新高考艺术生数学基础复习讲义 考点14 等比数列（学生版）

1、13/13考点14 等比数列知识理解一等比数列的有关概念定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为eq f(an1,an)q.二等比数列的有关公式1.通项公式：ana1qn1anamqnm. 2.前n项和公式：等比数列的性质1.等比中项(1)如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则amanapaqaeq oal(2,k).2.前n项和的性质an为等比数列，若a1a

2、2anTn，则Tn，eq f(T2n,Tn)，eq f(T3n,T2n)，成等比数列(3)当q0，q1时，Snkkqn(k0)是an成等比数列的充要条件，此时keq f(a1,1q).考向分析考向一 等比数列基本运算【例1】(1)(2020重庆九龙坡区渝西中学高三月考)设等比数列an的前n项和是Sn，a22，a516，则S6 (2)(2021全国高三专题练习)等比数列中，记为的前项和.若，=_(3)(2020江西高三其他模拟)已知数列是正项等比数列，且，又，成等差数列，则的通项公式为 【方法总结】（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，

3、一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sneq f(a11qn,1q)eq f(a1anq,1q).【举一反三】1(2020济南旅游学校)设等比数列满足，则公比_2(2020河南高三月考)已知等比数列满足且，则_.3(2020河南高三其他模拟)已知在等比数列中，则数列的通项公式为_.4(2020上海市三林中学高三期中)数列中，数列前项和为，若，则_.考向二 等比数列中项性质【例2】(1)(2020浙江高三开学考试)已知等比数列，则( )ABCD1(2)(2020防城港市防

4、城中学高三月考)等比数列中，则与的等比中项是( )AB4CD(3)(2020广西高三其他模拟)已知各项不为0的等差数列an满足，数列bn是等比数列，且b7a7，则b2b8b11等于( )A1B2C4D8【举一反三】1(2020广西北海市高三一模)若数列是等比数列，且，则( )A1B2C4D82(2020河南郑州市高三月考)正项等比数列满足，则( )A1B2C4D83(2020河南高三期中)公差不为0的等差数列中，数列是等比数列，且，则( )A2B4C8D164(2020黑龙江哈尔滨市哈尔滨三中高三期中)等比数列的各项均为正数，且.则( )A3B505C1010D20205(2020石嘴山市第三

5、中学高三期中)在正项等比数列中，则的值是( )A10B1000C100D100006.(2020黑龙江大庆市大庆实验中学高三月考)在等比数列中，是方程的根，则( )ABCD7(2020扬州市新华中学高三月考)已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则的值是( )ABCD1考向三 等比数列的前n项和性质【例3】(1)(2020安徽和县)已知等比数列an的前n项和Sn3n+2+3t，则t( )A1B1C3D9(2)(2020广东佛山市高三月考)等比数列的前n项和为，若，则为( )A18B30C54D14(3)(2020全国高三专题练习)在等比数列an中，如果a1a240，a3a460，那么a7a8

6、( )A135B100C95D80(4)(2021山西太原市)已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则( ).A11B12C13D14【举一反三】1(2021四川眉山)已知等比数列的前项和为，若，则( )A1B-1C2D-22(2020静宁县第一中学高三月考)设等比数列的前项和为，若，则( )A31B32C63D643(2020江苏高三专题练习)已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若a1a2a3=4，a4a5a6=8，则S12=A40B60C32D504(2021安徽池州市)已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为( )ABCD5(2020陕

7、西铜川市高三二模)设等比数列an的前n项和为Sn，若S6：S3=1：2，则S9：S3=()A1：2B2：3C3：4D1：36(2020全国高三专题练习)设，.若是与的等比中项，则的最小值为( )A3BCD7(2020江西南昌二中高三月考)已知等比数列中，数列是等差数列，且，则( )ABCD8(2020全国高三专题练习)已知各项为正数的等比数列满足则的值为( )ABCD考向四 等比数列的定义运用【例4】(2020江苏南京市第二十九中学高三期中节选)已知等差数列的前项和为，数列满足，.证明：数列是等比数列，并求数列与数列通项公式；【方法总结】等比数列的判定方法定义法若eq f(an1,an)q(q

8、为非零常数，nN*)或eq f(an,an1)q(q为非零常数且n2，nN*)，则an是等比数列中项公式法若数列an中，an0且aeq oal(2,n1)anan2(nN*)，则an是等比数列通项公式法若数列an的通项公式可写成ancqn1(c，q均为非零常数，nN*)，则an是等比数列前n项和公式法若数列an的前n项和Snkqnk(k为非零常数，q0,1)，则an是等比数列【举一反三】1(2020全国高三专题练习)已知数列满足，证明：是等比数列；2(2020江苏省镇江中学高三开学考试)在数列中，求证数列为等比数列，并求关于的通项公式；3(2020安徽高三月考)已知正项数列满足：，判断数列是否

