北京大学量子力学课件 第24讲

1、 第 二 十 四 讲 . 碱金属的双线结构 碱金属原子有一个价电子，它受到来自原子核和其他电子提供的屏蔽库仑场的作用。 所以，价电子的哈密顿量为 1 如选力学量完全集 （运动常数的完全集） 则 2 由于 3 可表为4 因 为吸引势（它为负值， ） 所以 即 。因此， 根据Hellmann-Feynman定理可证 5 能级 这即观测到纳光谱的双线结构。 . 两个自旋为 的粒子的自旋波函数，纠缠态 (1) 表象中两自旋为的粒子的自 旋波函数 设：两粒子的自旋分别为 ，显然，如 6选 表象，则可能的态为 (2) 表象中两自旋为 的粒子的自旋波函数 如令7 令 是 的本征态 8这时有 四个态 9 ，

2、被称为纠缠态。 纠缠态：体系的态矢量仅能表示为它的各部分态矢量乘积的叠加态 当两自旋为 的全同粒子，其相互作用对空间坐标和自旋变量是变量可分离时，则特解为10 但是，这并不是体系可处的状态。微观世界还有一重要规律，使体系波函数不可任意选择，这就是微观粒子的全同性问题。 (3) Bell基 若取 显然我们得11它们也都是纠缠态127.5 Einstein-Podolsky-Rosen佯谬和Bell不 等式 (1) Einstein-Podolsky-Rosen佯谬 爱因斯坦，帕多尔斯基和罗森认为：两个粒子构成一个量子力学态。对一个粒子的测量将直接得知另一个粒子的状态。例： 该态在动量表象中的表示

3、为13 爱因斯坦等认为，当测量第一个粒子的坐标， 测得值为 ，则第二个粒子的坐标必为 ；测量第二个粒子的动量，测得值为 ，那第一个粒子的动量必为 。所以， 14 都是物理实在（即都有确定值），且坐标和动量可同时具有确定值。 这与两个自旋为 的粒子处于自旋 的态是等价的。 考虑两个自旋为 的粒子处于自旋单态。在初始时，它们在一起，而后分开很大的距离，但仍处于自旋单态。一旦测量第一个粒子的自旋，那直接允许我们去推断第二个粒子的自旋，它始终与第一个粒子的自旋相反。15 量子力学否认这些假设，认为即使两个粒子离开很远，对第一个粒子的测量将影响第二个粒子的状态；另外，粒子本身并没有这种实在性（即粒子的所

4、有物理量都有确定值）。 （2） Bell Inqualities 两个自旋为 的粒子系统处于自旋单态16 这是一个纠缠态。显然，在这个态中，测 量第一个粒子（在 方向）得到某一结果，则 知道第二个粒子随之测量（在 方向）的结果。 现考虑对它们的自旋沿不同方向进行相继测量。第一个粒子沿 方向测量，第二个粒子沿 方向 测量。它们的测量结果都为 。 17 如 ， 方向相同，则平均值为 。 如 ， 方向相不同，这一相关联测量的平均值为 证： 不失一般性，假设 在 方向， 在 平面 18 令 与 轴间的夹角为 ，则19 A. 对两个处于自旋单态的粒子，在三个 不同方向测量它们的自旋。 根据定域隐变量理论

5、，它们的关联测量平 均值的关系为20这称为Bell不等式。 论证：令关联量 在定域隐变量理论中，对第一个粒子的测量将不影响第二个粒子的状态。每个粒子同时 有确定的自旋分量。因此，在这理论中，沿三个方向的自旋分量都有确定值。当然，重复的测量所得值可以是不同的。21 的平均值为于是有22所以， 而对这一关联测量平均值的关系，量子力学的预言为23 若在测量时，取 三个方向共面， 且 24 于是 实验结果与量子力学的预言符合。25 B. 对两个处于自旋单态的粒子，在四个不同方向测量它们的自旋。 根据定域隐变量理论，它们的关联测量平均值的关系为这为另一个Bell不等式。26 论证：根据定域隐变量理论，对

6、任一物理量的测量都有确定值，所以 由定域隐变量理论的假设，我们知 当 时，则 当 时，则 。 27 因此， 。于是 的平均值的绝对值满足不等式 而根据量子力学， 的平均值的绝对值应为28显然，当 共面，并取这时29这与定域隐变量理论所推得的不等式是不相符合的。 若取 共面，则有30 同样，实验的测量结果是与量子力学的预言符合。 实验证实了定域隐变量理论是不正确的。Einstein-Podolsky-Rosen的假设是不成立的317.6 全同粒子交换不变性波函数具有确定的 交换对称性 各种微观粒子有一定属性，具有一定质量、电荷、自旋，人们根据它的属性的不同分别称为电子，质子，介子， ， 等等。实

