测量平差基础参考资料

1、每一位同学拿到误差理论与测量平差基础一书时，脑子里马上就有许多问题涌现：这是一门什么样的课程？学习这门课有什么用处呢？我应该怎样去学好它？故在讲课之前，简单地向大家介绍一下本课程的基本情况。测量平差是测绘专业一门重要的技术基础课，主要讲授测量数据处理的基本理论和方法，是理论与实践并重的课程。通过学习测量平差，牢固地掌握测量数据处理的理论和方法，为后续专业课程的学习打下扎实的基础。一、教学内容全书共有十二章：第一章 绪论第二、三章全书的基础知识第四章介绍测量平差理论第五、六、七、八章4 种平差方法第九章各种平差方法的总结第十章讨论点位精度第十一章统计假设检验的知识第十二章近代平差概论根据本科教学

2、大纲的要求，重点讲解第二章第八章以及第十章的内容。二、怎样学好测量平差要有扎实的数学基础。只有牢固地掌握了高等数学，线性代数和概率与数理统计等课程的知识才能学好测量平差，因此课前要做到预习，对与以上三门课程有关内容进行复习，只有这样才能听懂这一节课。听课时弄清解决问题的思路，掌握公式推导的方法以及得到的结论，培养独立思考问题和解决问题的能力。课后及时复习并完成一定数量的习题（准备A、 B两个练习本），从而巩固课堂所学的理论知识。第一章 绪论本章主要说明观测误差的产生和分类，测量平差法研究的内容以及本课程的任务。第二章 误差分布与精度指标全章共分5 节，是本课程的重点内容之一。重点：偶然误差的规

3、律性，精度的含义以及衡量精度的指标。难点：精度、准确度、精确度和不确定度等概念。要求：弄懂精度等概念；深刻理解偶然误差的统计规律；牢固掌握衡量精度的几个指标。第三章 协方差传播律及权全章共分7 节，是本课程的重点内容之一。重点：协方差传播律，权与定权的常用方法，以及协因数传播律。难点：权，权阵，协因数和协因数阵等重要概念的定义，定权的常用方法公式应用的条件，以及广义传播律（协方差传播律和协因数传播律）应用于观测值的非线性函数情况下的精度评定问题。要求：通过本章的学习，弄清协因数阵，权阵中的对角元素与观测值的权之间的关系；能牢固地掌握广义传播律和定权的常用方法的全部公式，并能熟练地应用到测量实践

4、中去，解决各类精度评定问题。第四章 平差数学模型与最小二乘原理全章共分5 节。重点：测量平差的基本概念，四种基本平差方法的数学模型和最小二乘原理。难点：函数模型的线性化，随机模型。要求：牢固掌握本章的重点内容；深刻理解最小二乘原理中“最小”的含义；对于较简单的平差问题，能熟练地写出其数学模型。第五章 条件平差全章共分4 节，是基本测量平差方法之一。重点：条件平差的数学模型, 平差原理, 基础方程及其解以及精度评定问题。难点：各种不同类型的控制网（水准网，测角网和测边网）中，必要观测数 t 的确定，非线性条件方程线性化，以及求平差值非线性函数的中误差。要求：通过本章的学习，能牢固掌握并能推导条件

5、平差全部的公式；能熟练地列出各种控制网中的条件方程并化为线性形式；并求出平差值、单位权中误差和平差值函数的中误差。第六章 附有参数的条件平差全章共分3 节，是基本测量平差方法之一。重点：附有参数的条件平差数学模型，平差原理，基础方程及其解。难点：各种不同类型的控制网中，条件方程个数 c 的确定，函数模型的建立。要求：了解附有参数的条件平差法的平差原理；在对各种类型的控制网平差时，能准确地确定条件方程的个数；并熟练地列出条件方程以及组成法方程。第七章 间接平差全章共分9 节，是基本平差方法之一。重点：间接平差原理、数学模型、基础方程及其解，以及精度评定等内容。难点：测角网、测边网坐标平差和导线网

6、、GPS网间接平差时误差方程的列立及线性化，求参数的非线性函数的中误差。要求：通过本章的学习，牢固掌握间接平差的平差原理并能推导全部的公式；能熟练地列出测角网、测边网坐标平差的线性化误差方程，以及参数的非线性函数的权函数式；并求出参数平差值、单位权中误差和参数函数中误差。第八章 附有限制条件的间接平差全章共分3 节，是基本平差方法之一。重点：附有限制条件的间接平差原理，函数模型的建立和法方程的组成，以及求参数函数的中误差。难点：误差方程的列立，限制条件个数 s 的确定及方程的列立，求参数函数的协因数。要求：了解附有限制条件的间接平差原理，能熟练地列出对各种控制网平差时的误差方程和限制条件方程，

