高中数学解题基本方法二换元法

1、【高中数学解题基本方法】二、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化， 这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换 研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、 变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来， 隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和 推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究 方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

2、换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知 或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x+2x-20,先变形为设 2x = t (t0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y= JX + JTX的值域时，易发现xC 0,1,设x=sin 2 a , a 0,-,问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中 主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。 如变量

3、x、y适合条件x 2 + y 2 = r 2 (r0 )时，则可作三角代换 x= rcos 0、y = rsin。化为三角问题。均值换元，如遇到 x+ y= S形式时，设x= +1, y = t等等。22我们使用换元法时， 要遵循有利于运算、 有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t0和a C 0,金。I、再现性题组：.y = sinx - cosx + sinx+cosx 的最大值是 。.设 f(x 2 + 1) = log a(4x4)(a1),则 f(x)的值域是 。.已知数列an中，a1 = -1,

4、an1-an=an1-an,则数列通项 a n =。.设实数x、y满足x 2 + 2xy 1 = 0,则x+ y的取值范围是 。3 x . . .万程=3的解是。3x.不等式 log2(2x1) - log 2(2 x 1 - 2)2 的解集是 。【简解】1小题：设sinx+cosx =t -标，则y= H +t 对称轴t = 1, 22八1八当 t = 42 , ymax = 2 + V2 ；2小题:设 x2 + 1 = t (t 1),则 f(t) =log a-(t-1)2+4,所以值域为(一8 ,log a4；3小题:已知变形为 -L = 1，设 bn =，则 b1 = 1,bn=1

5、+ (n 1)(-1)a n 1 anan一n,1所以an = -； n4小题:x+y=k,则 x2-2kx+ 1= 0, = 4k2 40,所以 k1 或 kw1；5小题:3 x = y,则 3y 2 + 2y 1 = 0,解得 y =,所以 x = 1;36小题:log 2(2 x 1) = y,贝U y(y + 1)2 ,解得一2y1,所以 xC (log 2 - ,log 23)。4n、示范性题组:例1.实数x、y满足4x2 5xy + 4y 2 = 5(式)max1+Smin的值。（93年全国高中数学联赛题）由 S= x 2 + y 2 联想到 cos 2 a + sin 2=1,于

6、是进行三角换元，设、S cosS sina代入式求Smax SminOC【解】设7s cos a ,、一 一 一.代入式得： 4S 5S - sin a cos a = 5 sin a解得s =108 5sin2 a -1 & sin2 a 1.1 3 w 8 5sin2 a w 13101010 138 5sin311一 十maxSmin TOC o 1-5 h z 31316=-i-= HYPERLINK l bookmark29 o Current Document 10 10108S 10, e, ,此种解法后面求 S取大值和取小值，还可由sin2 a =的有界性而求，即解不等S8S

7、10、，、，,，式：| -一 | 1o这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。【另解】 由$= x2+y2,设 x2=S+t, y2 = -1 , t -, TOC o 1-5 h z 2222则 xy=jpt2 代入式得：4s土 512 =5,移项平方整理得100t 2+39S2 160S+100=0 。101039S 2-160S+ 100 0 解得： 一 wsw + = + =一SmaxSmin1010105【注】此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S= x2 + y2与三角公式cos 2=ab,代入式整理得 3a2 + 13b2 = 5 ，

8、求得a2 C 0,5,所以3S= (a b) + (a + b)/az + b3+型 a2。 131310,10,再求13 3SJ maxSmin的值。例2. ABC的三个内角1A、B、C 满足：A+ C= 2B, +cos A1cosC五求cosBa + sin 2 a = 1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S=x2+y2而按照均值换元的思路,设x2=S+t、y2 = S-t ,减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的 22几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。和“均值换元法”类似，我们还有一种换元

