泛函分析题14线性赋范空间答案

1、泛函分析题1_4线性赋范空间p391.4.1在2维空间口2中，对每一点z = (x, y),令II z ll1 = I x I + I y I； II z 112 = (x 2 + y 2)1/2； II z 113 = max(l x I, lyl); II z 114 = (x 4 + y 4)1/4；求证II II. (i = 1, 2, 3, 4 )都是口2 的范数. 画出(口2, II II.) (i = 1, 2, 3, 4 )各空间中单位球面图形.在口2中取定三点O = (0,0), 4 = (1, 0), B = (0, 1).试在上述四种不同的范数 下求出AOAB三边的长度.

2、证明：(1)正定性和齐次性都是明显的，我们只证明三角不等式.设z = (x, y), w = (u, v)eD2, s = z + w = (x + u, y + v ),II z II + II w I. = (I x I + I y I) + (I u I + I v I) = (I x I + I u I) + (I y I + I v I)I x + u I + I y + v I = II z + w I.(II z ll2 + II w ll2 )2 = ( ( x 2 + y 2)1/2 + ( u 2+ v 2 )1/2 )2=(x 2 + y 2) + ( u2+ v 2)

3、+ 2(x 2 + y 2)( u2+ v 2)1/2(x 2+ u2) + (y 2+ v 2) + 2(x u + y v )=(x + u )2 + (y + v )2 = ( II z + w ll2 )2.故II z ll2 + II w ll2 II z + w II2.II z II3 + II w II3 = max(l x I, I y I) + max(l u I, I v I)max(l x I + I u I, I y I + I v I) max(l x + u I, I y + v I) = II z + w II3.II ll4我没辙了，没找到简单的办法验证，权且

4、用我们以前学的Minkowski不等式 (离散的情况，用Holder不等式的离散情况来证明)，可直接得到.不画图了，大家自己画吧.OA = (1, 0)，OB = (0, 1)，AB = (- 1, 1)，直接计算它们的范数：II OA I.=1，II OBI.=1，II ABI.= 2；II OA II2=1，II OBll2=1，II ABll2= 21/2；II OA II3=1，II OBll3=1，II ABII3= 1；II OA ll4=1，II OBll4=1，II ABll4= 21/4.1.4.2设c0, 1表示(0,1上连续且有界的函数x。)全体.Vxec0, 1，令II

5、 x II = supl x(t) I I 0 t 1.求证:II Il是c0, 1空间上的范数.(2) l与c0, 1的一个子空间是等距同构的.证明：(1)正定性和齐次性都是明显的，我们只证明三角不等式.II x II = supl x(t) I I 0 t 1.II x II + II y II = supl x(t) I I 0 t 1 + supl y(t) I I 0 t 1supl x(t) + y(t) I 0 t 1 I f (ak) I = sup0 t q(x +y)，Vx,yeX；则函数h = (p2 + q2)1/2也满足三角不等式.事实上，Vx, yeX，由Minko

6、wski不等式，我们有 h(x) + h(y) = (p(x)2 + q(x)2 )1/2 + (p(y)2 + q(y)2 )1/2 (p(x)+ p(y)2 + ( q(x) + q(y)2 )1/2 (p(x + y)2 + q(x + y)2 )1/2= h(x + y).回到本题：若令 p( f)=们 bI f(x) I2 dx )1/2, q( f) = (L bIf(x) I2 dx )1/2，则 a, ba, b(P( f) + P( g )2 =(JIf(x)I2dx )1/2 +(JIg(x)I2dx)1/2)2 TOC o 1-5 h z IPl/ipig/Jg广La/广

7、a, 广=Ja, b If(x) I2 dx + 2(L, b If(x) I2 dx 广.(Ja, b I g(x)I2 dx )1/2 + Ja, b顷x) I2 dxI g(x)I2 dx Ja b If(x)I2 dx + 2 Ja b If(x) I I g(x)I dx + (a bLa,La,La,=Ja, b( I f(x) I + I g(x)I )2 dx Ja, b ( I f(x) + g(x)I )2 dx = (P( f + g )2. 所以有 P( f ) + P( g ) P( f + g ).特别地，p( f) +p( g) p( f+ g)，即 q(f) +