7、并组成法方程。第九章 概括平差函数模型全章共分5 节，是对4 种基本平差方法的综合和总结。重点：附有限制条件的条件平差（概括平差函数模型）函数模型的建立，概括平差函数模型与 4 种基本平差方法函数模型之间的关系。难点：最小二乘估计量最优统计性质的证明和单位权方差估值公式的推导。要求：弄清各种平差方法的共性和特性，以及4 种基本平差方法函数模型与概括平差函数模型之间的关系。第十章 误差椭圆全章共分6 节。重点：误差椭圆、相对误差椭圆三个参数的计算、作法和用途，任意方向（或 ）的位差的计算公式。难点：极值方向的确定和误差椭圆的作用。要求：通过本章的学习，能熟练地求出任意方向（ 或 ） 上的位差；根

8、据已知待定点坐标平差值协因数阵，准确地计算误差椭圆、相对误差椭圆的三个参数并画出略图，误差椭圆在平面控制网优化设计中的作用。第一章 绪 论 1-1 观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：测量仪器；观测者；外界条件。二、观测误差分类偶然误差定义，例如估读小数；系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。粗差定义，例如观测时大数读错。 1-4 本课程的任务和内容一、测量平差的任务

9、处理带有观测误差的观测值，估计待求量的最佳估值并评定测量成果的精度。二、测量平差的内容建立观测误差的统计理论，简称误差理论。研究误差的统计分布，误差的估计与传播；2-2 偶然误差的规律性研究衡量观测成果质量的精度指标；建立观测值与待求量之间的函数模型，以及描述观测精度及其相关性的随机模型；研究估计待求量的最优化准则；结合测量实践研究测量平差的各种方法；研究预报和质量控制问题。第二章 误差分布与精度指标 2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。一、真值与真误差1.真值代表观测量真正大小的数值，以表示，当观测量仅拿假然误差时，E(L) - L o2.真误看真

10、误差的定义式为；，,-4(2-2-1).或.合=%(2221一般情况下工是难以求得的，但有以下两种特殊的情况可以得到，在图1的三角形中，儿百和区难以求得，但其和的真值等于180。，即一般情况下工是难以求得的，但有以下两种特殊的情况可以得到；。在图1的三角形中，加心和耳难以求得，但其和的真值等于180。，即11 + ? = 180 ； /设通2的一段距离分别进行住、返丈量得厂和厂，女厂难以得到， 而往、源测之差的真值座等去零，即d = J - = 0。ALL修12直方图由表 2-1 、表 2-2 可以得到直方图2-1 和图 2-2 （注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。

11、误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。当观测值个数的情况下， 频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图 2-1 和图 2-2 中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图 2-3 所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着 n 增大， 以正态分布为其极限。因 此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。3 1 数学期望的传播偶然误差的特性第三章 协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。例如，在一个三角形中同精度观测

12、了3 个内角 L1 ， L2 和 L3，其闭合差w 和各角度的平差值分别又如图3 1 中用侧方交会求交会点的坐标等。现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。数学期望是描述随机变量的数字特征之一，在以后的公式推导中经常要用到它，因此， 首先介绍数学期望的定义和运算公式。其定义是： 3 2 协方差传播律从测量工作的现状可以看出：观测值函数与观测值之间的关系可分为以下3 种情况， 下面就按这3 种情况来讨论两者之间中误差的关系。公/ %=，以x)卜-2-1) :%产心丐

13、设有X的线性函数Z 密+儿，求%=?式中R =伊他.此为系数阵，均为常数， 111*1:内1ML 1 X宓均无误差.2.根据方差的定义式（231）式有% =小矶（Z -成咏-现2）力上式中，压续如，而E （X）可根据数学期望运算公式、和虹或更猥：E =E (KX+&)=E (KX) +E (%)=KE (X) +VVv=KUx+&将Z和E (Z)代入D,得=(乩- K% KX -即*力(3-2-4)=巾（丫-山-鲁”% = cz = KD容 Q 11上式的缈量歌或为3-2-5）式。当q中各分量篦（i= 1,2两两独立时,它们之间的协方差% = K此时（3-2-5）式为以下形式Qzz = =Ai

14、2cl2 +七JbJ + .十 &（3-2-6） 通常格（324）、（325）和（326）等式称为协方差传播律。 例33解：本题观测值向量为= -0,96其协万墨陛由已相条件可知： TOC o 1-5 h z C 卜，巧2196-1 1D 郎2 _ _ 11 Q%1L96B.列出X与6的关系式 由图32可知“a-。】/广卜 1-1.由(324)式得1.92 眇)血=14 H3.若按(3-2-5)计算得ar2 = (-1)2 X1,96 + (-1)2 x.96 + 2x(-1)x (-1)x(- 1)= 3.92-2 = 1.92眇)巴=14 n提问：銮因熊用(326)式计算吗？为什么?二、多

