(精选)线性空间练习题

1、线性空间练习题、单项选择题R3中下列子集（）不是R3的子空间.A. wi (xX2，X3) R3|x2 13 333B . W2 ( Xi,X2,X3) R |X3 0C. W3 (Xi，X2，X3) R3 | XiX2X3D . W4 ( Xi，X2, X3)R3 | XiX2 X3二、判断题i.设vPnn则W A A Pnn,A 0是V的子空间.2、已知V （a bi,c di）a,b,c,dR为R上的线性空间，则维（V） =2.3、设线性空间 V的子空间 W中每个向量可由W中的线性无关的向量组i，2，L，s线性表出，则维（W）=S4、设W是线性空间V的子空间，如果， V,W且W,则必有W

2、.三、i .已知Wi a b |a,b R , W2 ai 0 |ai,q R,是R2 2的两个子空间，求 0 0G 0Wi W2,Wi W2的一个基和维数.已知关于基 i，2，3的坐标为（i, 0, 2）,由基 i, 2, 3到基 i, 2, 32 4的过渡矩阵为i 0 0 ,求 关于基 i, 2, 3的坐标. 2 i 0四、设Pn是数域P上的n维列向量空间，A Pnn且a2 A,记Wi AX X Pn, W2 XX Pn, AX 0,.证明：Wi,W2都是Pn的子空间；.证明：PnWi W2.线性变换练习题、填空题.设1, 2, 3是线性空间V的一组基，V的一个线性变换 在这组基下的矩阵是

3、A(aij)33,X11X22X33 V,则 在基3,2,1下的矩阵B = ,而可逆矩阵T =满足B T 1AT, 在基1, 2, 3下的坐标为.设A为数域P上秩为r的n阶矩阵，定义n维列向量空间Pn的线性变换 ：()A ,Pn ,则 1(0)=，dim 1(0) =, dim (Pn) =.复矩阵A (aj )n n的全体特征值的和等于 ,而全体特征值的积等于 .设 是n维线性空间V的线性变换，且在任一基下的矩阵都相同，则 为 变换.数域P上n维线性空间V的全体线性变换所成的线性空间L(V)为 维线性空间，它与 同构.设n阶矩阵A的全体特征值为1, 2,L , n , f (x)为任一多项式

4、，则f(A)的全体特征值为 .二、判断题 TOC o 1-5 h z .设 是线性空间V的一个线性变换，1, 2,L , s V线性无关，则向量组(i), ( 2),L , ( s)也 线性无关.().设 为n维线性空间 V的一个线性变换，则由 的秩+的零度=n ,有V (V)1(0).( ).在线性空间R2中定义变换 ：(x, y) (1 x, y),则 是R2的一个线性变换.().若 为n维线性空间V的一个线性变换，则是可逆的当且仅当1(0) = 0.().设 为线性空间V的一个线性变换， W为V的一个子集，若(W)是V的一个子空间，则W必为V的 子空间.()三、计算与证明0 0 11.设

5、A 11a,问a为何值时，矩阵A可对角化？0 0并求一个可逆矩阵X,使X-1AX二.在线性空间Pn中定义变换：（Xi,X2,Xn） （0, X2,Xn）（1）证明： 是Pn的线性变换.求（Pn）与 1（0）.3）（Pn）1（0） Pn.3.若A是一个n阶矩阵，且 A2 A,则A的特征值只能是0和1.欧氏空间练习题一、填空题.设V是一个欧氏空间，V ,若对任意V都有（，）0,则 =.在欧氏空间 R3中，向量 （1,0, 1）,（0,1,0）,那么（，）=,=.在n维欧氏空间V中，向量 在标准正交基1, 2,L , n下的坐标是（X1,X2,L ,Xn），那么（，i）=, 一 _ .两个有限维欧氏

6、空间同构的充要条件是 .已知A是一个正交矩阵，那么 A1 =, A2=. 二、判断题.在实线性空间 R2中，对于向量（x,X2）,（y1，y2）,定义（，）（xy X2y2 1）,那么R2构成欧氏空间。（）.在n维实线性空间Rn中，对于向量a,a2,L,an）,（“七，L,bn）,定义（，）aQ,则Rn构成欧氏空间。 （）. 1, 2,L , n是n维欧氏空间V的一组基，（x1,x2,L ,xn）,（ y1,y2,L , yn）与分别是V中的向量，在这组 基下的坐标，则（，）x1y1 x2 y2 Lxn yn。（）.对于欧氏空间 V中任意向量，|1是V中一个单位向量。（）. 1, 2,L ,

