况下一堆沙如果堆 得太高他会“沙崩”，顶部的沙将平均的流向这堆沙的四周，而这些流下来的沙 又会影响其它本来稳定的沙，局部会引起连锁的反应，这种现象可称为“坍 塌”。我们可以根据某一个沙崩影响沙粒的多少来定义一个沙崩的大小。当你不 断的向这个“沙堆”加入沙粒，取决于沙堆的状态和沙粒添加的位置，会不断的 会产生“沙崩”，大的，小的不停的演化，如下图所示。图1沙堆模拟仿真图每一次沙崩的大小都不一样，它的大小取决当前沙堆的稳定情况，有时一些沙粒掉下该沙堆仍然稳

6、定，并没有发生沙崩现象。发生沙崩的大小规率如下图所示。图1双对数坐标下沙堆崩塌分布曲线沙堆模型在模拟具有自组织临界特征的系统时，可以产生一个长时间序列 的崩塌数据，这个序列的数据是长程时间内的仿真结果。沙粒是由外部加入 的，因而沙堆是一个开放的动力系统。在沙堆形成的过程中，会从非临界态转 向临界态。在非临界态下遵守的是局部的动力学规则，在临界态下遵守的是整 体动力学规则。进行沙堆模型的仿真，能够观察沙堆的整体特性，找到影响自 组织临界性参数的因素和改变自组织临界特征的方法，并且把这些方法应用到 更广泛的领域中去。提出过一个经典的沙堆模型，把沙堆落在台面上用一个2 维的格子来代表，每个方格都有一

7、个坐标（x，y），用Z（x，y）表示落在方格中 的沙粒数量，每一粒沙子都是理想的立方体。随便选取一个格子，并把那个格 子的高度Z增加1，从而有1粒沙加到方格中，即Z（x，y）=Z（x，y）+1。一旦某 个格子中高度Z超过了 4,那么这个方格就会向附近的4个方格输送1粒沙子。因而当Z达到4的时候，那个方格的高度就会减少4。每一次倒塌记为一 次崩塌，一个雪崩事故中可能有很多次崩塌，崩塌的次数记为故障规模。如果 崩塌发生在台子边缘，则沙子滚落到台子外面，有Z（x，y）=Z（x，y）-4Z（x1， y）=Z（x1，y）+1Z（x， y1）=Z（x， y1）+1沙堆最理想的临界态是所有格子中的高度都为3

8、,但是这种情况不可能出现， 因为在这之前的大雪崩就使沙堆倒塌了。本文建立了一个50 x50的沙堆，通过 仿真发现，沙堆稳定在平均高度2110附近。此时沙堆达到一个高度组织化、高 度敏感的状态。统计一段时间沙堆的崩塌次数发现，雪崩规模与频率满足幂率 规律。双对数坐标下崩塌与次数的分布如图1所示，统计的时间长度是 1500d，分段的统计结果如表1所示。表中规模表示每次雪崩倒塌的沙粒数量， 对规模进行分段后统计了雪崩的次数。故障规 模/个故障次数故障规 模/个故障次数故障规 模/个故障次数11004547001320008200588009300053002990094000140022100096

9、00015002812007600915006注:故障规模指故障崩塌的沙粒数量。上述的统计结果曲线拟合可得：y=*x-112058式中:y为故障发生次数;x为故障规模。该模型的应用：在地震研究上的应用在地震研究领域内，有一个很有名的实验现象规律叫做Gutenberg-Richter 定律。这个定律描述了在某一个地区一个较长的时间段内不同大小的地震所发 生的频率的规律。随着观察水平的提高，这个规律也一再被后来的科学家用更 多、更新的数据重新发现。在2002年，Bak统计了在美国加州地区1984年到 2000年间所发生地震大小的频率的规律。与我们经验相符的是，数据表明大地 震很少，小地震很多。但超

10、乎直觉的是，各种大小的地震，从震级为2的小地 震到震级为7的大地震，发生的次数与震级大小符合数学上的幂律关系，专业 描述是地震的发生次数随着其大小按照幂律下降。如果将这些地震的数据点画 在横轴是震级大小，纵轴是次数的双对数图上，是一条直线。这是一个很惊人 的发现，因为地震大小每提高一个里氏级，其释放的能量增大约30倍。震级为 2的地震与震级为7的地震释放的能量相差2千5百万倍，但能量相差如此之 大的地震，其统计数据点都奇迹般的落在了 Gutenberg-Richter定律所描述的 直线上，而不是别处。在电力系统中的应用电力系统中发生的大停电事故往往是由于系统中某一元件的故障导致一 系列其他元件

11、停运，这种连锁故障蔓延的速度很快，最终导致电力系统大范围 停电。其原因可能是多方面的，例如:控制措施不当或不及时、电网结构不合 理、继电保护装置误动作等。这类事故的危害引起了广泛关注，国内外学者对 这类连锁故障的机理也进行了深入的研究。电力系统中分析连锁故障以往采用 还原论，首先建立系统中各个元件的详细数学模型，然后将其组合起来，将系 统描述成巨维的微分代数方程，通过计算机仿真得到系统的解。随着电力系统 规模的扩大，这套方法在计算精度和速度方面的局限性也越来越明显。因此， 必须有新的系统分析方法来研究电力系统复杂的动态行为，特别是在分析系统 连锁反应事故和大停电机理等方面。大规模停电事故存在复

