新高考艺术生数学基础复习讲义 考点14 等比数列（教师版含解析）

1、26/26考点14 等比数列知识理解一等比数列的有关概念定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为eq f(an1,an)q.二等比数列的有关公式1.通项公式：ana1qn1anamqnm. 2.前n项和公式：等比数列的性质1.等比中项(1)如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则amanapaqaeq oal(2,k).2.前n项和的性质an为等比数列，若a1a

2、2anTn，则Tn，eq f(T2n,Tn)，eq f(T3n,T2n)，成等比数列(3)当q0，q1时，Snkkqn(k0)是an成等比数列的充要条件，此时keq f(a1,1q).考向分析考向一 等比数列基本运算【例1】(1)(2020重庆九龙坡区渝西中学高三月考)设等比数列an的前n项和是Sn，a22，a516，则S6 (2)(2021全国高三专题练习)等比数列中，记为的前项和.若，=_(3)(2020江西高三其他模拟)已知数列是正项等比数列，且，又，成等差数列，则的通项公式为 【答案】(1)63(2)6(3)【解析】(1)设公比为，则，即，解得，所以，所以，故选:A.(2)设的公比，由

3、可得，当时，所以，即，此时方程没有正整数解；当时，所以，即，解得.故答案为：6.ABCD(3)由题意，设数列的公比为，因为，所以，解得(负值舍去)；又，成等差数列，所以，即，则，解得， .【方法总结】（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sneq f(a11qn,1q)eq f(a1anq,1q).【举一反三】1(2020济南旅游学校)设等比数列满足，则公比_【答案】【解析】

4、由于数列是等比数列，故由，可得，两式作比可得：，解得，即.故答案为：2(2020河南高三月考)已知等比数列满足且，则_.【答案】【解析】因为，所以.故由等比数列的通项公式得.故答案为：3(2020河南高三其他模拟)已知在等比数列中，则数列的通项公式为_.【答案】或【解析】设等比数列的公比为q，因为，所以，解得，所以，解得或.当时， ，所以， 即有；当时， ，所以， 即有故答案为：或.4(2020上海市三林中学高三期中)数列中，数列前项和为，若，则_.【答案】1023【解析】因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以.故答案为：.考向二 等比数列中项性质【例2】(1)(2020浙江高三开

5、学考试)已知等比数列，则( )ABCD1(2)(2020防城港市防城中学高三月考)等比数列中，则与的等比中项是( )AB4CD(3)(2020广西高三其他模拟)已知各项不为0的等差数列an满足，数列bn是等比数列，且b7a7，则b2b8b11等于( )A1B2C4D8【答案】(1)D(2)A(3)D【解析】(1)由题意得：，由，得，故，故选：D.(2)，.又.与的等比中项是.故选：A.(3)因为an是各项不为0的等差数列，由可得：解得，所以，所以，关系存在D【举一反三】1(2020广西北海市高三一模)若数列是等比数列，且，则( )A1B2C4D8【答案】C【解析】因为数列是等比数列，由，得，所

6、以，因此.故选：C.2(2020河南郑州市高三月考)正项等比数列满足，则( )A1B2C4D8【答案】C【解析】根据题意，等比数列满足，则有，即，又由数列为正项等比数列，故故选：C3(2020河南高三期中)公差不为0的等差数列中，数列是等比数列，且，则( )A2B4C8D16【答案】D【解析】等差数列中,故原式等价于解得或 各项不为0的等差数列,故得到，数列是等比数列，故=16.故选：D.4(2020黑龙江哈尔滨市哈尔滨三中高三期中)等比数列的各项均为正数，且.则( )A3B505C1010D2020【答案】C【解析】由，所以.故选：C5(2020石嘴山市第三中学高三期中)在正项等比数列中，则

7、的值是( )A10B1000C100D10000【答案】D【解析】正项等比数列中，因为，所以，即，故，.故选：D.6.(2020黑龙江大庆市大庆实验中学高三月考)在等比数列中，是方程的根，则( )ABCD【答案】A【解析】根据题意：，故，故，则.故选：A.7(2020扬州市新华中学高三月考)已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则的值是( )ABCD1【答案】D【解析】在等差数列中，由，得，在等比数列中，由，得，则故选：D考向三 等比数列的前n项和性质【例3】(1)(2020安徽和县)已知等比数列an的前n项和Sn3n+2+3t，则t( )A1B1C3D9(2)(2020广东佛山市高三月考)