8、 q( g) q(f + g ).因此，线性空间C1a, b上的非负实值函数p, q都满足三角不等式.根据开始证明的结论，II II1也满足三角不等式.所以，II II1是C1a, b上的范数.在 C1 - 1, 1中，令(x) = (x2 + 1/n2 )2 ( Vxe- 1, 1).则 fn(x) = 2x (x2 + 1/n2 )-1/2 ( Vxe- 1, 1).显然，(x)几乎处处收敛于I x I，fn(x)几乎处处收敛于2sign( x ).因此，(x)依测度收敛于I x I，fW 依测度收敛于2sign( x ).则 f“(x) = 2x (x2 + 1/n2 )-1/2 ( V

9、xg- 1, 1).显然，(x)几乎处处收敛于I x I，fn(x)几乎处处收敛于2sign( x ).因此，/(x)依测度收敛于I x I，f，&依测度收敛于2sign( x ).故在乙2- 1, 1中，f (x) t I x I，f (x) T 2sign( x).因此，它们都是L2- 1, 1中的基本列，故J_ 1, 1 I fn(x) - fm(x) I2 dx T 0 (m, n T 8)；桓 1Ifn(x) -fm，(x) I2dx T 0 (m, n T8).故II fn - fm II1 = (J- 1 1 ( I fn(x)-八 I2 + I f ；3)-八 3 I2 ) d

10、x )1/2 T 0 (m, n T 8). 即 fn 是C1- 1, 1中的基本列.下面我们证明 fn 不是。-1, 1中的收敛列.若不然，设f 在d 1, 1中的收敛于fc1-1, 1.因 II fn - f L = d_ 】,】(I fn(x) - fx) |2 + I f - f(x) |2) dx )1/2 (fr- 1 1 I fn(x) - f(x) I2 dx )1/2,故在L2- 1, 1中，(x) Tf.而在前面已说明L2- 1, 1中，fn(x) T I x I；由L2-1, 1中极限的唯一性以及f的连续性，知fx) = I x I.这样就得到fC1-1, 1，矛盾.所以

11、，f 不是C1- 1, 1中的收敛列.这说明C1-1, 1不是完备的.对一般的 C1a, b，只要令f (x) = (x - (a + b )/2)2 + 1/n2 )1/2 ( Vxea, b)就可以做 同样的讨论，就可以证明C1a,b不是完备空间.1.4.4 在 C0, 1中，对每个fC0, 1，令II f II1 = (J0 眉 If(x) I2 dx )1/2, IIf II2= (f0 1 ( 1 + x) I f(x) I2 dx 求证：II - II1和II II2是C0, 1中的两个等价范数.证明：(1)在习题1.4.3的证明中已经包含了II1是C0, 1中的范数的证明.下面我

12、们证明II II2是C0, 1中的范数，我们仍然只要验证三角不等式.II f II2 + II g II2= d0, 1 ( 1 + x) I f(x) I2 dx )1/2 + (f0, 1 ( 1 + x) I g(x) I2 dx )1/2=II (1 + x)1/2 f(x) II + II (1 + x)1/2 g(x) IIII (1 + x)1/2 f(x) + (1 + x)1/2 g(x) II1=II (1 + x)1/2 (f(x) + g(x) II1(f0 1 (1 + x) I f(x) + g(x) I2 dx )1/2 = II f + g II2.所以，II

13、II2也是C0, 1中的范数.(2)我们来证明两个范数的等价性.VfeC0, 1II f II产(L nI f(x) I2 dx )1/2 (L n ( 1 + x) I f(x) I2 dx )1/2= II f II， 10 10 12l_u，l_u，II f II2= (0 1( 1 + x) If(x) I2 dx )1/2 0，定义 II f IIa = （J0 8）e-ax I f（x） I2 dx ）1/2.求证IIIIa是BC0, 8）上的范数. 若a, b 0，a丰b，求证IIIIa 与II IIb作为BC0, 8）上的范数是不等价的.证明：（1）依然只验证三角不等式.II