9、是等比数列，并说明理由；4(2020安徽高三月考)已知数列满足：=1，.求证：数列是等比数列；考向五 历史中的数列【例5】(2020江阴市华士高级中学)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯( )A3盏B9盏C27盏D81盏【举一反三】1(2020宁夏吴忠市吴忠中学)明代数学家程大位编著的算法统宗是中国数学史上的一座丰

10、碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”.注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔正中间一层的灯的盏数为( )A3B12C24D482(2020安徽高三开学考试)我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题(意为)：“有一个人要走里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地.”那么，此人第天和第天共走路程是( )A里B里C里D里3(2020贵州贵阳一中高三月考)古代数学著作九章算术有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何?”意思是：“女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，

11、已知她5天共织布5尺，问这名女子每天分别织布多少?”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为165尺，则所需的天数为( )A7B8C9D10强化练习一、单选题1(2020云南高三其他模拟)已知、成等差数列，、成等比数列，则( )ABCD2(2020威远中学校高三月考)等比数列的各项均为正数，且，则( ).ABC20D403(2020四川省峨眉第二中学校高三月考)已知正项等比数列中，则( )ABCD4(2020西藏山南二中高三月考)已知等比数列的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为( )A15B17C19D215(2020黑龙江大庆市大庆中

12、学高三期中)等比数列的前项和为，若，则( )ABCD6(2020四川宜宾市高三一模)九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为( )A5B4C3D27(2020四川宜宾市高三一模)九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙

13、，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的3倍，则的值为( )(结果精确到0.1，参考数据：，)A2.2B2.4C2.6D2.88(2020湖北武汉市华中师大一附中高三期中)已知等比数列满足，数列为等差数列，其前项和为，若，则( )ABCD9(2020河北高三月考)在公比为的正项等比数列中，已知，则( )ABCD10(2020西藏拉萨市第二高级中学高三期中)等差数列的公差为2，若成等比数列，则( )A72B90C36D4511(2020肇东市第四中学校高三期中)已知等比数列an中，有a3a114a7，数列bn是等差数

14、列，且b7a7，则b5b9( )A4B5C8D1512(2020湖南高三月考)已知是公差为1的等差数列，且是与的等比中项，则( )A0B1C3D213(2020全国高三专题练习)已知正项等比数列满足，又为数列 的前n项和，则( )A 或BC15D614(2020广东深圳市明德学校高三月考)在等比数列中，是数列的前n项和若，则( )A5B6C7D815(2020河南高三月考)在数列中，则( )A32B16C8D416(2020陕西西安市高三月考)已知数列满足且，则的前10项的和等于( )ABCD17(2020江西高三期中)已知为等比数列，则的值为( )AB9或C8D918(2020安徽六安市六安

15、一中高三其他模拟)在各项均为正数的等比数列中，则的最大值是( )A25BC5D19(2020全国高三专题练习)已知正项等比数列an的前n项和为Sn，且S8-2S4=5，则a9+a10+a11+a12的最小值为( )A10B15C20D2520(2020全国高三专题练习)各项均为正数的等比数列的前项和为，若则 ( )ABCD21(2020东莞市光明中学高三月考)已知等比数列的前n项和为，且，则( )A16B19C20D2522(2020陕西宝鸡市高三月考)已知等比数列中，则( )A2B3C4D523(2020辽宁大连市辽师大附中高三月考)已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数

16、项之和为10，则这个等比数列的项数为( )A5B7C9D1124(2020全国)设等比数列的前项和为，若，则公比( )A1或B1CD25(2020江苏南京市金陵中学高三月考)已知正项等比数列an的前n项和为Sn，若，则S5()ABCD26(2020山东高三专题练习)我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第一天走的路程为( )A180里B170里C160里D150里27(20

17、19山东潍坊市高二月考)若等比数列的前n项和，则该数列的公比q的值为( )A1B2C3D428(多选)(2020辽宁葫芦岛市高三月考)已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，成等差数列，其前项和为，且，则( )ABCD29(2020全国高三专题练习(理)已知等差数列的公差不为零，且，成等比数列则=_.30(2020海南高三专题练习)数列满足且，则的值是_31(2020湖南永州市高三月考)在等比数列中，若，则_.32(2020石嘴山市第三中学高三月考)设为等比数列,其中，则_；33(2020江西省信丰中学高三月考(文)若等比数列的各项均为正数，且，则等于_34(2020全国高三开学考试)已知在等比数列中，则首项_.35(2020贵州安顺市高三其他模拟(理)在正项等比数列中，前三项的和为7，若存在，使得，则的最小值为_.36(2020广东肇庆市高三月考)已知等比数列中，则_37(2020