金融数学引论利息基本计算课件

1、定义 1.2 总量函数 A(t)在时间t1 2 内的变化量 一般为增量 称为利息 记为 It1 2 t ,第一章11第一章利息基本计算所有金融活动的基础是投资收益和融资因此对不同投融资方式所带来的收益的定量刻画就构成了金融定量分析的主要内容表现和衡量收益的最直观最基本的概念是利息利息的原始定义很多主要源于从不同的角度看待利息从债权债务关系的角度看利息是借贷关系中债务人 borrower为取得资金使用权而支付给债权人 lender 的报酬从借贷关系的角度看利息是一种补偿由借款人borrower支付给贷款人lender因为前者占用和使用了后者的一部分资金从投资的角度看利息是一定量的资本经过一段时间

2、的投资后产生的价值增值1.1 利息基本函数在一般的金融活动中常见的模式是某一方投资一定量的货币原始投资本金于某个业务在没有新资本投入和抽取原始本金的假定下原始投资经过一段时间的运作将有所变化达到一个新的价值 如何从根本上描述这种变化过程呢这里有两个基本要素 原始投资和经过的时间因此这个变化过程应该表示为这两个要素的函数为此引入如下的定义定义 1.1 用A(t)表示原始投资 A 经过时间tt0事先给定时间度量单位后的价值则称 A(t)为总量函数 ( amount function),t则It1,t2 = A(t2) A(t1)interest(1.1.1)而且利息总是在期末实现的特别地当t1 =

3、 n1,t 2 =t1 +1时记In= A(n )A(n1)n1(1.1.2)1.1.1 累积函数 accumulation function无论利息在理论上是如何定义的现实生活中实际投资的原始货币量千差万别但是价值变其规律往往与本金投入的大小没有直接的关系为了更好地揭示这种变化化过程是带有根本性的过程考虑如下的定义定义 1.3 称 1 个货币单位的原始本金在时刻tt0 的累积值为累积函数 记为a (t)a (t)函数以上的定义说明 货币的时间价值可以用一个标准的累积函数来表示 一般情况下具有以下的基本性质1a (0) = 1= t1,t2第一章22a (t)为递增函数 如果该函数出现下降的趋

4、势则说明将产生负的利息 这一点在数学上并没有什么问题但在大多数金融问题中它是没有意义的只有在投资本金不能收回的情形才会出现负的利息累积函数为常数表示无利息情形这种现象有时会发生为了表示货币价值的相对变化幅度 度量利息的常用方法是计算所谓的 利率interest rate它的准确定义为 利率等于一定的货币量在一段时间 计息期 measurement period 内的变化量 利息与期初货币量的比值同时这个变化量或称利息是在期末实现的简单地说利率是利息与期初本金的比值 如果计息期为标准的时间单位 如 年 月 季或半年等 常常简称为 实利率Effective Rate of Interest除特别说

5、明外实利率一般指年利率定义 1.4 给定时间区间t1,t2 内总量函数 A(t)的变化量 一般为增量 与期初货币量的比值称为利率记为it1,t2则it1,t2=IA(t1)A(t2) A(t1)A(t1)(1.1.3)特别地当t1 = n1,t 2 =t1 +1时记=A(n) A(n1)A(n1)InA(n1)in =n11.1.4a或(1.1.4b)A(n) = A(n1)1+ inin 表示第n 个时段的实利率 具有以下基本性质1这里用实际这个词并不是很明确它是为了与后面的所谓名义利率相区别因为前者表示在一定的时间内的实际利息收入的相对量2实利率通常用百分数表示3实利率的定义要求在计息期内

6、没有其他资本的投入也没有原始本金的撤出即计息期内本金保持不变4在这里利息是在计息期期满时支付的有a(n) a(n1)a(n1)结论 1.1 由利率地定义in =证明假设初始投资为 A A(n) = A 那么(n)所以in =A(n) A(n1)A(n1)a(n)a(n1)a(n1)因此可以有实利率的另一种定义实利率为单位本金在某个计息期内产生的利息与期初资本量的23第一章比值因此按照累积函数的不由结论 1.1 可以发现利息或利率的计算最根本的是累积函数的计算同形式有以下两种常见的利息计算方法例 1.1 考虑以下几类特殊的a (t)函数的特征 见图 1.11 常数 系列 12 二次 系列 23指