8、等比数列的前n项和为，若，则为( )A18B30C54D14(3)(2020全国高三专题练习)在等比数列an中，如果a1a240，a3a460，那么a7a8( )A135B100C95D80(4)(2021山西太原市)已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则( ).A11B12C13D14【答案】(1)C(2)B(3)A(4)B【解析】(1)因为等比数列an的前n项和Sn3n+2+3t，则a1S133+3t27+3t，a2S2S1(34+3t)(33+3t)54，a3S3S2(35+3t)(34+3t)162，则有(27+3t)162542，解得t3

9、，故选：C.(2)是等比数列，则也成等比数列，则，则.故选：B.(3)由等比数列前n项和的性质知，a1a2，a3a4，a5a6，a7a8成等比数列，其首项为40，公比为，所以a7a8.故选：A(4)由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的4倍，设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得，即，,解得，又前3项之积，解得，.故选:B.【举一反三】1(2021四川眉山)已知等比数列的前项和为，若，则( )A1B-1C2D-2【答案】B【解析】，所以，解得.故选：2(2020静宁县第一中学高三月考)设等比数列的前项和为，若，则( )A31B32C63D64【答案】C【解析】因为为等比数列的前项和，所以，成

10、等比数列，所以，即，解得.故选：C3(2020江苏高三专题练习)已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若a1a2a3=4，a4a5a6=8，则S12=A40B60C32D50【答案】B【解析】由等比数列的性质可知，数列S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比数列，即数列4,8，S9S6，S12S9是等比数列，因此S12=481632=60，选B4(2021安徽池州市)已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为( )ABCD【答案】D【解析】，设，则，所以，故，故选D.5(2020陕西铜川市高三二模)设等比数列an的前n项和为Sn，若S6：S3=1：2，则S9：S3=()A1：2B2：3C

11、3：4D1：3【答案】C【解析】an为等比数列则S3，S6-S3，S9-S6也成等比数列由S6：S3=1：2令S3=x，则S6=x, ,则S3：S6-S3=S6-S3：S9-S6=-1：2则S9-S6=x则S9=则S9：S3=：x=3：4故选C6(2020全国高三专题练习)设，.若是与的等比中项，则的最小值为( )A3BCD【答案】D【解析】是与的等比中项，.，.，当且仅当时取等号.的最小值为.故选：D.7(2020江西南昌二中高三月考)已知等比数列中，数列是等差数列，且，则( )ABCD【答案】A【解析】由题意可知，对任意的，由等比中项的性质可得，可得，则.由等差中项的性质可得.故选：A.8

12、(2020全国高三专题练习)已知各项为正数的等比数列满足则的值为( )ABCD【答案】D【解析】已知各项为正数的等比数列满足，由等比中项的性质可得，由对数的运算性质可得.故选：D.考向四 等比数列的定义运用【例4】(2020江苏南京市第二十九中学高三期中节选)已知等差数列的前项和为，数列满足，.证明：数列是等比数列，并求数列与数列通项公式；【答案】证明见解析；，【解析】，所以数列是首项为，公比等比数列，所以，即，；由，解得，所以【方法总结】等比数列的判定方法定义法若eq f(an1,an)q(q为非零常数，nN*)或eq f(an,an1)q(q为非零常数且n2，nN*)，则an是等比数列中项

13、公式法若数列an中，an0且aeq oal(2,n1)anan2(nN*)，则an是等比数列通项公式法若数列an的通项公式可写成ancqn1(c，q均为非零常数，nN*)，则an是等比数列前n项和公式法若数列an的前n项和Snkqnk(k为非零常数，q0,1)，则an是等比数列【举一反三】1(2020全国高三专题练习)已知数列满足，证明：是等比数列；【答案】见解析；【解析】由题意，数列满足，所以又因为，所以，即，所以是以2为首项，2为公比的等比数列2(2020江苏省镇江中学高三开学考试)在数列中，求证数列为等比数列，并求关于的通项公式；【答案】证明见解析；【解析】，为等比数列且首项为，公比为2

