2020年高考数学(文) 立体几何(解析版)

1、专题立体几何一、选择题（2018全国卷I）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O,O，过直线go?的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A.12、2nB.12nC.8、：2nD.10nB【解析】过直线qo2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2迈，底面圆的直径为2巨，所以该圆柱的表面积为2xkx（迈）2+2J2kx1J2=12兀.故选B.（2018全国卷I）某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A.2-.Y1B.2

2、*5C.3D.2B【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的圆柱，该圆柱的高为2,底面周长16.画出该圆柱的侧面展开图，如图所示，连接MN，则MS=2，SN=4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为7MS2+SN2=弋22+42=2/5.故选B.NSN图图3.（2018全国卷I）在长方体ABCD-ABCD中,1111AB=BC=2，AC与平面BBCC所成的角为30,则该长方体的体积为A.8B.6迈C.8迈D.曾C【解析】连接BC，因为AB丄平面BBCC，所以ZACB=30。，AB丄BC，所以AABC为直角三角形.又AB=2，所以BC=2打，又B1C1=2，所以BB=（2j3）2-22=2迈。故

3、该长方形的体积V=2X2X2迈=8迈4.（2018全国卷III）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是诩桃片向ABCD解析】由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的5.位置知选A（2018全国卷III）设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9运，则三棱锥D-ABC体积的最大值为A.12J3B.1纭3c.24、込D.54*3【解析】设等边三角形ABC的边长为x，

4、则x2sin60o=9、3，得x二6设AABC的外接圆半径为r，则2r=：，解得r二2、运，所以球心到AABC所在平面的距离sm60。d=严一（2；3）2=2，则点D到平面ABC的最大距离d=d+4=6，所以三棱锥DABC体积1的最大值V=；Sx6=x9汉x6=18.3.故选B.6.max3AABC3（2018浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：cm3）是T11侧视图俯视图A.2B.4c.6D.8C【解析】由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积B【解析】圆柱的轴截面如图，AC=1，AB=2所以圆柱底面半径r-BC=2，那么圆柱

5、的体积是俯视图V=!x(1+2)x2x2=6.故选C.27（2018北京）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为侧（左）视图正（主）视图A.1B.2C.3D.4C【解析】解法一将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥,如图所示，易知，BCAD,BC=1,AD=AB=PA=2,AB丄AD,PA丄平面ABCD，故APAD,/PAB为直角三角形，PA丄平面ABCD,BCu平面ABCD,PA丄BC，又BC丄AB，且PAIAB二ABC丄平面PAB，又PBu平面PAB.BC丄PBAPBC为直角三角形，容易求得PC=3CD二,PD=241，故APC

6、D不是直角三角形，故选C.解法二在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P-ABCD，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3,故选C.B8.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为D.V二兀r2h=兀x(9某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A60B30C20D10D【解析】借助立方体可知所求三棱锥为下图粗线部分该几何体的体积为V=3（2x3x5）x4=10.选D.10.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：削3）是正视图侧视图兀CB.-+3A【解析】该几何体是由一个高为3的圆锥的一半，和高为3的三棱

7、锥组成（如图）,其体积为：3（+选A11如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A.90kB.63兀C.42kD.36kB【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为1V=-n-32-6+n-32-4=63n，故选B.212.（2018全国卷II）在正方体ABCD-ABCD中,1111E为棱CC的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为A.辽2C【解析】如图，连接BE,因为ABCD，所以异面直线AE与CD所成角等于相交直线AE与AB所成的角，即ZEAB.不妨设正方体的

8、棱长为2,则CE=1，BC=2，由勾股定理得BE=、呂，又由AB丄平面BCCB，可得AB丄BE11所以tanZEAB=BEAB故选C.111（2018浙江）已知平面a，直线m,n满足m,nua，贝y“mn”是“ma”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A【解析】若ma,nua,mn，由线面平行的判定定理知ma.若ma,ma,nua不一定推出mn，直线m与n可能异面，故“mn”是“ma”的充分不必要条件.故选A.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是A【解析】由正方