15、个双涕值线性函文的协方差阵1,设有现测值向量普，其数学期望此京和协方差阵如(3-2-1)式.(327)式所不现令则(327)幽国为(3-2-8)求与二?2.比较(322)与(328)式可以看出：两式的形式完全相同，因此，根据 (3-2-4)式可以得到(3-2-10)上式中的是看仝观测值函数的协方差阵，而(3-2-4)式中的Q江是一个观测值函数 n11的方差，因此，可以认为(3-2-4)式是(3-2-10)式的一种特殊情况.所以称(3-2-10)或触方差传播律的一般公式.(3212)(3-2-14).设另有X的尸个线性函数Y =FXf rl e xl由(3-2-10)式亘猥 E 股 .Y关于Z的

16、互协方差阵Dy？ 强索反妨羞阵的定义可知加=&g 爪y)(z-a(z)按照以上推导的方法可得% = D%（3215）通常将（324）、（3 210）和（3215）等式称为协方差传播律。例3-5本例在应用协方差传播律谓或前,首先要写出观测值向量 以方便后面的计算.三、m国性函文的情况.设有双测值向量X的非线性函数Z =心）或 24号打，区）已知的协方差阵。.，欲求Z的方差。空.:及其协方差阵（3-2-21）（3-2-22）.对于以上非线性函数的情况，首先要利用台劳公式，在点,X处将（3222)式展开为线性形式，如(3223)式.当Jf与X非常接近时,舍去上式中的 二次及二次以上各项3得到(322

17、4)式令 =片h【僚1僚卜僚U-/仅二品。,&。)4偿x：11叫 MJ显然，R与A,均无误楚。(3-2-24)式可以写成舌著+(32T6)上式与(322)式完全相同，故可以按(324)式得到Z的方差Z?2z为3.若按(3-2-28)式设阳，心用dZ,则(32 24)式可写为“7. ) 十(丁 1 H牙十 J旷)月丫uZ - aA1 +I aA 十 , +aA *院 J。，咏= KdX(3 - 2 - 29)可见上式是c3-2-22)式的全微分，其系数阵差与小一2-26)式完全相同.因此，为了求非线性函数的方差，只要对它先求全微分，将非线性函数化为线性函数，再掇加友差传 攫徽6国求得该函数的方差

18、 4若有t个非线性函数W和厂个非线朝0先求全微分得dZ-KdXdy- FdXn na Ml71nl *1再按(3-210)s (3-2-15)两式得n例3-7图34从本网可以看出；.对函数式进行全微分时，有时先将函数式取时数，再求全微分更简便；.偏导数1图1的数值是用X的近似值代人后算出的，.用数值代入计算时，应注意各项的单位要统一。栩史有长度和角度两种单位，应 强瘫因我刎。化为弧度四、应用协方差传播律的计算步骤根据以上3种情况求方差或协方差阵的计算过程,总结出应用例方差传播律的4个计 算步骤,（略）复习思考题.观测值向量的协方差阵是怎样定义的？试说明其中各个元素的含义.X1.已知观测值Zq

19、,L）的中误差（?! = o-2 = a, 712 = 0 b设X = 2+5, Y =L2k，Z =&, =X +匕试求工 K 2和的中误差，解；.根据（326）式可得 TOC o 1-5 h z c2 2nb. = 2 b. . crr = 2bOy = a2 +（- 2yb2=5er2ay =把b22 ,25 =4十?=4t ）的条件平差问题，可以列出r=n-t 个独立的条件方程，且列出 r 个独立的条件方程后就可以进行后继的条件平差计算。然而， 在实际工作中，有些平差问题的r 个独立的条件方程很难列出。例如，在图1 所示的测角网中，A、 B 为已知点，AC为已知边。观测了网中的9 个角

20、度，即n=9。要确定C、 D、 E 三点的坐标，其必要观测数为 t=5 ，故条件方程的个数为r=n-t=9-5=4 ，即必须列出4 个独立的条件方程。由图1 知，三个图形条件很容易列出，但第四个条件却不容易列出。图1为了解决这个问题，可以选择某个（或某几个）非观测量作为参数2。例如图1中选择乙4即作为参数/设选择了 个参数，则原来的个条件方程就变为c = r + 个了。如图1中，由于选择了 2团作为参数上，则条件方程 的个数就变为c = f = 4+1=5个，即除了三个图形条件外,还可以列出1个极 条件和1个固定边条件e如图1,若以A点为板，则极条件为，疝（上5 +上7）疝X sill L6：

21、Z- = 1sin（4 - X siii（ L6 + L8）siii L$固定边条件为（由推算B）,8111(+ 4)如1上2sin X siii 4或* J.5帅 sill X sill q根据如此含有以个参数的条件方程所进行的平差，称为附有参数的条件平 差。二、附有参数的条件平差原理由第四章知，附有参数的条件平差的函数模型为:(6-1)A V+ B x+r = 0C如 乂 。对 （A式中，为观测值的改正数，今为参数近似值X。的改正数。其系数矩阵的秩分 别为rkA = c, rk(B) = u.其随机模型为:D 工工=另 Q = (j1P 1（6-1）式中的未知数为g个观测值L的改正数，和u