7、数系列4线性系列 4图 1.1 几类特殊累计函数的特征时间系列系列系列系列1.1.2 单利和复利1. 单利simple interest定义 1.5简单利息simple interest或简称单利它表示这样一种累积计算方式一个货币单位的投资经过任何一个单位的计息期产生的利息为常数结论 1.2在单利情形下有a (t) = 1 + i t, t0 为整数(1.1.5)一般称i为单利率证明 由定义 1.5 知在单利情况下 若一个货币单位的原始本金在第一个计息期末的价值为 1+i因此累积函数为时间的线性函数则在第二个计息期末的价值为 1+2ia (t) = 1 + i t, t依此类推0 为整数从实质

8、上看单利计算可以表述为利息与经过的时间成正比也可以用更严格的数学方法来定义单利考虑满足如下条件的a (t) 函数a ( s+t)=a ( s)a (t) 1 , t0, s0(1.1.6)这意味着经过时间t+s产生的利息等于经过时间t产生的利息与经过时间 s产生的利息之和3在a t （in) , t第一章4一定的条件下可以证明1.1.5 与1.1.6 互相等价的单利情形的实利率是变化的 实际上 如果设i为单利率in 为第n 个计息期的实利率 则有=i1+ i(n1)a(n) a(n1)a(n1)in =, n1(1.1.7)它是n 的递减函数因此单利计算隐含着实际利息收入比例是递减的即每个单位

9、时间内的相对货币价值变化量是逐渐下降的2. 复利这种计算模式的基本思想是 利息收入应该自动地被再次记入下一期的本金 它是更为常见的计算利息的一种方法复合一词意味着将利息经过再投资后再次产生新利息的过程对复利情形在投资期间的每个时刻过去所有的本金与利息的收入之和都将用于下一时刻的再投资就像常说的利滚利定义 1.6复利计算compound interest或简称复利 它表示这样一种累积计算方式一个货币单位的投资经过任何一个单位的计息期产生的实利率为常数结论 1.3在复利情形下有a (t)=(1+i)t , t或a (t)=et ln(1+i) , t证明 从定量刻画的角度看tn=1如果各个时间段内

10、的实利率相同0 为整数0首先对t为整数考虑如下的累积函数形式0 为整数即in =i, n1 为整数那么累积函数a (t)为a (t)=(1+i)t, t0 为整数对一般的tt0 为实数复利计算意味着累积函数为指数函数形式a (t)=et ln(1+i) , t0可以证明在一定条件下指数函数是满足如下条件的唯一函数形式a ( s+t)=a ( s)a (t), t0, s0 为整数单利计算与复利计算的区别1短期内两者差异不大2单利考虑绝对增量的变化复利考虑相对增量的变化当货币量的数额加大时两者的差异也会加大3复利几乎用于所有的金融业务单利只是用于短期计算或复利的不足期近似计算4第一章5今后除特别

11、声明一般考虑复利计算方式利率是为了表示利息或货币随时间 投资的相对变化率 承认存在利息也就承认货币有时间性同样数量的货币在不同的时刻有不同的价值从最简单的项目看人们关心的是开始和结束这两个时刻前面介绍的累积函数和累积值都是将本金单位化后计算货币在结束时刻的价值下面将这个过程反过来计算例 1.2以年利率 5%为例比较单利与复利计算方法的异同效果解 在第一年内 复利累积小于单利累积 在第一年底 两者相同 从第二年开始 复利累积超而且前者的上升速度远远超过后者具体计算如下过单利累积计算1单利情形每年的实利率水平为in =i1+ i(n1)5%1+5%(n1),n =1,2,3,K列表nin15%24

12、.76%34.55%44.35%54.17%64%这表明 6 年时间实利率水平就会降低一个百分点2复利累积值超过单利累积值 3%的时刻n单利复利复利超过单利的百分比%11.051.05021.101.10250.22731.151.1576250.66341.21.21551.2951.251.276282.161.31.340103.1复利方式比相同单利方式超过 3%的累计值这表明经过 6 年时间1.1.3 贴现定义 1.7 时刻t的一个货币单位在时刻 0 的价值称为贴现函数discount function用a 1(t) 表示一般为累积函数的倒数函数因此有a 1(t) = (1+ it)1