9、体的线线关系，易知B、C、D中ABMQ，所以AB平面MNQ，只有A不满足15.在正方体ABCD-ABCD中，E为棱CD的中点，则1111A.AE丄DC11B.AE丄BD1C.AE丄BC11D.AE丄AC111C【解析】如图，连结AD，易知AD丄平面ADE，所以AD丄AE，又BCAD，所以BC丄平111面ADE，故AE丄BC，选C.111C1AB平面a过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，a平面CBD,a1平面ABCD二m,a1平面ABBA二n，则m,n所成角的正弦值为A.迢B.至C.总D.1233A【解析】因为过点A的平面与平面CBD平行，平面ABCD平面ABCD,所以mBDBD1111

10、1111又AB平面CBD，所以nAB，则BD与AB所成的角为所求角，所以m,n所成角的正弦值11111为W，选A.已知互相垂直的平面a,p交于直线I.若直线m,n满足ma,n丄B，则A.m丨B.mnC.n丄ID.minC【解析】选项A,只有当m卩或mu卩时，ml；选项B,只有当m丄卩时mn；选项C,由于lup，所以n丄l；选项D,只有当m卩或mu卩时，m丄n，故选C.18已知m,n是两条不同的直线，a，卩，丫是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若m/a,n/a，则m/nB.若a丄丫，卩丄丫，则a11卩C若m/a,n/a则a/卩D.若m丄n丄卩，且a丄p，则m丄n【答案】D【解析】若m/

11、a,n/a，则m/n或m与n异面或m与n相交，故选项A错误；若0丄丫,卩丄丫，则a与p可能相交，故选项B错误；若直线m,n不相交，则平面a,P不一定平行，故选项C错误；Qap,mm/p或mup，又n丄卩二m丄n，故选项D正确.本题正确选项：D19已知直线a,b,1，平面a,P，下列结论中正确的是（）A.若aua,bua,1丄a,1丄b，贝y1丄aB.若aua,b/a，贝yb/aC.若a丄卩,aua,则a丄pd.若a/p1a，则1丄p【答案】D【解析】解：A错，直线垂直平面内两条相交直线才垂直平面，缺少条件直线a,b相交;B错，平面外一条直线平行平面内一条直线才平行于平面，缺少条件bC错，两个平

12、面垂直，一个平面内的直线可能平行，相交，垂直于另外一个平面D对，直线垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另外一个平面.故选：D20.在三棱锥P-ABC中，PA二PB二PC=2弱，AB=AC二BC=，则三棱锥P-ABC外接球的体积是（）125n32nA.36nb.6C.3D.50n【答案】B【解析】由题意，易知三棱锥P-ABC是正三棱锥,取O为AABC外接圆的圆心，连结PO，则PO丄平面ABC，设为三棱锥P-ABC外接球的球心.“2羽1宀因为AB=AC=BC=2运，所以A=x=2迺22因为PA=PB=PC=245，所以P=JPA2-OA2=4设三棱锥P-ABC外接球的半径为R，则4-R匕+4=R

13、，解得*2，故三棱锥P-ABC外接球的nR3=体积是3125n6-.故选B.二、填空题21.（2018天津）如图，已知正方体ABCD-ABCD的棱长为1,则四棱锥A-BBDD的体积为1111111A11【解析】解法一连接AC，交BD于点E，则AE丄BD,AE丄BB，则AE丄平面BBDD3111111111111J2所以AE为四棱锥A-BBDD的高，且AE=，矩形BBDD的长和宽分别为,1故TOC o 1-5 h ziiii12i1121V=x1x*2x=A厂BBDD323解法二连接BD，则四棱锥A-BBDD分成两个三棱锥B-ADD和B-ABD1111111111V=V+VA1-BB1D1DB-

14、A1DD1B-A1B1D1=1x1x1x1x1+1x1x1x1x1=23222(2018江苏)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为4【解析】正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都3是*2，则该正八面体的体积为3x(*2)2x2=323.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA丄平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为36兀【解析】取SC的中点O，连接OA,OB，因为SA=AC,SB=BC，所以OA丄SC,OB丄SC因为平面SAC丄平面SBC，

15、所以OA丄平面SBC.设OA=rV=xSxOA=x丄x2rxrxr=r3所以r3=9nr=3A-SBC3ASBC3233所以球的表面积为4兀r2=36兀长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为14【解析】球的直径是长方体的体对角线，设球O的半径为R，所以2R=y32+22+1=冷：14,S二4nR2二14n.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积【解析】设正方体边长为a，则6a2二18na2二324279外接球直径为2R=3a=3,V=nR3=nx=n.3821由一个长方体和两个齐圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该