22、个参数近似值X的改正数亡，即未知数的个数为.=盟+必，而方程的个数为。=+如由于演-6= -r = /0,所以（6-1）式是一组具有无穷多组解的相容方程组。必须根据最 小二乘原理，求出能使二min的一组解,为此，下面就来求解能使 VTPV- niiii 的一组解。1、基础方程及其解为了求得解能使，丁歹斤=min的一组解，按求函数之条件极值的方法，组 成新函数：二 VtPV-1KT（AV 陵 +用）式申K是对应（6-1）式的联系数向量。为了求函数的极小值，将其分别对，和土求一阶导数，并令其为零，即rkl rr= Z7tP-1KtA=0（1）7= -2K7B=0亦即（6-2）py-atk = o

23、btk = oBrK = O（6-2）式中的第一式称为改正数方程。将（6.1）式和（6.2）式联立，则得到附有参数的条件平差的基础方程： 月，+砒+印=0if K（6-3）BK = OBrK = O将（6-3）式中的第二式代入第一式，消去改正数匕得:AP-1ArKa-出+歹=0BrK = 0（6-4）空/十成十歹=0btk = o（64 ）式称为附有参数的条件平差的法方程。因为次（必）=次（川-.1）=/（=c ,且此=为-9r = Nqq ,所以M口是满秩的对称方阵，其凯利逆存在。于是，用火左乘（6-4）式的第 一式，可得，太=一词（成+双）（6-5）再以2左乘（6-4）式的第一式，顾及第二

24、式，得，3只就+3r丈郎=0令% =（6-6）则有 TOC o 1-5 h z N/十 B/N； = O（6-7）因为戊（灼）二戊（召砥：砂二土=五，且孤二砥，所以为是 满秩的对称方阵，其凯利逆存在。于是，由（6-7）式得：=-闻 3丁同（6-8）将（6-5）式和（6-8）式同时代入（6-2）式的第一式,得：产=_一】/应（忒+郎）（6-9）（6-9）式就是附有参数的条件平差的最终解。附有参数的条件平差的计算步骤由以上推导，可总结出附有参数的条件平差的计算步骤如下：（1）、根据具体的平差问题，选取个独立的参数，并列出附有参数的条件 方程（61）式6（2）、组成法方程（6-4）式。（3）、按（6

25、-8）式和（6-9）式计算参数近似值X的改正数才和观测值L 的改正数匕（4）、按 = +0、X=X+*计算观测值和参数的平差值。（5）、用平差值重新列平差值条件方程，检核整个计算的正确性。举例某三角网如冕2所示，4 3为己知点，8。为己知边。其己知数据为:= 1000.00搐，yA = 0,00犯 xs = 1000,00% 了= 1732.00% S助=1000 00加各角的同精度独立观测值见表1。现选乙C4B的最或是值为参数，试技附有参数的条件平差求观测值的平差值和参数的平差值，表1角号观测值角号观测值16000034595957260000255 9 59463600004659。395

26、9本例中汉=6, t = 3, r = 3, =1,故 c = r + u = 4由图2知，可列2个图形条件，1个极条件和1个固定边条件.这4个条件如下:VL I V2 I v3 I 也=0匕 十 % ”6 + %二0， 、 、 ， 疝 La 疝(4 - X) sin(Z3 + 区)：；：=1sill Z5 疝(上2 +24 )疝1又S& 疝1X_ 1SpD s 111(-3 + Z5)取X=3000P0将非线性条件线性化后，得条件方程为:10 1.732 I。1100010.577 -0.577 1.15500.577001-1.1550.577 00- 3.464、1.732 9 、-8=

27、05.196-6.051J由于为同精度独立观测，故P = J于是由（6-4）式得法方程为:3.000 01.7320 3.00000.577 0.577,0、0i +，9、一 8=01.732 06334-0.999-3.4645.1960.577 0.577 -0.9990.666 ,JR)60,（0 0 -3.464 1.732 K = 0解得：3 = 5.4009, V1 =（2.4* -5.7* 一5.7, 8.0, 0.0 0.0）由此可得观测值和参数的平差值为；7二电00005 .4 f95946.3 S9F948.3 600005.0, 595946.0” 595959.0X =

28、 3OOOrO5.4ff检核略。三精度评定单位权方差的估值在附有参数的条件平差中，单位权方差的估值仍为： , VTPV _ VTPVc -u基本向量的协因数矩阵% %四如的如 0 e 0 e e e 4%隰益%如 a 2即a%。口才-加才勾5。丸A%-即 找 TOC o 1-5 h z 效歹崂月0口-QBr眩-QacAQu-2口80-Qw-。“万2”叫o Qu-M瑞日2发方2万遍8对-。/公-N&0N*J-磔=闻)0Qr-纥&侬以0QAQllQQAQu,0QlQvtBQ双b，naq比-际5T也月Q”00Qu Qvr3、平差值函数的中误差 设平差值函数为：衿(L X)对其全微分，得权函数式为：2