14、f IIa + II g IIa = (J0,8)e-ax I f(x) I2 dx )1/2 + (J0,8)e-ax I g(x) I2 dx )1/2 =II e -ax/2 f(x) IIL2 + II e -ax/2 g(x) IIL2 II e -ax/2 f(x) + e -ax/2 g(x) IIL2=II eF2 (f(x) + g(x) IIL2=II f + g II所以IIIIa是BC0, 8）上的范数.（2）设（x）为n, +8）上的特征函数.则 f eBC0, 8)，且fn 卜(J0, 8) e * I fn(x) I2 E=站叫e -axdx )1/2 = (1/

15、a) e -an)1/2.=(L 0 8)eax I f(x) + g(x) I2 dx )1/2 u, 8)同理，|八 b = (1/b)e -bn)1/2.故若a b，则II f II /II f II广(b/a)1/2 e -(b - a)n/2 + (nT+s). 因此ai IIn与II IIb作为BC0, 8)上的范数是不等价的.1.4.6设X, X2是两个B*空间，x1eX1和x2eX2的序对(,x2)全体构成空间X = XXX2，并赋予范数II x II = max II x1 I., II x2 II2 , 其中 X =(x1, x2),x1eX1，x2e X2,II - II

16、1 和II II2分别是 X1 和X2的范数.求证：如果X1, X2是B空间，那么X也是B空间. 证明：(1)先验证II II的三角不等式. 设 x = (x1, x2), (y1, y2)eXXX2，则 IIX + y II = II (x1 + y1, x2 + y2) II = max II x1 + y1 II1, II x2 + y2II2 II x (n) , _L_L_LAAA_L故X1(n)是X1中的基本列，同理，X2(n)是X2中的基本列.因X1, X2是B空间，故X1(n) 和任分别是X1, X2中的收敛列. 设 x1(n) T x1 e X1，x2(n) T x2 e X

17、2，令 x = (x1, x2).贝UII x(n) x II = max II x1(n) x1 II1, II x2(n) x2 II2 II X1(n) X1 II + II X2(n) X2 II2 T 0 (n T8). 所以，II x(n) x IIt 0 (n Ts).即 X(n)为X = X1XX2中的收敛列. 所以X = X1xX2也是B空间.1.4.7设X是B*空间.求证：X是B空间，必须且只须对Vx c X， E 1 II x II 1 x 收敛. 证明：(n) VX：U X，记 Sn = E1 j n Xj，Bn = j 则 H Sn + 广 Sn I = H E1 j

18、 “+/-二j “ =II En +1 j n + pXj 11En +1 j n + p II Xj =Bn + Bn T 0， (n Ts).故 S：为X中的Cauchy列.由X完备，故 Sn为X中的收敛列，即En 1 xn收敛.(u)反证法.若&)不完备，设(匕d)为(X, P)的一个完备化. 不妨设(X,p)是(匕d)的子空间，则存在yeKX.因 cl( X)=匕故Vne +，存在 xneX，使得 d(x“, y) 1/2. 则P (% xrn)= d(xn, xrn)- d(xn, y) + d(xm, y) J 1/2n+ 1/2m T 0， 因此xn是X中的Cauchy列，但不是

19、收敛列.令 z = x - x , S =z.；则 z , S eX.nn+1n n 1 j n jn n因11 Zn11= 11 xn+1 - xn = P (%+1，-d(x“+1，)+ d(x“+1，)- 1/2+1/2 1/2“ -1，故二1 II Zn II +8.而 S = Zvy Z = v y ( xq x* ) = x 1 xA ； n 1 / n /1 / n j+1 jn+11故亳1 Zn在中不收敛.矛盾.1.4.8记&M上次数不超过n的多项式全体为Dn.求证：f(x)eCa, b，存在P0(x)eDn，使得 maxa -x-b |f(x) - P0(x) | = min

20、 max a-x-b |f(x)-尸 | | PeDn .证明：注意到“是8*空间Ca, b中的n+1维子空间.1, x, x2,.,尤“是口“中的一个向量组，把它看成Ca, b中的一个有限向量组. 根据定理p35, 1.4.23，对任意Vfx)eCa, b，存在最佳逼近系数人0,人,.,勺， 使得|fx) - E0Mj-n %xj | = min | f(x) - E0 0).证明：(n)设范数是严格凸的，若x, y卫0满足| x + y| = | x | + | y |， 事实上，我们总有| (x/| x |) | = | (y/| y |) | = 1.因 x, y 0，故| x | +