16、几何体的体积为俯视图兀2+-【解析】由三视图可知，长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1,所以nx12nV=2X1X1+2X1=2+2如图，在圆柱OO内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。记圆柱OO的体积为V，12121球0的体积为V2，则V的值是2|【解析】设球的半径为rV则1V2兀r2x2r32某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为俯视图其中正确的命题是(填写所有正确的序号)其中正确的命题是(填写所有正确的序号)22截面VCD，则VVCD面积的最大值是_；此时ZVCD=【解析】通过俯视图可知该四棱柱的底面为等腰梯形，则四棱柱的底面积s=（21=2

17、，通过侧视21rr3图可知四棱柱的高h=1，所以该四棱柱的体积V=Sh=-29.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的表面积是_cm2.体积是cm3.80；40【解析】由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体，S=6x22+2x42+4x2x4-2x2-=80,V=23+4x4x2=40表30.（2018全国卷II）已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30。,若ASAB的面积为8，则该圆锥的体积为_8兀【解析】由题意画出图形，如图,C设AC是底面圆O的直径，连接SO，则SO是圆锥的高，设圆锥的母线长为l则由SA丄SB，ASAB的面积为8,

18、得-12=8，得/=4，在RtAASO中，J3由题意知ZSAO=30。，所以SO=-/=2,AO=l=23故该圆锥的体积V=1兀xAO2xSO=1兀x（2*：3）2x2=8兀31如图，圆锥VO的母线长为1，轴截面以占的顶角ZAVB=150，则过此圆锥的项点作该圆锥的任意【答案】2_S二112sin150o=112【解析】设顶角ZCVD=a，则轴截面VAB的面积24截面VCD的面积为12.在三角形MB和三角形VCD中,CD-AB，所以a-1500.所以当11S=1212a=90时12，.因此截面面积的最大值是2，此时，因为VC=VD，所以11ZVCD=(180-90)=45122故答案为：2；4

19、5032如图，已知正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为2,E、F、G分别为AB,AD,BiCi的中点，给出下列命题：亘异面直线EF与AG所成的角的余弦值为6；过点E、F、G作正方体的截面,所得的截面的面积是4朽;AC丄i平面EFG三棱锥C-EFG的体积为1【答案】【解析】CD11的中点为点H,连接GH、AH,如图1所示，因为EFHGH，所以ZAGH就是异面直线EF与AG所成的角易知在VAGH中,6，正确；HD.$图1图2图3迈一2迈AG=AH=3,GH二迈，所以C0SZAGH=-矩形efgh即为过点e、F、G所得正方体的截面，如图2所示，易知EF二豆EGY，所以SEFG辽云=2朽，错误;分

20、别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立如图3所示直角坐标系，则A(2,0,2),E(2丄)uuuruuuruuurF(1,0,0),G(1,2,2)AC=(2,2,2),FE=(1,1,0),EG=(-1,1,2)，1，uuuruuuruuuruuur因为ACFE=0,ACEG=0，所以A1C丄EF,A1C丄EG，又EFu平面EFGEGu平面EFG且EFIEG=E，所以A1C丄平面EFG，故正确131S=4-x(1x1+1x2+1x2)=-V=-S-ICC=1VEFC22，G-ECF3VEFC1，正确故答案为：三、解答题33.(2018全国卷I)如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=

21、3，ZACM=90。，以AC为折痕将AACM折起，使点M到达点D的位置，且AB丄DA.证明：平面ACD丄平面ABC；2Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=-DA，求三棱锥Q-ABP的体积.【解析】由已知可得，ABAC=90,BA丄AC.又BA丄AD，所以AB丄平面ACD又ABu平面ABC，所以平面ACD丄平面ABC所以BP=2x2由已知可得，DC=CM=AB=3,DA=3、辽.又BP=DQ=2DA3作QE丄AC，垂足为E，则QEf1DC由已知及可得DC丄平面ABC，所以QE丄平面ABC，QE=1.因此，三棱锥Q-ABP的体积为V=1xQExS=-x1x1x3x2、Ssin45

22、o=1Q-ABP3ABP34.如图，在四棱锥P-ABCD中，ABIICD，且ZBAP=ZCDP=90。.PC证明：平面PAB丄平面PAD；8(2)若PA=PD=AB=DC，AAPD=90。，且四棱锥P-ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积.【解析】(1)由已知ZBAP=ZCDP=90，得AB丄AP，CD丄PD由于ABCD，故AB丄PD，从而AB丄平面PAD又ABu平面PAB，所以平面PAB丄平面PADC(2)在平面PAD内作PE丄AD，垂足为E由(1)知，AB丄平面PAD，故AB丄PE，可得PE丄平面ABCD设AB=x，则由已知可得AD=x，PE=x11故四棱锥P-ABCD的体积V=一AB-A

