细说正方体的截面图形

1、细说正方体的截面图形在实际生活中时常出现实物几何体的切面所形成的截面图形形状，在中学数学中也学习了几何体的截面图形，截面是一个平面去截一个几何体得到的平面图 形或一个平面与几何体表面交线围成的封闭图形，。截面图形更好的将平面几何 与立体几何联系起来，探究具体几何体的截面图形有助于更深入的认识几何体， 发展正确的空间观念。对于一个几何体不同的切截方式所得到的截面图形可能出 现不同的情况。现具体以正方体为例来探究正方体的截面图形形状。一个平面截 正方体与各面的交线都是线段，因此正方体的截面图形都是平面图形。正方体有 六个面，用一个平面去截正方体至少要经过正方体的三个面而最多要经过六个 面，所有出现

2、的截面图形边数至少是三条而最多是六条，则只可能出现三角形、 四边形、五边形、六边形。一、截面图形是三角形用一平面去截正方体经过正方体三个面时得到的截面图形是三角形.截面图形是锐角三角形如下图，一个平面截正方体任意三个面得到截面EFG BE=a,BF=b,BG=c.可得EF= . a2 b2 ,EG= , a2 c2 ,FG= , b2 c2.图图图(1)如图，当awbwc时，则EOFBEF,即截面 EFG一般三角形(2)如图，当a=bwc时，则EG=FG= EF即截面 EFG是等腰三角形。同理可得a=cwb或b=cwa时截面 EFGH：等腰三角形。(3)如图，当a=b=c时EF=FG=EGP截

3、面4 EFG等边三角形.截面图形不能是直角三角形如图，EF2=a2+b2, FG2=b2+c2, EG2=a2+c2,则 EF2 FG2 +EG2, FG2 EF2 +EG2, EF2 a2c2LL 2 l 2-如图，cos FEG=EF EG -FG 2EF EGa2 b2 a2 c20,贝U 0N FEG90*同理可得0Z EFGO0二.0 / EGFO0 1所有截面图形不可能是钝角三角形。二、截面图形是四边形用一平面去截正方体经过正方体四个面时得到的截面图形是四边形，因为 正方体是由三组互相平行的对面围成， 当截面是四边形时，经过的四个面中至少 有两个面平行,根据面面平行的性质定理,这组

4、互相平行的对面与截面的两条交 线互相平行，所以得到的四边形也至少有一条对边平行。.截面图形为有两组对边分别平行的四边形(1)平行四边形如图，当截面与正方体的两组对面产生交线时根据面面平行的性质定理可得到BF/ EDi、BE/ FDi ,则得到的截面图形BED F是平行四边形。(2)长方形如图，当截面与正方体的两组对面产生交线且某条交线平行于正方体的一条棱 (图中HG/ DDi),则可得到截面图形EFG削是长方形。(3)如图，当点E、F分别为AA和CCi的中点时，根据勾股定理，易得到BE =BF =DF=DE则四边形BFDF是棱形。因此，当截面与正方体的两组对面产生交线且可求得相邻交线段的长度相

5、等时可得到截面图形是菱形。(4)如图，当EF/ AB FG/ BC时，易证四边形EFGK正方形。因此，当截 面与正方体的两组对面产生交线且截面与正方体的某个面平行， 则得到截面图形 就是正方形。.截面图形为只有一组对边平行的四边形(1)如图，当截面只与正方体的一组对面产生交线时，则得到的截面图形就 是梯形。(2)如图，当截面只与正方体的一组对面产生交线且这两条交线都平行于同 一条对角线时，则得到的截面图形是等腰梯形。(3)截面图形不可能是直角梯形。如图，延长正方体使它变为长方体，正方体的截面梯形EFGH也延长EH和FG两条边得到一个 EFI,这个4EFI不可能是直角三角形(证明过程类似于 正方

6、体截面图形不可能是直角三角形的证明过程)，所有正方体的截面图形为梯 形时，可证得这个梯形不可能存在直角。 因此，正方体的截面图形不可能是直角 梯形。三、截面图形是五边形用一平面去截正方体经过正方体五个面时得到的截面图形是五边形。如图 ,根据两平面平行的性质定理，可得HG/ B1 E, B1 H/ EF,又根据平行线性质定理可得到/ HB1E+/ B1HG=80： /HB1E+/ B1 EF=180：,所以 / B1HG= B1EF即截面图形是五边形时必有两组分别平行的边，有两组相邻的角具有互补关系， 同时有两个角相等。由于正五边形没有平行的边，所有截面图形是五边形时，它 不可能是正五边形。四、

7、截面图形是六边形心平面去截正方体经过正方体六个面时得到的截面图形是六边形。如图 ，根据面面平行的性质定理，截面六边形对边平行，根据一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同时这两个角相等和对顶角相等这两个性质，可得到截面六边形的对角都相等。如图 ,设该正方体的棱长为a,当截 面六边形EFGHP的顶点都是正方体棱的中点时，B F=B1 G=1a,可得 FG=BF2 +B1G2 =近 a . 22同理可得,EF=FG=GH=HP=QP=Ep2=a.1a2 1a2-3a2222因为 AE=1 a,可求得 EG=AiBi2+BiG2+AE2=a, 22则 cos FEG= EF2 FGEG2 2EF FG所有 / FEG=12h 同理可证/ FEGW FEGW FEGW FEGW FEGW FEG=12h因此，六边形EFGHPQb正六边形。即当截面六边形的六个顶点都是正方形棱的 中点时，该截面六边形是正六边形。经过以上探究发现，用一个平面去截正方体得到的截面图形形状可能是锐角 三角形、等边三角形、等腰三角形，平行四边形、矩形、棱形、正方形、非等腰 梯形、等腰梯形，五边形，六边形、正六边形