7、验证明每一种粒子，都是完全相同的（如两个氢原子中的质子或电子都一样）。经典物理中，我们能按轨道来区分同一类粒子。 但从量子力学的观点来看，情况就发生变化。它的描述不能用轨道概念，而只能用波函数或根32据一些力学量完全集来描述粒子所处状态。即 个粒子处于态 ； 个粒子处于态 或这些态的叠加态上。但它不可能告诉你，那一个粒子处于 态，那一个粒子处于态 。 如 是可能的二种态，对它进行测量是分不清两者的差别。它们每一个都不能用于对二个全同粒子的33描述。全同粒子交换是不可观测的。因此，有必要对全同粒子的描述进行讨论。 （1）交换不变性 设：氦原子的两个质子固定不动，那么描述 氦原子中的两个电子组成的

8、体系，其哈密顿量为 若 为粒子交换算符，将 ， 34则若 是交换不变，即则 35 所以， 是运动常数（若 是交换不变）或如此看，由于体系具有交换不变性，所以 时经交换后演化到 ，应等于演化到 再进行交换，即 由于 的任意性，所以 36 由于 任意 即 是运动常数。 若 是 的本征态，则 37 因此，有两种态，一种是交换下不变，称 为对称态；另一种是交换下改号，称为反对称态38显然 由于它是运动常数。因此，一开始，体系 处于置换对称态时，那以后任何时候都处于这态下。与其他运动常数有极大不同之点是：体系要么处于对称态，要么处于反对称态。这是粒子本身所固有的特性。而不是人们能够人为地 39给一个初条

9、件，让体系处于一个没有确定的置换对称性的状态下。 所以，下面一些结论是重要的： A.由于是一运动常数，因此一开始体系处于 某种交换对称态下，则以后任何时刻都处 于这态下； B. 与其他运动常数根本不同之处在于，体系 要么处对称态，要么处于反对称态。这是 粒子固有的属性，而不是人为地给初条 件所能改变的； 40 C. 实验表明：具有自旋为半整数的粒子体 系。当两粒子交换，波函数反号，即处于反对称态；而自旋为整数的粒子，两者交换，波函数不变，即处于对称态。 在统计物理学中，具有自旋为 的半整数的粒子作为单元构成的体系，遵守Fermi-Dirac统计（称为Fermion）。具有自旋为 的整数倍的粒子

10、作为单元构成的体系，遵守 Bose-Einstain统计（称为Boson）。 41 (2) 全同粒子的波函数结构，泡利原理： 忽略粒子间的相互作用，则全同粒子的哈氏量为单粒子哈氏量之和 显然，对任何一粒子，其哈氏量的形式完全相同42 单粒子的能量本征方程为 它的一个特解为 43 但它不能作为体系的态函数，因体系真正的态函数必须满足一定的交换对称性。 AN个费米子的波函数，泡利原理 由于费米子的波函数交换一对费米子是反对称的，因此，它可以如此来构成： 取 作为标准排列。 是经过某一置换 来实现44 由于对换（transposition）一对粒子，波函数改号。而对某一置换（Permutation）

11、它相应的对换数的奇偶性是一定的。因此，置换后的这一项的符号与标准排列项的符号差别取决于该置换的对换数的奇偶性。 如 45 所以有5个对换，其符号为负号。 对3个粒子：某一置换 即仅有一个对换，所以为负号。 设一个置换 对应的对换数为 ，则真 正的波函数应为 46这即行列式定义 47 例如：对N2 可以看出，任意两个粒子变换（即两列交换） 改号。若 与 态是完全相同的态，那 。这表明，对两个全同的费米子不能处于这种态中，于是我们有下面的原理：48 泡利原理（pauli exclusion principle）：在客观实际的体系中，没有两个或多个全同费米子可处于一个完全相同的单态中（或：全同费米子体系的态中，具有同样量子数的单态不大于1）。 对于 个粒子，有 项（有 个置换），而每一项，费米子处于这 个单态上的分布都是不同的，因此各项之间是正交的。49 所以，对于 个无相互作用的全同费米子体系的归一化反对称波函数为 B 个全同玻色子的波函数 由于玻色子波函数相对两全同玻色子对换是对称的，即不变号：50 由于玻色子不受泡利原理限制，因此处于同一单态上的玻色子可以是任意多个。 所以，如果态 中具有相同的 有 个；具有相同单态 有 个 具有相同单态 中的玻色子有 个。 51 于是上述置换虽具有 项，但有些项是相同的。 如 个态的 粒子进行置换，所得项是相同的，而这