23、D-PE=一X3P-ABCD331O_由题设得x3=，故x=2.从而PA=PD=2，AD=BC=2/2，PB=PC=221111可得四棱锥P-ABCD的侧面积为2PA-PD+2PA-AB+2PD-DC+2BC2sin60=6+2朽35.（2018全国卷II）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2富，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点.C(1)证明：PO丄平面ABC；若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离.【解析】(1)因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP丄AC，且OP=2勇连结OB.因为AB=BC=AC，所以AABC为等腰直角三角形,2且OB丄AC

24、，OB=丄AC=22由OP2+OB2=PB2知，OP丄OB由OP丄OB，OP丄AC知PO丄平面ABCC作CH丄OM，垂足为H.又由(1)可得OP丄CH，所以CH丄平面POM故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC=2AC=2,CM=2BC=432，/ACB=450所以OM=a,CH=3OC-MC-sinZACBOMI-所以点C到平面POM的距离为芋36.(2018全国卷III)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C,D的点.(1)证明：平面AMD丄平面BMC；(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC平面PBD?说明理由.【解析】由题设知，平面CMD丄平面

25、ABCD，交线为CD因为BC丄CD，BCu平面ABCD，所以BC丄平面CMD，故BC丄DM因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM丄CM又BCICM=C，所以DM丄平面BMC而DMu平面AMD，故平面AMD丄平面BMC(2)当P为AM的中点时，MC平面PBD证明如下：连结AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点.连结OP，因为P为AM中点，所以MCOPMC0平面PBD,OPu平面PBD，所以MC平面PBD37.(2018北京)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD丄平面ABCD,PA丄PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点.求证：PE丄BC

26、；求证：平面PAB丄平面PCD；(3)求证：EF平面PCD.【解析】(1)TPA=PD，且E为AD的中点，PE丄AD.底面ABCD为矩形，BCAD:.PE丄BC底面ABCD为矩形，.AB丄AD平面PAD丄平面ABCDAB丄平面PAD:.AB丄PD.又PA丄PD，PD丄平面PAB,.平面PAB丄平面PCD如图，取PC中点G,连接FG,GDBF,G分别为PB和PC的中点，FGBC，且FG=2BC四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，ED#BC,DE=2BC.EDFG,且ED二FG，四边形EFGD为平行四边形，EF#GD2626又EF匸平面PCD,GDu平面PCD,:.EF平面PCD38.(201

27、8天津)如图，在四面体ABCD中，AABC是等边三角形，平面ABC丄平面ABD，点M为棱AB的中点，AB二2，AD二2朽，/BAD=90。.求证：AD丄BC；求异面直线BC与MD所成角的余弦值；求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.【解析】(1)由平面ABC丄平面ABD，平面ABC。平面ABD=AB，AD丄AB，可得AD丄平面ABC故AD丄BC(2)取棱AC的中点N，连接MN，ND.又因为M为棱AB的中点，故MNBC所以/DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.C在RtADAM中，AM二1，故DMAD2+AM2=.因为AD丄平面ABC，故AD丄AC在RtADAN中，AN二1，故DN=J

28、AD2+AN2=.13在等腰三角形DMN中，MN二1，可得cos/DMN=-=-DM26所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为13连接CM因为AABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM丄ABCM=；3.又因为平面ABC丄平面ABD，而CMu平面ABC故CM丄平面ABD.所以，ZCDM为直线CD与平面ABD所成的角.在RtACAD中，CD=JAC2+AD2=4.在RtACMD中，sinZCDM二J3所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为V439.（2018江苏）在平行六面体ABCD-ABCD中，AA二AB，AB丄BC11111111求证：（1）AB平面ABC；11（2）平面ABBA丄平