29、 a 二 ) 八 r-rT q _ r , . d = dL HdX = F dL + % dX dL dx(6-11)式中:ft。3、困 9Z2a)/产丁生空 （成岐2(6-12)应用协因数传播律，得第七章 间接平差7-1 间接平差原理V PV = ram二、基础方程及其解1、基础厩按求条件极值法蛆成画效2C-1-5)为求中的极小值9将其对f取偏导并令其为零，贝山拿=2嘿=叫叩=0(7-L6)(7-1-7)转苴后得2、法方程解基他方程时通常是将（7J-7）式代入（71.2式），得B P欣一8 R = 0则可将基础方程表示如下:(7-1-8)式中，N声球PB,W=mPl.上式称为间接平差的法方

30、程, 解（7.1-8）式，可得 7-2 精度评定复习思考题：间接平差的函数模型和随机模型是什么？间接平差法与条件平差法的结果上否一样？为什么？证明间接平差法中改正数向量和平差值向量不相关。第八章 附有限制条件的间接平差原理本章重点：附有限制条件的间接平差原理精度评定3、误差方程、限制条件方程的列立在一个平差问题中，多余观测数，如果在平差中选择的参数个，其中包含了个独立参数，则参数间存在 个限制条件。平差时列出个观测方程和个限制参数间关系的条件方程，以此为函数模型的平差方法，称为附有限制条件的间接平差。 8-1附有限制条件的IR按平差原理一、附有限而件的间接平差的数学模型根据42的介绍可知，1、

31、函数模型r= Br-? 人11。狂部=0、小山 ，1其中RJ9)=尺 = 5 . R Cn ,s 1 i2、法方程及解解基础方程时通常是将(8-1-1)式代入(31.3式)，得S PBX+C K -B Pi= 0则可将基础方程表示如下：C N,“RC K -部=0(8-1-9)5娘 41 加 C 殳+ W =(8-1-10)式中，nbtpb9 W = Pl.上就称为附有限制条件的间接平差的法方程.由法方程可解出力和M第七章卬已指出，N是一满秩对称方阵，是可逆阵.用07厂左乘(8-1-9)式，并减 去(3-1-10)式得；瓶+ 犷)7(8-1-11)式中，N =CN C、旦期)=RC ) = R

32、=s，又=WC)=双七， 幺 nma故N为一 s阶的满秩对称方阵，是可逆阵.于是(8-1-12)(8-1-13) =ig-i+M9将上式代入(8-L9)式，经整理可得：X = M1-N-1C AT1 靖 WCN W由上式求得先后，代入8-1-1)式可求得几 最后可求出：(8-1-15)三、按附有限制条件的间接平差求平差值的步骤及示例计驾步骤：1、根据具体的平差间题，选取u个参数，其中包含t个独立参数.2s将每一个现测量的平差值分别表达成所选参数的函数，若函数为非线性，则将其线性 化，列出误差方程(8-1-1);再依据参数:之间存在的函数关系，列出参数的限制条件方 程(8-1-2).3、由误差方

33、程系数和限制条件方程系数组成法方程(8-1-9)、(3-1-1Q).4、解算法方程，求出参数3计算参数的平差值方=*+3 例8-1为了确定通过已知点(耳=04乂 =1.2)处的一条直线方程(见图:1)： p =欧”, 现以等精度测了 了 = 1，2,3 = L & 3)处的函数值y = L6,2,0,2,4(/ =1, 2,3).选取直线方程中的 。、办作为参数：左以6.试列出其误差方程和限制条件方程，并求依方的估值.解；由题知刀=3J = 1,尸=3-1=2 = 2,即共应列了+ 1 = 4个方程.其中s=#-t=2-l=l 个限制条件方程，其余3个为误差方程。现测方程为：+-1,2,3)A

34、十力一 = 0限制条件方程为：代入现测数据和已知数据，即得误差方程和限制条件方程:司占+。一1.6 匕=26 +方-2.。匕=33+1一 2.4 0.43 十方一 1.2 = 0相应的法方程为1460.4631解得(5 = 0,479V = 1.0083, = 0 0992所以，直线方程为y = 0.4793x +1.00838-2精度评定单位权方差的估值公式.V PV V PV(8.2-1)式中，多余观测数联力-iS,其中 T = 为必要的独立参数个数.二、协因数阵基本向量的自协二阵以及两两向量之间的互协因数阵.在附有限制条件的间接平差中，基本向量为，见文匕,胸，顾及C =Q即可推求各设T

35、= W X Z/ V L ,则Z的协因数阵为Q = Qr QQa. Q.Q,Q ,Q Q 入Q6 ；2.2；m.CuQ,0“Q jq,l a” e.;。，e.f e.; Q,。“C；2.QC;.。江。；.“Q；xQ&Q；.,Qu一(8-2-2)由各基本向量与，之间的关系式，应用协因数传播律，可求得Q ，列入下表中，供查阅.LwKAXVA LLeBCM】膛,_Q,s-e.WB*N Q N f BKB】C0一犷妆工3 = Scoswa/s (10-4)二卜。3。即根据协因数传播律，得丝。绅=cos/ 血 *j。4心COS0 lar。bsin 0 J=Q. cos2。+ Qyy sin 2。+ si

