新高考艺术生数学基础复习讲义 考点23 空间几何中的平行（学生版）

1、17/17考点23 空间几何中的平行知识理解一直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行线面平行)la，a，l，l性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)l，l，b，lb二平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)a，b，abP，a，b，性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，a，b，ab如果两个

2、平面互相平行，其中一个平面内的一直线平行与另外平面线线平行相似比(常用三角形的中位线)构造平行四边形(证明一组对边平行且相等)平行的传递性线面垂直的性质：垂直同一个平面的两条直线平行线面平行的性质面面平行的性质平面向量空间向量线面平行证明线面平行有两种常用方法：一是线面平行的判定定理；二是先利用面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质证明线面平行考向分析考向一 三角形的中位线证线面平行【例1】(2021全国高三专题练习节选)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面.【方法总结】三角形中位线证明线面平行思路通过把面外的直线平移到平面内找到与之平行

3、的直线构造三角形中位线【举一反三】1(2021广东湛江节选)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC求证：A1B1平面DEC1.2(2020全国高三专题练习)在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别是AC，B1C的中点求证：平面.3(2021南宁市邕宁高级中学节选)如图，正四棱锥中，E为PA的中点，求证：平面EBD.考向二 构造平行四边形证线面平行【例2】(2020全国高三专题练习节选)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点证明：MN平面C1DE；【方法总结】构造平行四边形证线面平行（1）通过把面外的

4、直线平移到平面内找到与之平行的直线（2）构造平行四边形，通过一组对边平行且相等证明平行四边形（3）利用平行四边形的性质证明线线平行【举一反三】1(2020广东梅州节选)如图，四棱锥PABCD中，E是PD的中点证明：直线平面PAB.2(2021全国高三专题练习节选)如图所示，已知正方形.、分别是、的中点，将沿折起.证明平面.3(2021河南洛阳市节选)在棱长为2的正方体中，是底面的中心，求证:平面考向三 三角形相似比证线面平行【例3】(2021内蒙古赤峰市高三月考节选)如图，四棱锥中，底面为直角梯形，且，点在棱上.证明：当时，直线平面【举一反三】1(2021浙江杭州市高三期末节选)在三棱锥中，为

5、等腰直角三角形，点，分别是线段，的中点，点在线段上，且.若，.()求证：平面；2(2020江西吉安市节选)如图，在三棱锥中，已知是正三角形，为的重心，分别为，的中点，在上，且，求证：平面考向四 面面平行的性质证线面平行【例4】(2021江西宜春市节选)如图所示，在多面体中，四边形为矩形，证明：平面【方法总结】面面平行的性质证明线面平行1：把线放在某个平面或构造一个平面与之平行2.利用面面平行的性质证明线面平行【举一反三】1(2020全国高三月考节选)斜三棱柱中，设中点为，且，分别为，的中点，证明：平面2 .(2021宁夏吴忠市节选)如图，在三棱锥中，点D、E、F分别为棱PA、PC、BC的中点，

6、G为AD的中点，求证：平面BDE考向五 证明线线平行-线面垂直的性质【例5】(2021江西赣州市节选)在如图所示的几何体中，均为等边三角形，且平面平面，平面平面，证明：；【举一反三】1如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，证明：直线平面；2如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，且平面ABCD平面BCE，平面ABCD，求证：平面ABCD 考向六 面面平行【例6】(2020江西省奉新县第一中学节选)如图，在多面体中，面为正方形，面和面为全等的矩形，求证：平面平面【举一反三 】1(2021武汉市第一中学节选)如图所示，多面体中，四边形为菱形，求证：平面平面2(2021山西吕梁市节

7、选)正方体，为中点，为的中点，求证：平面3(2021安徽高三期末节选)如图，在四棱柱中，底面是菱形，点E，F分别为，的中点，点G在上，证明：平面ACE强化练习1(2021安徽淮南市节选)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，O是AC与BD的交点，E为PB的中点，求证：平面PAD2(2021河南高三月考节选)如图，在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，平面2(2020江西吉安市高三节选)在四棱锥中，底面四边形是边长为1的正方形，分别是，的中点，求证：平面3(2021江西景德镇市节选)如图，点为的中点，求证：平面；4(2021广西河池市节选)如图，在长方体中，E为AB的中点，F为的中点，证明

8、：平面5(2021安徽蚌埠市高三二模节选)如图，已知四边形和均为直角梯形，且，.，求证：平面6(2021河南节选)如图，在长方体中，底面是正方形，为的中点，证明：平面7(2021河南驻马店市高三期末节选)如图，该多面体由底面为正方形的直四棱柱被截面所截而成，其中正方形的边长为，是线段上(不含端点)的动点，证明：平面；8(2021山西运城市高三期末节选)如图，在几何体中，四边形为等腰梯形，且，四边形为矩形，且，M，N分别为，的中点，求证：平面9(2021安徽黄山市节选)已知四棱锥中，设平面平面，求证：10(2021江苏苏州市节选)如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，对角线与交于点，点在棱上，若平面，求的值;11(2021安徽六安市高三一模节选)如图，在四棱锥中，E是PD的中点，证明：平面PBC12(2021浙江台州市高三期末节选)如图，在三梭柱中，为的中点，求证：平面13(2021江西高三其他模拟节选)如图，已知四边形为菱形，对角线与相交于O，平面平面直线，求证：14(2020全国高三专题练习)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，D