21、 | y | 0，所以| x + y | 0.于是| x |/| x + y | + | y |/| x + y | = 1.假若 x/| x | 丰 y/| y |，由严格凸性，得到| (| x |/| x + y |)(x/| x |) + (| y |/| x + y |)(y/| y |) | 1， 即| (x + y )/| x + y |) | 0).下面证明范数是严格凸的.设 x 丰 y，且| x | = | y | = 1，又设以，pe(0, 1)，且以 + p = 1.我们知道II 以 X + P 刃1 0.那么，就有II 以 x II = II c (P y) II,而II

22、 x II = II y II = 1,所以以=c P；故x = y,这就与X丰y相矛盾.所以必然有II以X + P y II 1,即范数是严格凸的.1.4.11设X是线性赋范空间，函数中:X T小称为凸的，如果不等式中(人 X + (1 人)y ) 人中(X) + (1 人帅(y ) ( V 0 X 1) 成立.求证凸函数的局部极小值必然是全空间的最小值.证明：设x0是凸函数中的一个局部极小点.如果存在xeX,使得中(x ) 中(x0),则V t e(0, 1),中(t X + (1 t ) X0) t 中(X ) + (1 t 帅(X0) t 中(X0) + (1 t 帅(X0)=中(X0

23、 ). 而对x0的任意邻域U,都存在te(0, 1),使得tx + (1 t) x0eU.这就与x0是局部极小点相矛盾.因此VxeX,都有中(x0) 中(x )，即x0是中的最小点.1.4.12设(X, II - II)是一线性赋范空间，M是X的有限维子空间，q, q,，身是 M 的一组基，给定 geX,引进函数 F : .n T 1.对Vc = (c1, c2, ., c“)e.n,规 定F(c) = F(c1, c2, ., cn) = II E1 .占 e. g II.(1)求证F是一个凸函数； 若F的最小值点是c = (c1, c2, ., c),求证/= E1 . c.e.给出g在M

24、中的最 佳逼近元.“证明：(1)设 c = (c1, c2, ., cn), d = (d1, d2, ., dn)e.n, Xe0, 1,则 FQ c + ( 1一人)d) = II 二 .n ( X c. + ( 1一人)d.) e. g II=以二 . nc.e. + ( 1 -X )二 . ny-Q g + ( 1 -X )g )H=II X (二 . nc. ez- g) + ( 1 -X )(二 . ndi ei - g ) IIX II 二 . nci ei - g II + ( 1 -X ) II 二 . ndi ei - g II=X F(c) + ( 1 X )F(d),故

25、F是一个凸函数. 因为e,e2, .,en是M的一组基，故M中的每个元h都可表示为h = E1 . ndiei，其中d = (d1,必,妇en 因为 F(c) F(d),故II f g II = F(c) F(d) = II h g II.那么f就是g在M中的最佳逼近元.1.4.13设X是8*空间，X0是X的线性子空间，假定3ce(0, 1)使得Vye X,有 inf II y -x II I x e X0 0,3x1 e X0, s.t. II y -x1 II c II y II + 4.3x2e X0, s.t. II (y -x1) -x2 II c II y -x1 II + 8.3

26、x3e X0,词(y-xi-x2)-x3 II c IIy-尤广措 + 16. 如此下去，可得到一个x0中的点列x“,满足II y - E1 Mj M n +1 Xj C II y - E1 M jV nXj + + 2 的F 那么，我们可以用数学归纳法证明y -二 M j M nXj II C n H yH + 8(S1 M j M n + 1) 当 n = 1 时，II y-x1 II c II y II + 8/4.结论成立. 当 n = 2 时，II (y - x1) - x2 II c II y - x1 II + 8/8c (c II y II + 8 /4) + 8/8 3 时，

27、若 IIy - E1 . x. II c n II y II + 8 (E1 M . 1/2/ + 1)成立， 则y - M j M n +1 Xj II cTy - W M j M “甲 + 8/2n + 2c (c n II y II + 8 (E1 MjM n1 + 1) + 8 /2n + 2c n+1 II y II + 8 (E1 勺Jnn1/2j + 1) + 8 /2n + 2c n+1 II y II + 8 (E1 M j M：+ 11/刀 + 1)，因此结论也成立.由数学归纳法原理，Vne.+，II y - E1 MjMnxj II c n II y II + 8 (E1