36、n 2(p=加(Qxx cs。+ Qyy sin 2 (jpQj sm 2夕)(10-5)(10-6)若又有一个方向S,与O垂直，即(p =P+90=-AZ sin 夕+ :os 华(10-7)就种o =Oxysinp+OyyCos。e-QwsinZ。(10-8)b/go =%Q*+$)0=加(Qxx sm 2 3+ Qn cos ? 5一。珞 sin 25)(W-9)况=可+4.9a =年9月十0/二吠十出(10/0)2,位差的极值方向对(5)式求倒,令其为零da(Qxx cos sin 0+Q年 sin2) = 0 a(p即 一 2。刈 cos 物 sin 孰 + 2gyy sin 伽 c

37、os + 2。制 cos 2)= 0tan 2g=(10-11)炉=AX cos(+90) + AZ sm(900)因为 tan, 2 =tan(2 g +180)则(10-11)式有两个根，一个为2q，一个为2我十1800,即有两个极值方向，/和仍+90, 一个为极大值方向，一个为极小值方 向。由公式(10-6)可看出，当如与sin 2州同号时，4取得极大值，。；的。取得极小值。由此可得，当时，极大值在1、3象限，(0 v处90，sin 2%,、0,同号)极小值在2、4氟限，(90。仇180,sin 2. 0,异号)反之亦然。用例和0& 180。表示极大值的两个方向。用处和笫 180表示极小

38、值的两个方向.3、位差的极大值E、极小值F由公式(10-6)得， % cs 共+,山在 + Q.2叫)2,八1 + C0$20 八 1- ccs2za -.八、=% (Qja -+ Qn -+ Qxi sin 2时)乙乙=5 W(Qax + Qyy + 9xk Q) cos 2的 + 2Q型 sin 2林)二，就Qx?+Qyy +2%yGj曰 + sin 2(Pq)2tan 2%1 0 1=00 (Qja + Qn + 2&y 一)2sin 2生C10-12)(10-13)C10-14)=5 K (Qxx + Qn 2。如 Jl + ctM* 2稣)乙因为 Jl+ctai? 2内Y4匿y=-/

39、Q加十(Q理一 Qyy)?,Gat= K2Qxf所以不=；出(呢+的士库乙M =+(2浮一第一章思考题观测条件是由那些因素构成的？它与观测结果的质量有什么联系？观测误差分为哪几类？它们各自是怎样定义的？对观测结果有什么影响？试举例说明。用钢尺丈量距离，有下列几种情况使得结果产生误差，试分别判定误差的性质及符号：（1 ）尺长不准确；尺不水平；估读小数不准确；尺垂曲；尺端偏离直线方向。1.4 在水准了中，有下列几种情况使水准尺读书有误差，试判断误差的性质及符号：（1 ）视准轴与水准轴不平行；仪器下沉；读数不准确；水准尺下沉。1.5 何谓多余观测？测量中为什么要进行多余观测？答案：+”（ 1）系统误

40、差。当尺长大于标准尺长时，观测值小，符号为“ TOC o 1-5 h z 尺长时，观测值大，符号为“- ”。（2）系统误差，符号为“-”（3）偶然误差，符号为“+”或“-”（4）系统误差，符号为“-”（5）系统误差，符号为“-”（ 1）系统误差，当i 角为正时，符号为“- ” ；当 i 角为负时，符号为“+”（2）系统误差，符号为“+”（3）偶然误差，符号为“+”或“-”（4）系统误差，符号为“- ”第二章思考题2.1 为了鉴定经纬仪的精度，对已知精确测定的水平角45 0000作 12 次同精度观测，结果为：45 000645 000345 595545 000445 595845 00004

41、5 595945 595945 0006设 a 没有误差，试求观测值的中误差。45 000445 595845 0003已知两段距离的长度及中误差分别为300.465m 4.5cm 及660.894m 4.5cm， 试说明这两段距离的真误差是否相等？他们的精度是否相等？设对某量进行了两组观测，他们的真误差分别为： TOC o 1-5 h z 第一组：3，-3，2，4，-2，-1 ，0，-4， 3，-2第二组：0，-1，-7， 2，1，-1，8，0，-3，1试求两组观测值的平均误差?1 、?2 和中误差?1 、?2 ，并比较两组观测值的精度。设有观测向量X21L1L2T，已知?L1=2 秒，?L

42、2=3 秒，?L1L22秒 2 ，试写出其协方差阵D 。22 XX2.5 设有观测向量X31L1L2 L3T的协方差阵D33XX420293 ，试写出观测值03 16L1L2 、L1L3 和L2L3 。L1， L2， L3的中误差及其协方差答案：? 3.62它们的真误差不一定相等，相对精度不相等，后者高于前者?1=2.4?2=2.4?1=2.7?2 =3.6两组观测值的平均误差相同，而中误差不同，由于中误差对大的误差反应灵敏，故通常采用中误差做为衡量精度的的指标，本题中?1 S* = hn ； h$= 0.500切，S$ = 2hn ； 友= 0.560搐，S6 = 2km ；e=0.504%