9、法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x= a+b, y= a-b,这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x=a+b, ycos 的值。（96年全国理）2由已知 A+ C= 2B”和“角形内角和等于180的性质，可得A C 120_ _ oB=60;由“A+ C= 120。”进行均值换元，则设_ _ oA= 60oC= 60a,再代入可 0C求 cos a 即 cosA C 120【解】由 ABC中已知A+ C= 2B,可得B=60由 A+ 0=120 ,A=600=60，代入已知等式得:cos AcosCcos(60 )+ cos(601 cos2、，3 .sin21一 cos

10、 2、.3sin 21 -cos4cos3 . 2-sin4cos2cos解得:COS a =,22即:cos2【另解】由A+ C= 2B,彳# A+ C= 120,B= 60。所以-2.2,1FcosAcosCcosB=2 v2 ,设 =_2 + m) cosAcosCv2 m ,所以cosA=1- , cosC=一 2 m、2一,两式分别相加、相减得: mcosA + cosC= 2coscos2=cos22.2m2 2cosA cosC= 2sinA C . sin2=.3 sin2mm2 2门口 A C即：sin 22m .3(m2代入sin+ cos 2 = 1 整理2得：3m4 1

11、6m- 12 = 0,解出代入cos【注】 本题两种解法由“ A+ C= 120 ”值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算, 对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，,口。1C= 2B,彳导 A+C= 120 , B= 60 。所以 十cosAcosC = - 2。2 cosAcosC,和积互化得:1十cosA- =-20,求 f(x) = 2a(sinx + cosx) sinx设 sinx + cosx = t，贝U t - J2 , j2 ,由(sinx +cosx) 2 = 1 + 2sinx - cosx 得：sinxt2 1cosx =2 f(x) =g(t)

12、=- 1(t -2a) 2 + 1 (a0) , tC- 72,夜221t = - J2 时，取取小值：- 2a - 2 V2 a一 一21当 2a 42 时，t = N2,取最大值：2a2+ 2 J2 a;21当02a0aa 14a恒成立，求a的取值范围。(87年全国理)2a2 a【分析】不等式中log 2 4(1)、log a(a 1)2 .-、log 2 (一二 三项有何联系？进行对12 4a2数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。、几 2a ntt 4(a 1)8(a 1)设 log _= t，则 log _ = log _2 a 12 a2 2a3 + log 9 = 3 2 2a

13、log 2 -a- = 3-1, log 2 (a-1)- = 2log 2 -1 = - 2t , a 14a2a代入后原不等式简化为(3- t) x 2 + 2tx 2t0 ,它对一切实数 x恒成立，所以:3 t 024t2 8t(3 t)t0 即 log 2 2a 0a 10 -2a- 1,解得 0a/3 或 土 。 3【注】第一种解法由sin 0”上而进行等量代换,y进行换元，减少了变量的个数。第二种解法将已知变形为x siny cos 0,不难发现进行结果为tg 0 ,再进行换元和变形。两16【分析】由已知条件(x 1)29(y 1)2,+ = 1,可以发现它与16a2+b2 = 1

14、有相似之处,种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。(x 1)2(y 1)2例6.头数x、y满足1=1,右x + y k0恒成立，求 k的氾围。于是实施三角换元。【解】由(x 1)29(y 1)216=1,设cose,3x即：y1 3 cos 01 4 sin 0代入不等式x + y k0得:3cos 0 + 4sin 0 k0,即 k3cos 0 + 4sin 0 = 5sin(所以k0 (a0)所表示的区域为直线 ax+by+c= 0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上 x+yk0的区域。即当直

15、线 x+y-k=0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭22、工316(x 1)2 9(y 1)2 圆相切时，万程组x y k 0144 ，一 一， 一有相等的一组实数解， 消兀后由4= 0可求得k=- 3,所以k0),则 f(4)的值为。A. 2lg2 B.1 lg2 C. 2 lg2 D. 2 lg4333.函数y=(x+ 1) 4 + 2的单调增区间是。A.-2,+ 8) B. -1,+8) D. (- OO,+ 8) C. (-00,-1.设等差数列an的公差d=1,且S100 = 145,则a1+a3+a5+ a99的值为2A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5. 已知 x2 + 4y2 = 4x,贝U