13、a 1(t) = (1+ i)t(1.1.8)(1.1.9)单利情形其中i为单利率复利情形其中i为实利率从定义可以看出贴现与累积是两种互相对称的计算货币时间价值的方法5对于贴现计算过程66第一章也有对应的贴现变化量的概念描述定 义 1.8 一个计息期内的利息收入与期末货币量的比值称为实 贴 现 率effective rate ofdiscount这里的利息也是在期末实现的具体计算可以考虑任何时间段内的贴现率d nInA(n)a(n) a(n 1)a(n)=A(n) A(n1)A(n)d n =(1.1.10)在单利计算模式下还有如下特殊的单贴现率d 的定义a 1(t) =1d t,0 t 1d

14、(1.1.11)与累积过程类似若每个计息期内的实贴现率d n 相同则简称为复贴现模式compounddiscount一般也用d 表示实贴现率在复利方式下累积与贴现过程是完全等价的常用的概念还有定义 1.9贴现因子discount factor定义为v =(1+ i)1其中i为实利率定义 1.10称(1+i)t 为 1 个货币单位的本金在第t个计息期末的终值 AV称v t为第t个计息期末 1 个货币单位在 0 时刻的现值PV它们分别相当于复利计算的累积函数a(t)在t的正负半轴上的部分所以现值与终值的名称往往就隐含着复利计算为了讨论贴现与累积的关系考虑下面的概念定义 1.11 利率和贴现率被称为

15、等价的 equivalent若满足 相同的原始本金经过相同的计息期将产生相同的终值结论 1.4由以上定义有1)i =d1 d2)d =ii1+i证明1设期末货币量为 1由贴现率定义可知期初货币量为 1d因此利息量为d则由利息率的定义有i =d1 d2设期初货币量为 1则期末货币量为 1i利息量为i则由贴现率定义有d = iB = 7.05%) =1.4106a (t) = exp( sds)第一章92利用 1即可得m = p 时有)i(m)m(1+)= (1p3利用 2即可得id (m)mi(m)md (m)m(m)m=例 1.4现有以下两种 5 年期的投资选择 A 年利率 7% 每半年计息一

16、次 B 年利率 7.05%每年计息一次比较两种选择的收益解方法一比较等价的年实利率Ai(2) = 7%7% 22于是iA = (1+应选择 A方法二比较实际收益7% 102aA(5) = (1+aB(5) = (1+7.05%)5 =1.4058 aA(5) aB(5)应选择 A1.1.5 连续利息计算这里我们考虑一种理想的情形 每个瞬间都可以进行利息的换算 例如 每小时换算一次那么货币的价值变化就是非常频繁的随时都在改变当然这只是理想化的描述但是对此的研究将有助于我们对一般离散情形的分析这种情况下定义的利率就是瞬间变化率定义 1.13 设累积函数a (t)为t的连续可微函数时刻t的利息力fo

17、rce of interest定义为a(t)a(t)=A(t)A(t) t =(1.1.12)因此这时的累积函数可以表示为ta(t) = exp( sds)0贴现函数可以表示为t10(1.1.13a)(1.1.14b)累积函数a (t)为t的连续可微函数若定义时刻t的贴现力force of discount t为a1(t)a 1(t)= A1(t)A1(t) t = (1.1.15)显然有91010第一章 t = t结论 1.9 如果考虑利息力为常数的情形即 t = 则1a(t) = e ta 1(t) = e t2常数利息力 与实利率i的关系式为e =1+i或 = ln(1+ i) = ln

18、(v) = ln(1 d)3d i证明 1因为ta(t) = exp( sds)0所以tta(t) = exp( ds) = e02因为ta(t) = (1+i)t =e所以e =1+i又由i,v,d得关系可得 = ln(1+ i) = ln(v) = ln(1 d)3由 2可以得到d i结论 1.10名利率i(m)名贴现率d ( p) 与利息力 由如下关系11(m)= meim2pd ( p) = p1e34lim i(m) = lim d( p) = m pd d ( p) i(m) 0= 0= 0i(m)i1(1+i) m14 1v v5= e 0d例 1.17现有如下的投资经历原始投资 10 万元基金在前两年全部投