43、= 2.5km ；饱= 1.064必 SQ = 2.5km 如下图的水准网中，测得各点的高差为：瓦=1.357M，尾=2,008演，用=0.35加， 为 二 1.000掰，片二一0.657也，S、= IMi, = lkm,邑二1丘）工=lki,品二29, 设0=1,试求，（1）平差后A、B两点间高差的权：（2）平差后A、C两点间高差的权。有水准网如下图，测得各点间高差为小。= 1,2,7）,已算得水准掰平差后高差的协 因数阵为二138-3-1-125813-3-1-12-51-3-312-3-366 =三-I-1-3138-52-I-1-3-813-52226-5-510Y-5 -562-2-

44、410试求，（1）待定点部B、C、D平差后高程的权;（2） C、D两点间高差平差值的权.如图的水准型中，A、B、C为已知点，砥=12.00。搐，砥=12,500团 / = 14,。00怯 高差观测值力1 = 2,500a，防= 2.001加，用=1.352切，儿= 1.851回 吊= lb,另=即 司=29，品=1加，试按条件平差法求高差的平差值方及后点的精度於如图的水准网卬，A、B、C、D为待定点，独立同精度现测了 6条路线的高差：4 =1.576羽 9 A2 = 2.215m , %=-3.800物，& =0.8? 1 掰，A5 = -2.438w , 为=-1二旬物,试搜条件平差法求个高

45、差的平差值第六章思考题某平差问题有12个同精度观测值，必要观测数t = 6，现选取2个独立的参数参与平差，应列出多少个条件方程？有水准网如图，A 为已知点，高程为H A 10.000m ，同精度观测了5 条水准路线，观测值为h17.251m，h20.312m，h30.097m，h41.654m，h50.400m，若设AC 间高差平差值h?AC为参数X? ，试按附有参数的条件平差法，（ 1 ）列出条件方程（ 2）列出法方程（ 3）求出待定点C 的最或是高程下图水准网中，A 为已知点，P1， P2， P3 为待定点，观测了高差h1 h5，观测路线长度相等，现选择P3点的高程平差值为参数，求P3 点

46、平差后高程的权。A 为已知点，高程为路线长度为：h1=1.270m,S1=2;h2=-3.380m,S2=2;h3=2.114m,S3=1;h4=1.613m,S4=2;h5=-3.721m,S5=1;h6=2.931m,S6=2;h7=0.782m,S7=2;6.4 下图水准网中，HA 10.000m， P1P4为为待定点，观测高差及若设 P2 点高程平差值为参数，求：（ 1）列出条件方程；（ 2）列出法方程；（ 3）求出观测值（ 4）平差后单位权方差及P2点高程平差值中误差。6.5 如图测角网中，A、 B 为已知点，C、 D 为待定点，观测了6个角度，观测值为：L1=40 23 58”，。

47、L3=53 49 02”，。L5=31 59 00”，L2=37 11 36”，。L4=57 00 05”。L4=36 25 56”若按附有参数的条件平差，（ 1）需要设哪些量为参数；（ 2）列出条件方程；（ 3）求出观测值的改正数及平差值。思考题参考答案6.2 n=5 t=3 r=2 u=1 c=36.3 n=5 t=3 r=2 u=1 c=3 v1+v4+v5+w1=0v2+v3-v5+w2=0 v1+v2- X? +w3=07.1 如图闭合水准网中，A 为已知点，高程为HA 10.000m ， P1， P2为高程未知点，观测QX?1，PX?16.4( 1) v1+v2+v3+4=0v3+

48、v4+v5+6=0v5+v6+v7+8=0v1+v7- X? =05114012000v 1124020K14100K265 20K380241K40010K50T044 (mm)L?1.2693.381 2.112 1.609T 3.721 2.935 0.786 (mm)22 4)02 34.7(mm2 )22QX? 0.5， Q X? 17.3(mm ) ，X? 4.2(mm)3)法方程：6.5 ( 1)设X?ADB,X0 1031006200.0041K10040.2580K2170.0040.2582.990K321000 x?02) v1+v6=0v2+v3+v4+ v5-17”

49、=0-0.955 v1+ 0.220 v2-0.731 v3+0.649 v4-0.396 v5+ 0.959 v6+2”=00K0 4.230.3 Tx?=00.3 4.24.4 44.30.3()L?40 2358.3 371140.2 53 4906.457 000931 5904.336 2555.7第七章思考题 TOC o 1-5 h z h1=1.352m,S1=2km;h2=-0.531m,S2=2km;h3=-0.826m,S3=1km;试用间接平差求各高差的平差值。图中 A、 B、 C 为已知点，P 为为待定点，网中观测了3 条边长 L1 L 3，起算数据及观测数据均列于表中