29、面ABC.111【证明】（1）在平行六面体ABCD-ABCD中，ABAB111111因为AB平面ABC，ABu平面ABC1111所以AB平面ABC11（2）在平行六面体ABCD-ABCD中，四边形ABBA为平行四边形.111111又因为AA二AB，所以四边形ABBA为菱形，因此AB丄AB11111乂因为AB丄BC，BCBC，所以AB丄BC111111乂因为ABIBC=B，ABu平面ABC，BCu平面ABC111111所以AB丄平面ABC因为AB-平面ABBA，所以平面ABB1A1丄平面A1BCCC均垂直于平面ABC,AABC=120o,140.(2018浙江)如图，已知多面体ABCABC,AA

30、,BB,11111AA=4，CC=1，AB=BC=BB=2111C1(1)证明：AB丄平面ABC；1111(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.【解析】由AB=2,AA=4,BB=2,AA丄AB,BB丄AB得AB=AB=2j21111111所以AB2+AB2=AA2故AB丄AB1111111由BC=2,BB=2,CC=1,BB丄BC,CC丄BC得BC=弱111111由AB=BC=2,ZABC=120。得AC=2爲由CC丄AC，得AC=J13，所以AB2+BC2=AC2，故AB丄BC111111111因此AB丄平面ABC1111(2)如图，过点C作CD丄AB，交直线AB于点D，连结A

31、D1111111C由AB丄平面ABC得平面ABC丄平面ABB，由CD丄AB得CD丄平面ABB1111111111111所以ZCAD是AC与平面ABB所成的角由BC=百5，AB=2J2，AC=壬21111111111得cosZCAB=空，sinZCAB=-L，所以CD=J3，故sinZCAD=CD=涇111J7111J711AC131J39因此，直线AC与平面ABB所成的角的正弦值是111341.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=1AD,2ZBAD=ZABC=90o.证明：直线BC平面PAD；若APCD的面积为2j7，求四棱锥P-ABCD的体积。

32、【解析】(1)在平面ABCD内，因为ZBAD=ZABC=90。，所以BCAD又BC电平面PAD，ADu平面PAD，故BC平面PAD(2)取AD的中点M，连结PM，CM.由AB=BC=丄AD及BCAD2ZABC=90o得四边形ABCM正方形，则CM丄AD因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PADI平面ABCD=AD，所以PM丄AD，PM丄底面ABCD.因为CMu底面ABCD，所以PM丄CM设BC=x,则CM=x，CD=-J2x，PM=x，PC=PD=2x.取CD的中点N，连结PN因为APCD的面积为2/1，所以2x近xx2.x=2丿7，解得x=-2(舍去)，x=2.于是则PN丄C

33、D，所以PN=2x22AB二BC二2,AD二4,PM=2込.所以四棱锥P-ABCD的体积V=1x2(24)x23=4、密42.如图，四面体ABCD中，AABC是正三角形，AD二CD.B证明：AC丄BD；已知AACD是直角三角形，AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点，且AE丄EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.【解析】(1)取AC的中点O连结DO，BO.因为AD=CD，所以AC丄DO又由于AABC是正三角形，所以AC丄BO.从而AC丄平面DOB，故AC丄BD.(2)连结EO.由(1)及题设知ZADC=90o，所以DO=AO在RtAAOB中，BO2+AO2=AB2.又AB=BD，所

34、以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2，故ZDOB=90。.由题设知AAEC为直角三角形，所以EO=2AC又AABC是正三角形，且AB=BD，所以EO=1BD2故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的1，四面体ABCE的体积2为四面体ABCD的体积的1，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1:1.243.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD丄平面PDC,ADIIBC,PD丄PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.求异面直线AP与BC所成角的余弦值；求证：PD丄平面PBC；面PDC,所以AD丄PD.在RtAPDA中,由已知，得AP=AD2+PD2*

35、5,故cosZDAP=AD=1-5AP5所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为空5(II)证明：因为AD丄平面PDC,直线PDu平面PDC,所以AD丄PD.又因为BC/AD,所以PD丄BC,又PD丄PB,所以PD丄平面PBC.(III)过点D作AB的平行线交BC于点F,连结PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角因为PD丄平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影，所以ZDFP为直线DF和平面PBC所成的角由于AD/BC,DF/AB,故BF=AD=1,由已知，得CF二BC-BF=2.又AD丄DC,故BC丄DC,在RtDCF中，可得DF=：CD2+CF2=2、：5，在Rt