28、 MjMn 1/2/ + 1).因为 ce(0, 1)，故存在 Ne.+，使得 c n II y II 8/2.令 x = E1 mjmNxj，则 xe X0. 且II y -x II 8 /2 + 8 (E1 MjMN1/2/ + 1) c. 故对此 yeX，有 inf II y -x II I x e X0 c II y II，矛盾.1.4.14设C0表示以0为极限的实数全体，并在C0中赋以范数II x II = max n1I & I， (Vx = (, &,.,质.)eC0).又设M = x = (&1, &,.,质.)eC0 I E n1 小=0. 求证：M是C0的闭线性子空间. 设

29、 x0 = (2, 0, 0,.)，求证：inf M II x0 - z II = 1，但VyeM，有II x0 -y II 1. 证明：(1)显然M卫0，容易直接验证M是C0的线性子空间.若 xk =(京),&*, ., &/), .)为 M 中的点列，且 xk T x = (, &, ., &n, .)eC0.则V8 0，存在 Ne.+，使得Vk N，II xk x II 11 &n(k)I = II xk-x II 1 / I = I E n 1(秋I ME n g-秋I/2n ME n 1 8/2n = &所以，E n1&/2n = 0，即 x = (% &2, ., &, .)eM.

30、所以M是C0的闭线性子空间. x0 = (2, 0, 0, .)，Vz = (, &2,&n, .)eM，x0 - z II = maxI 2 - &1I, I &2I,I &3I,.如果I 2 -I 1，则II x0 - z II 1.如果I 2-1 1,我们断言I &I，I顷,中至少有一个大于1者. 否则，假若它们都不超1,因为&T 0 (n T8)，故它们不能全为1.由 n 1 沪=0 知1 孕2 = I S n 2沪 I n 2I 2= 1/2，这样得到I I 1.综上所述，但VyM,有II扃-y II 1.由此，立即知道inf z e M II x0 - z II 1.下面证明inf

31、 z M II房-z II inf “II x0 - zn II = inf n (1 + 1/2“) = 1.所以，inf z e M II x0 -z II =1. n n1.4.15设X是8*空间，M是X的有限维真子空间，求证：3yeX，II y II = 1，使 得II y - x II 1 ( Vx e M).证明：取定 zeXM，令 Y = spanz + M.记 S = yeY I II y II = 1 .则M是Y的真闭子空间，而S是Y中的单位球面.由 Riesz 引理，Vne.+，存在 yneS，使得 d( yn, M) 1 - 1/n.因为Y也是有限维的，故其中的单位球面为

32、自列紧集.存在yn的收敛子列.不妨设yn)T yeS. 则 d( y；k), M) 1 - 1/n(k)，故有 d( y, M) 1. 艮PII y - x II 1 ( Vx e M).1.4.16若f是定义在区间0,1上的复值函数，定义% (f) = supIf (x)-f (y) I I Vx, ye0, 1, I x-y I 罚.如果0以 05 - a% ( f) +8 的一切f组成，并且以II f II为模.又设lipa = feLipa I lim 0 5 - a% (f ) = 0.求证Lipa是 B空间，而且lipa是 Lipa的闭子空间.证明：(1)显然，C10, 1cLip

33、a，因此 Lipa不空.对区间0,1上的复值函数f, g，VXeU，我们有%(f + g ) = supI f (x) + g (x) -f (y) - g (y) I I Vx, ye0, 1, I x-y I 5 supI f (x) -f (y) I + I g (x) - g (y) I I Vx, ye0, 1, I x-y I 5 %(f) + %( g ).%(人f) = supI 人f (x)-人f (y) I I Vx, ye0, 1, I x-y I 5 =以 I supI f (x) -f (y) I I Vx, ye0, 1, I x-y I 0S-a吐(f + g )

34、 If(0) I + I g(0) I + supg 0S-(f) + %(g ) =I f(0) I + I g(0) I + sup 5 05 - a吐(f) + 5 - a吐(g ) I f(0) I + I g(0) I + sup 5 05 - a% (f) + sup 5 0 5-a% ( g ) =II f II + II g II 05 - a% (人 f )=以 I - If(0) I + I X I - sup5 05-g5(f)=IX I - II f II 0.当| f II = 0 时，顷0) I + sup 5 0 5 -a%(f) = 0, 意味着 f(0) =