12、杂的起因和扩散机 理且具有一定的偶然性，但是电力系统连锁故障的整体规律仍然是可以观测并 利用的。国内外学者应用复杂性理论对电力系统进行分析取得了一些进展，通 过对中国和美国电力系统大停电事故进行统计，学者们发现大停电的规模与频 率之间满足幂率关系，这种关系被认为是自组织临界特性的数学表征。国内外 学者提出了一些能描述电力系统自组织临界性的模型，例如:沙堆模型、直流潮 流模型、最优潮流方法(OPA)模型、Cascade模型。在这些模型的仿真中发现， 连锁故障发生的概率与负载率、故障转移量及负载的均匀程度有关。对连锁故 障的模拟主要目的是把握其整体规律，研究并找到控制手段。沙堆模型是连锁 故障的简

13、化模型，能反映连锁故障的规律及控制措施对系统的影响。抑制连锁 故障的主要手段有减少危险结构的产生、阻断故障传播路径和减少故障传递 量。在沙堆模型上加入这些控制思想进行仿真，能为找到正确的控制手段提供 支持。沙堆发生崩塌的规模与频率之间满足幂率关系，电力系统中故障时负荷损 失量与频率之间也满足幂率关系，这2个参数在双对数坐标下呈现一条直线：lgy=a-blgx式中:y为事故发生频率;x为事故发生规模;a和b为系数，且为常数。电力系统中的连锁故障与沙堆崩塌相似，一个元件的故障能引发一系列元 件的故障。从自组织临界性的角度来看，电力系统中的元件负载总是随着用户 负荷的增加而增加，增多的负载增加了系统

14、发生大型事故的可能性。另一方 面，对停电事故电网的改进减少了系统发生大型事故的可能，例如电网调度运 行时增加备用、电网设计中增加输电线路和电厂。这2方面驱使电力系统在经济 性与安全性之间达到一个动态的平衡，这就使电力系统长期运行在临界态下或 者接近临界态。因此，电力系统的故障规模与频率在长程时间下表现出幂率规 律。在水华暴发水污染中的应用水华暴发，即所谓“藻类疯长反映出藻类生长/消亡行为与营养物浓度、水 文情势和气候条件等因素相互促进、相互约束和相互反馈的复杂过程，其动力 学行为通常采用非线性方程描述。当污染水域处于临界状态时，外界的细微扰 动，诸如营养盐浓度、流速、温度和气候等因素的轻微波动

15、都可能放大而导致 不同规模的水华暴发，其表现为藻类突然大量摄人氮磷等营养物而引发藻类大 面积增殖。水华暴发在表观上是一种典型的水体富营养化污染现象，实质上是 一种非线性耗散动力学行为.目前有关水华暴发的研究大多以微分方程为主要 分析工具，以水动力学三维数值计算结合水体生物动力学模型来模拟和解释水 华现象。这种方法有一定适用性，但参数值较多、求解较为繁琐且通常难以揭 示水华暴发的内在本质和复杂性规律.自组织临界性（self . Organizedcriticality，简称SOC）理论是非线性系统 科学的分支，为解释表观无序的非线复杂系统行为和特征提供了新思路.SOC 系统中包含着众多发生短程相

16、互作用的组元，并自发地朝着某种临界状态演 化，然后在临界态附近自行涨落.在该临界状态下小事件引起的连锁反应能对 系统中大量的组元产生影响，从而导致大规模事件发生.描述系统SOC性质的 典型范例是着名的沙堆模型（sandpileModel，简称sM） . sM可看成是一个具有 局部相互作用和广延自由度的耗散动力系统.沙堆在生长/崩塌过程中以统计 方式表现系统自组织临界性的基本特征，但重要的是它与自然界中诸多具有自 组织临界性行为的现象存在明显的对映、相似甚至一致的关联性.SM具有广泛 的普适性，能够应用并推广到复杂的SOC系统，这就为从宏观上研究富营养污 染流域的水华演变（沙堆形成）、持续（临界

17、状态）、水华爆发（沙堆崩塌）、水华 消退（沙堆重构）和分布（局部耗散）本质提供了理论依据. sM是目前研究多变量 协同作用和自组织临界性的强非线性动力学系统全局性问题（恰好可对应于富营 养化通向水华状态时如何演化、如何暴发与如何消退全过程的关键问题）最成功 的方法之一.其实现方式是通过构建数值sM,以非线性关联迭代算法来表征演 化过程，实质上是借助于沙堆崩塌的概念来描述富营养水体中氮磷向水华形态 转移的耗散过程以及水华暴发的自组织临界性.而藻类大量摄入氮磷的生长过 程又可为SM解释流域水华暴发现象提供必要的生物化学细节，这就在微观层次 上将sM与水华暴发联系起来。结语沙堆模型的应用非常广范，它是描述自组织临界性原理的一个很好的模 型，而自组织临界性又与许多工程实际问题相关，故它在生态、物理、地理、 气候等方面有很大的应用。参考文献贺庆,郭剑波.基于沙堆模型的控制规则J,2009