36、ADPF中，可得sinZDFP=DF5所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为严44由四棱柱ABCD-ABCD截去三棱锥C-BCD后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为正方1111111形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，AE丄平面ABCD,1证明：AO平面BCD；111设M是OD的中点，证明：平面AEM丄平面BCD.111【解析】(I)取BD中点O,连接CO，AOiCD1由于ABCDABCDi为四棱柱，所以aoOC，AO二OC1111因此四边形AOC01为平行四边形，所以AO/O1C,又O1CU面BCD1,AO乞平面BCD1,所以AO/平面BCD1,(II)AC丄BD.E，M分别为

37、AD和OD的中点，EM丄BD又AE丄平面ABCD，BDu平面ABCD，所以AE丄BD11BDBD，所以EM丄BD，AE丄BD，又AE，EMu平面AEM,AEIEM二E1111111111所以BD丄平面AEM,又BDu平面BCD，所以平面AEM丄平面BCD111111111145.如图，在三棱锥PABC中，PA丄AB，PA丄BC，AB丄BC，PA二AB二BC二2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(I)求证：PA丄BD；(口)求证：平面BDE丄平面PAC；（皿）当PAII平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积.【解析】（I）因为PA丄AB,PA丄BC,所以PA丄平面ABC（口）因为AB=B

38、C,D为AC中点，所以BD丄AC，由（I）知，PA丄BD，所以BD丄平面PAC所以平面BDE丄平面PAC（皿）因为PA平面BDE，平面PACI平面BDE=DE，所以FAHDE因为D为AC的中点，所以DE=1PA=1，BD=DC=迈2由（I）知，PA丄平面ABC，所以DE丄平面ABC111所以三棱锥EBCD的体积V=xSxDE=BD-DC-DE=3adbc6346.如图，已知四棱锥PABCD，APAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BCIIAD，CD丄AD,PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点.（I）证明：CE平面PAB；（II）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.【解析】（I）如图，设

39、PA中点为F,连结EF，FB.因为E,F分别为PD,PA中点，所以EFAD且EF=AD2又因为BCAD,BC=AD，所以EFBC且EF=BC,即四边形BCEF为平行四边形，所以CE2BF，因此CE平面PAB.(II)分别取BC,AD的中点为M,N.连结PN交EF于点Q,连结MQ.因为E,F,N分别是PD,PA,AD的中点，所以Q为EF中点，在平行四边形BCEF中,MQCE.由APAD为等腰直角三角形得PN丄AD.由DC丄AD,N是AD的中点得BN丄AD.所以AD丄平面PBN,由BCAD得BC丄平面PBN,那么，平面PBC丄平面PBN.过点Q作PB的垂线，垂足为H,连结MH.MH是MQ在平面PB

40、C上的射影，所以ZQMH是直线CE与平面PBC所成的角设CD=1.在APCD中，由PC=2,CD=1,PD=匚得CE=T,在/BN中，由PN=BN=1,PB=【得QH=-4在RtAMQH中，QH=1,MQ=所以sinZQMH二至48所以，直线CE与平面PBC所成角的正弦值是847.如图，在三棱锥A-BCD中，AB丄AD,BC丄BD,平面ABD丄平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上，且EF丄AD.求证：(1)EF平面ABC；(2)AD丄AC.【解析】证明：（1）在平面ABD内，因为AB丄AD,EF丄AD，所以EFIIAB.又因为EF平面ABC,ABu平面ABC，所以EF平

41、面ABC.（2）因为平面ABD丄平面BCD，平面ABDI平面BCD=BDBCu平面BCD，BC丄BD，所以BC丄平面ABD.因为ADu平面ABD，所以BC丄AD.又AB丄AD，BCIAB二B，ABu平面ABC，BCu平面ABC，所以AD丄平面ABC又因为ACu平面ABC，所以AD丄AC48.如图，四棱锥P_ABCD中，PA丄底面ABCD,ad仃BC，ZBAD=90,AD=2BC，m为PD（2）若APBD是边长为2的等边三角形，求点C到平面PBD的距离【答案】（1）证明见解析（2）6【解析】（1）如图取AD中点N,连接MN和CN，-MN/AP，又MNU平面pAB，Apu平面pABMN/平面pab平面CMNII平面pab,CMu平面MNC:.CMII平面pab；(2)QAPBD是边长为2的等边三角形，.AB二AD二AP=迈因为PB=PD,PA=PA，所以RMPAB=RtVPAD,AB=AD,所以BC2，不妨设点C到平面PBD的距离为d,则Vc-pbdP-BCD1S-d=1S迈,:.d=还3APBD3ABCD