35、0,且 (f) = 0 (V5 0).而 (f) = 0 (V5 0)则意味着f为常值.所以，f = 0.即II II有正定性.综上所述，Lipa是矿空间. 我们首先证明集合Lipac C0, 1.Vf eLipa，Vx, ye0, 1，x y，记5 = I x - y I.则 f (x) -f (y) I %(f).而5-a吐(f ) 05 - a% ( fn - fm ) II f II，所以，I f (x) - f (y) I II f II 5 a = II f II I x - y I a，故 f eC0, 1.我们再证明，Vf eLipa，II f IIc II f II，其中II

36、 IIc 是 C0, 1范数.f = maxxeg 1 f (x) I I f (0) I + maXxeQ 1 f (x) -f (0) I事实上，Vxe0, 1，I f (x) I I f (0) I + I f (x) -f (0) I，故I f (0) I + supxe(0 1 I f (x) - f (0) I/I x IaI f (0) I + supxe(0，1 52%(f) 0 5 一俱 0 - f ) 1 0 3* T 8)，因此Ve 0，mNe.+，使得Vn, m N，有心0) - fm(0) I + sup 5 05 2% (fn - fm ) 05 - % (fn f

37、m) 0，% (fn - fm) 8 5 a.即Vx,ye0,1，lx-y I 5，都有I (fn(x) - fm(x) -03)- fm(y) I 8 5 a.令 m t 8,得到I 0(x) - f(x) - (y) - f(y) I 8 5a.因此，sup I (fn(x) - f(x) - (fn(y) - f(y) I I x, ye0, 1，I x - y I 5 0，%(fn -f) 05-a%(fn f) 8.同样地，对不等式I(0)-八(0) I 8令m T8，就得到I(0) - f(0) I 05 - a% (fn - f ) 2&这说明 fn -fLipa.而 fn eL

38、iPa,故 f = (f-fn) + fLipa.而前面的式子也表明II f - fn II 28.因此II fn -f II T 0 (n T8)，即fn 为Lipa中的收敛列.所以，Lipa是 Banach 空间. 记 lipa = f eLipa I lim 0 5 - a% (f) = 0 .Pf, gelipa, VXeU,我们有5-a% (f + g ) 0，存在 Ne.+，使得IIfNtf II 05-a%(fN-f) 0，使得V5e(0, )，有5-a叫(fN) 8 /2.此时我们有5-a%(f) 5-a(%(fN) + %(f-fN)=5 -以 ( fN)+ 5 -( f f

39、N) 05-a% (fN - f) 0.若x = 9 = x0,则II x II0 = 0.若II x II0 = 0,则 inf z日xII z II = 0.存在 zn x 使得II zn II t 0,即 zn t9 (n T8).那么，x“x0, x-wx(n j，而x0是闭集，故xex0.所以x9，即x = x0.因此II II0有正定性.Vx e x/x0，VXe.，II 人x II0 = II 人 x II0= inf 向 x II X 刃I = inf 向 x I 人 I II y II =I X Iinf x II y II = I X I II x II0. 因此II II

40、0有齐次性.II x + y II0 = inf ze x + y II z II = inf 妇 x , ve y +V inf 妇 x , W y H u H + E V inf 妇 % 岫口 y + 昨叮V x , y e x/x0， infJ infJ II u II + II v II = inf II u II + inf II v II wg x kvey kJ J uex kvey J=infII u II + inf II v II = II x II + II y II .uexveyl 0 l，0所以，(x/x0, II II0)是一个8*空间. 设x e x/x0,求证对VyW x 有 inf II y - z II I ze x0 = II x II0.因此II II0的三角不等式成立.证明：II x II0 = inf uex II u II = inf 妇y II u II = inf II u II I ue y + x0 =inf II y + v II I ve x0 = inf II y 一 z II I ze x0 .(4)定义映射中:x t x/x0 为中(x) = x = x + x0(V xe x).求证中是线性连续映射.证明：Vx,ye x， V以，0e.，中(以 x + p y )=以 x +