50、，现选待定点坐标平差值为参数，其坐标近似值为(57578.93m ，点号坐标X / mY / mA60509.59669902.525B58238.93574300.086C51946.28673416.51570998.26m) ，试列出各观测边长的误差方程式。边号L1L2L3观测值/ m3128.863367.206129.88下图水准网中，A、 B 为已知点P1 P3为待定点，观测高差h1 h5，相应的路线长度为4 km， 2 km， 2 km， 2 km， 4 km，若已知平差后每千米观测高差中误差的估值为3 mm，试求X? 与 L? ， L?与 V 是否相关？试证明。P2点平差后高差

51、的中误差。7.4 在剪接平差中，有水准网如图，A、 B、 C、 D 为已知点，P1 、P2为待定点，观测高差h1 h5，路线长度为S1 = S2= S5=6 km， S3= 8 km， S4= 4 km，若要求平差后网中最若点高程中误差5 mm，试估计该网每千米观测高差中误差为多少？思考题参考答案7.1 h?1 1.356m， h?20.822m， h?30.534m7.20.93670.3502x?P5.22V cm0.19600.98065.563,10.91890.3945y?P6.4727.3?0214，?0 3.747.5 每千米观测高差中误差小于3.3 mm第八章思考题附有限制条件

52、的间接平差中的限制条件与条件平差中的条件方程有何异同？附有限制条件的间接平差法适用于什么样的情况？解决什么样的平差问题？在水准测量平差中经常采用此平差方法吗？在图中的大地四边形中，A、 B 为已知点，C 、 D 为为待定点，现选取L3， L4， L5，L6， L8 的平差值为参数，记为X?1, X?2 ,X?5，列出误差方程和条件方程。8.4 如图水准网中，A 为已知点，高程为H A10.000m ，观测高差及路线长度为：线路h / mS / km12.56312-1.32613-3.88524-3.8832TT若设参数X?X?1X?2X?3H?Bh?3h?4，定权时C= 2 km，试列出：（

53、 1 ）误差方程和限制条件（ 2）法方程式 TOC o 1-5 h z 试证明在附有限制条件的间接平差中：（ 1 ） 改正数向量V 与平差值向量L?互不相关；（2）联系数 K s与未知数的函数? f Tx? f0互不相关。思考题参考答案n=8 t=4 u=5 s=1令 L3， L4， L5， L6， L8 的参数近似值为Xi01 x?2 x?3 x?5 l1V2x?1 x?2 x?3 l 23x?14x?25x?36x?4V7x?2x?3 x?4 l 78x?5其中常数项：l1 L1X20 X30 X50l2L2180X10X20X30l7L7180X20X30X40773限制条件：cot X

54、10cotX10X20 x?1cot X10X20cot X40cotX50L7x?4cot X 50L7sin X50 sin X10X20 sin X40Wx0001sin X1 sin X3 sin X5L7（ 1）误差方程1x?12x?23x?1 x?2 4（mm）4x?3限制条件x?1x?3 2 0i 1,2 5 ，且X?X 0 x? ，误差方程为：cot X50L7 x?2cot X30 cot X50L7 x?3cot X50 x?5 Wx 0cot X50 L7 L7（ 2）法方程3100 x?141301x?24200 011x?300 110 KS 2S第九章思考题何谓一般

55、条件方程？何谓限制条件方程？它们之间有什么区别？什么是概括平差函数模型？指出此模型的主要作用是什么。某平差问题有15 个同精度观测值，必要观测数等于8，现取8 个参数，且参数之间一个限制条件。若按附有限制条件的的条件平差法进行平差，应列出多少个条件方程和限制条件方程？其法方程有几个？9.4 概括平差函数模型的方程数是否和附有参数的条件平差的方程数一样？其中r、 u、 c 和s 各表示什么量？9.5 在条件平差中，试证明估计量L?具有无偏性。思考题参考答案8.3 n=15t=8u=8应列出 13 个条件方程，s=22 个限制条件方程，组成的法方程有15个。第十章思考题在某测边网中，设待定点P1

56、的坐标为未知参数，即 X?X1 Y1 T ， 平差后得到X?0.25 0.1522的协因数阵为Q?，且单位权方差?023.0cm2，X?X? 0.15 0.75（ 1 ）计算 P1 点纵、横坐标中误差和点位中误差；（ 2）计算P1 点误差椭圆三要素E、 E、 F ；（ 3）计算P1 点在方位角为90 方向上的位差。如何在 P 点的误差椭圆图上，图解出P 点在任意方向上的位差？10.3某平面控制网经平差后求得P1、 P2两待定点间坐标差的协因数阵为：Q X? X?Q X? Y?Q Y? X?Q Y? Y?222cm / 单位权中误差为?01 ，试求两点间相对误差椭圆的三个参数。P 点坐标的协因数阵为：10.4 已知某三角网中QX?X?2.100.250.