14、，.3(2020安徽高三月考)已知正项数列满足：，判断数列是否是等比数列，并说明理由；【答案】答案不唯一，具体见解析；【解析】，又是正项数列，可得，当时，数列不是等比数列；当时，易知，故，所以数列是等比数列，首项为，公比为2.4(2020安徽高三月考)已知数列满足：=1，.求证：数列是等比数列；【答案】证明见解析【解析】设，则，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即数列是等比数列考向五 历史中的数列【例5】(2020江阴市华士高级中学)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的

15、下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯( )A3盏B9盏C27盏D81盏【答案】C【解析】根据题意，设塔的底层共有盏灯，则每层灯的数目构成以为首项，为公比的等比数列，则有，解可得：，所以中间一层共有灯盏.故选：C【举一反三】1(2020宁夏吴忠市吴忠中学)明代数学家程大位编著的算法统宗是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”.注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔正中间一层的灯的盏数

16、为( )A3B12C24D48【答案】C【解析】根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为，则有，解得，中间层灯盏数，故选：C.2(2020安徽高三开学考试)我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题(意为)：“有一个人要走里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地.”那么，此人第天和第天共走路程是( )A里B里C里D里【答案】A【解析】设这个人第天所走的路程为里，可知是公比的等比数列，由，得，解得，.所以此人第天和第天共走了里.故选：A.3(2020贵州贵阳一中高三月考)古代数学著作九章算术有如下问题：“今有女子善织

17、，日自倍，五日五尺，问日织几何?”意思是：“女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这名女子每天分别织布多少?”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为165尺，则所需的天数为( )A7B8C9D10【答案】D【解析】设该女子第一天织布尺，则5天共织布，解得尺，在情境模拟下，设需要天织布总尺数达到165尺，则有整理得，解得.故选：D强化练习一、单选题1(2020云南高三其他模拟)已知、成等差数列，、成等比数列，则( )ABCD【答案】D【解析】由于、成等差数列，可得，设等比数列、的公比为，则，由等比中项的性质可得，因

18、此，.故选：D.2(2020威远中学校高三月考)等比数列的各项均为正数，且，则( ).ABC20D40【答案】B【解析】设数列的公比为，由得，所以,由条件可知，故.由得，所以,.故选：B3(2020四川省峨眉第二中学校高三月考)已知正项等比数列中，则( )ABCD【答案】D【解析】在正项等比数列中，由所以，又，所以所以故选：D4(2020西藏山南二中高三月考)已知等比数列的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为( )A15B17C19D21【答案】B【解析】由题意可得，由等比数列的通项公式可得，所以，故选：B.5(2020黑龙江大庆市大庆中学高三期中)等比数列的前项和为，若，则( )ABCD

19、【答案】A【解析】在等比数列中，则为递增数列，由已知条件可得，解得，因此，.故选：A.6(2020四川宜宾市高三一模)九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为( )A5B4C3D2【答案】C【解析】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，所以.设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，所以.所以，即，化简得解得：或(舍)故选：C7(2020四

20、川宜宾市高三一模)九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的3倍，则的值为( )(结果精确到0.1，参考数据：，)A2.2B2.4C2.6D2.8【答案】C【解析】设大老鼠每天打洞的进度形成数列，小老鼠每天打洞的进度形成数列，则由题可得数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以第天后大老鼠打洞的总进度为，数列是首项为1，公比为的等比数列，所以第天后小老鼠打洞

21、的总进度为，则由题可得，整理可得，解得或，即(舍去)或，.故选：C.8(2020湖北武汉市华中师大一附中高三期中)已知等比数列满足，数列为等差数列，其前项和为，若，则( )ABCD【答案】D【解析】在等比数列中，由等比中项的性质可得，解得，由等差数列的求和公式可得.故选：D.9(2020河北高三月考)在公比为的正项等比数列中，已知，则( )ABCD【答案】A【解析】由等比数列的性质，可得，因为正项等比数列中，所以，又由，所以，解得.故选：A.10(2020西藏拉萨市第二高级中学高三期中)等差数列的公差为2，若成等比数列，则( )A72B90C36D45【答案】B【解析】由题意知：，又成等比数列

22、，解之得，则，故选：B11(2020肇东市第四中学校高三期中)已知等比数列an中，有a3a114a7，数列bn是等差数列，且b7a7，则b5b9( )A4B5C8D15【答案】C【解析】a3a114a7，4a7，a70，a74，b74，b5b92b78故选：C12(2020湖南高三月考)已知是公差为1的等差数列，且是与的等比中项，则( )A0B1C3D2【答案】C【解析】是公差为1的等差数列，又是与的等比中项，即，解得，故选：C.13(2020全国高三专题练习)已知正项等比数列满足，又为数列 的前n项和，则( )A 或BC15D6【答案】B【解析】正项等比数列中，解得或(舍去)又，解得，故选：