7、n是n维欧氏空间的一组基，矩阵Aa。nn,其中a。（ i, j）,则A是正定矩阵。（）.设V是一个欧氏空间， V ,并且，则 与 正交。（）.设V是一个欧氏空间， V,并且(，)0,则，线性无关。().若，都是欧氏空间V的对称变换，则也是对称变换。()三、计算题.把向量组1 (2, 1,0),2 (2,0,1)扩充成R3中的一组标准正交基.求正交矩阵T ,使TAT成对解角形。 TOC o 1-5 h z 22 0A 21202 0四、证明题1.设A, B为同级正交矩阵，且 AB ,证明：A B 0.设A为半正定矩阵，且 A 0,证明：A E 0.证明：n维欧氏空间V与VT同构的充要条件是，存在

8、双射：V V ,并且小测验九一、填空题111、已知三维欧式空间V中有一组基1, 2, 3,其度量矩阵为A 12002 1 3 23的长度为。 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 2 1 一 102、设R2中的内积为(，) A ,A 1 2，则2， 在此内积之下 为。3、在n维欧几里德空间中，一组标准正交基的度量矩阵为 。4、在欧氏空间 R4 中，已知 (2,1,3,2),(1,2, 2,1),则 | | ,(内积按通常的定义)。00 ，则向量3度量矩阵的夹角为5、设Rn为欧氏空间，则有柯西-施瓦茨不等式:、已知二次型f(X1,X2,X3)t(x；

9、 xfX2) 2X1X22X1X32 X2X3t为何值时二次型f是正定的？(2)取t 1 ,用正交线性替换化二次型 f为标准形、设1, 2, 3是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为 TOC o 1-5 h z 11 2211 6(1)令 12，证明是一个单位向量;若 12 k 3与正交，求k四、设为n维欧氏空间V中一个单位向量，定义 V的线性变换 A如下:A 2( , ) , V.证明：A为第二类的正交变换(称为镜面反射)。V的正交变换B是镜面反射的充要条件为1是B的特征值，且对应的特征子空间的维数为n-1.五、已知 是对称变换，证明:的不变子空间W的正交补W也是 的不变子空间.小测验

10、(六)一、填空题1、已知Va,b,c R是R3 3的一个子空间，则维(V=, V的一组基是.42、在 P 中，右 1(1,2,0,1), 2 (1,1,1,1), 3 (1,k, 1,1), 4 (0,1,k,1)线性无关，则 k 的取值范围是.3、已知a是数域P中的一个固定的数，而W (a,xj 出肌 P,i 1,2,L ,n是Pn+1的一个子空间，则a=,而维(W) =.4、设Pn是数域P上的n维列向量空间，A Pnn且A2 A,记W1 AX|X P, W2 XX Pn, AX 0,则 w、w者B是Pn的子空间，且 w+ w=, W1I w2=.5、设1, 2, 3是线性空间V的一组基，X

11、1 1 X2 2 X3 3,则由基1, 2, 3到基2, 3, 1的过渡矩阵T= ,而 在基3, 2, 1下的坐标是 .、计算与证明1、在线性空间P2X 2中,Ai112111,Bi岛1101371)求 L(A1,A2)IL(B1,B2)的维数与一组基.2)求L(A,A2)L(BB2)的维数与一组基.(1,4,2,3)在2、在线性空间P4中，求由基1, 2, 3, 4到基1, 2, 3, 4的过渡矩阵，并求基1, 2, 3, 4下的坐标，其中(1,4, 1, 1).1(1,0,0,0),2 (4,1,0,0),3 ( 3,2,1,0), 4 (2, 3,2,1)(1,1,8, 3), 2 (0, 3,7, 2), 3 (1,1,6, 2), 43、1)证明：在Pn n与A可交换的矩阵的全体 W是一个子空间；2)求W的维数和一组基；3)写出W冲矩阵的一般表达式。4、证明：x2 x, x2 x,x 1是Px3的一组基，并求2x2 7x 3在此基下的坐标5、V为定义在实数域上