23、B14(2020广东深圳市明德学校高三月考)在等比数列中，是数列的前n项和若，则( )A5B6C7D8【答案】B【解析】设的公比为q，则故选：B.15(2020河南高三月考)在数列中，则( )A32B16C8D4【答案】C【解析】因为，所以，所以数列是公比为2的等比数列因为，所以故选：C16(2020陕西西安市高三月考)已知数列满足且，则的前10项的和等于( )ABCD【答案】B【解析】由题意，数列满足，即，又由，即，解得，所以数列表示首项为，公比为的等比数列，所以，即的前10项的和为.故选：B.17(2020江西高三期中)已知为等比数列，则的值为( )AB9或C8D9【答案】D【解析】为等比

24、数列，所以所以故选：D18(2020安徽六安市六安一中高三其他模拟)在各项均为正数的等比数列中，则的最大值是( )A25BC5D【答案】B【解析】是等比数列，且，.又，当且仅当时取等号.故选：B.19(2020全国高三专题练习)已知正项等比数列an的前n项和为Sn，且S8-2S4=5，则a9+a10+a11+a12的最小值为( )A10B15C20D25【答案】C【解析】由题意可得a9+a10+a11+a12=S12-S8，由S8-2S4=5，可得S8-S4=S4+5.又由等比数列的性质知S4，S8-S4，S12-S8成等比数列，则S4(S12-S8)=(S8-S4)2.当且仅当S4=5时等号

25、成立，所以a9+a10+a11+a12的最小值为20.故选：C.20(2020全国高三专题练习)各项均为正数的等比数列的前项和为，若则 ( )ABCD【答案】B【解析】设等比数列的公比为，由题意易知所以，两式相除得，化简得，解得，所以,故选B.21(2020东莞市光明中学高三月考)已知等比数列的前n项和为，且，则( )A16B19C20D25【答案】B【解析】因为等比数列的前n项和为，所以，成等比数列，因为，所以，故.故选：B22(2020陕西宝鸡市高三月考)已知等比数列中，则( )A2B3C4D5【答案】B【解析】设等比数列的公比为，则，即，因为，所以，则，即，解得，故选：B.23(2020

26、辽宁大连市辽师大附中高三月考)已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为( )A5B7C9D11【答案】A【解析】根据题意，数列为等比数列，设，又由数列的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则，故；故选：24(2020全国)设等比数列的前项和为，若，则公比( )A1或B1CD【答案】A【解析】设等比数列的首项为，由题意可知，当时，显然成立；当时，由得，化简得，所以解得.综合得.故选：A.25(2020江苏南京市金陵中学高三月考)已知正项等比数列an的前n项和为Sn，若，则S5()ABCD【答案】B【解析】正项等比数列an的前n项和为Sn，解得

27、a11，q，S5故选：B26(2020山东高三专题练习)我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第一天走的路程为( )A180里B170里C160里D150里【答案】C【解析】根据题意，设此人每天所走的路程为数列，其首项为，即此人第一天走的路程为，又由从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，则是以为首项，为公比的等比数列，又由，即有，解得：；故选：27(2019山东潍坊市高

28、二月考)若等比数列的前n项和，则该数列的公比q的值为( )A1B2C3D4【答案】C【解析】因为，故可得.故.故选：C.28(多选)(2020辽宁葫芦岛市高三月考)已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，成等差数列，其前项和为，且，则( )ABCD【答案】AC【解析】由，成等差数列，得.设的公比为，则，解得或(舍去)，所以，解得.所以数列的通项公式为，故选：AC.29(2020全国高三专题练习(理)已知等差数列的公差不为零，且，成等比数列则=_.【答案】【解析】设的公差为，由题意：，即，整理得：，(舍去)，故：，故答案为：.30(2020海南高三专题练习)数列满足且，则的值是_【答案】11【解析】因为，所以数列是以为公比的等比数列，由得，所以，即，故答案为：11.31(2020湖南永州市高三月考)在等比数列中，若，则_.【答案】【解析】因为等比数列中，若，所以，所以.故答