连续时间信号处理课件

1、 第三章 连续时间信号处理3.1 线性时不变连续系统的时域数学模型 3.1.1 微分方程的建立 3.1.2 微分方程的求解 3.2 计算零状态响应的卷积积分法 3.2.1 零输入响应与零状态响应 3.2.2 冲激响应 3.2.3 用卷积积分计算零状态响应 3.3 系统函数 3.3.1 系统函数的定义 3.3.2 系统的三种描述方式 3.3.3 用系统函数计算系统的零状态响应 3.3.4 由系统函数的零极点分布确定时域特性 3.4 信号的频域处理3.4 信号的频域处理 3.4.1 系统的频率响应 3.4.2 信号的无失真传输条件 3.4.3 理想低通滤波器 3.4.4 实际模拟滤波器 信号处理方

2、法：时域、复频域、频域。线性时不变系统的响应零输入响应零状态响应线性时不变系统分析的一个重要思想：将输入信号表示为某个基本信号的线性组合，当系统对该基本信号的零状态响应已知时，根据叠加原理和时不变性，系统的零状态响应则为基本信号响应的组合，其组合规律与输入信号的相同。输入为零，仅由初始状态产生的响应初始状态为零，仅由输入信号产生的响应例如，若已知系统对基本信号 输入时的零状态响应为 ，又已知输入 可以表示为则输入为 时的零状态响应为时域：单位冲激信号就是这样一种基本信号，任一信号都可以用冲激信号的积分形式表示，即冲激信号的线性组合。卷积积分复频域：信号分解为est的线性组合。 系统函数频域：信

3、号分解为e jt的线性组合。 频率响应3.1 线性时不变连续系统的时域数学模型微分方程3.1.1 微分方程的建立基尔霍夫定律（KCL、KVL）元件的电压电流约束关系（VCR）依据：例：图示RLC串联电路中，e(t)为激励信号，输出响应为回路中的电流i(t) 。试求该电路中响应与激励的数学关系。 解：根据KVL，得由元件VCR，有二阶线性常系数微分方程，对应于一个二阶系统 对于一个n阶系统，设激励信号为x(t)，响应为y(t)，可用一个n阶常系数线性微分方程来描述。 LTI系统的时域数学模型：LTI系统x(t)y(t)式中，an-1, ,a0和bm, ,b0均为常数，nm。3.1.2 微分方程的

4、求解1、时域经典解法 齐次解为齐次微分方程的解，其函数形式由微分方程的特征根决定。齐次解的形式仅取决于系统本身的特性（特征根），与激励信号的函数形式无关，称为系统的自由响应或固有响应；特解的函数形式由激励信号决定，称为系统的强迫响应。 全解：齐次解 特解 例：描述某线性时不变连续系统的微分方程为 试求系统的响应。解：特征方程为 其特征根11，22。该方程的齐次解为 激励，且a1与特征根1相同，故该方程的特解为 将特解代入微分方程，比较方程两边系数可得C0=0 ，C1=1。所以特解 因此方程的完全解为 代入初始条件 解得 C1=1 ，C2=1。从而系统的响应为 2、应用拉普拉斯变换法解微分方程

5、描述n阶系统的微分方程的一般形式为 系统的初始状态为y(0-) ,y(1)(0-),，y(n-1) (0-)。思路：用拉普拉斯变换微分特性若x (t)在t = 0时接入系统，则 x (j )(t) s j X(s)s域的代数方程t域的微分方程零输入响应零状态响应y(t) 例：描述某LTI系统的微分方程为 y(t) + 5y(t) + 6y(t) = 2x (t)+ 6 x(t)已知初始状态y(0-) = 1，y(0-)= -1，激励x (t) = 5cost(t)，求系统的全响应y(t)。解： 方程取拉氏变换：整理得x (t) = 5cost(t)y(t)= 2e2t (t) e3t (t)

6、- 4e2t (t) + yzi(t)yzs (t)暂态分量yt (t)稳态分量ys (t)Yzi(s)Yzs(s)3.2 计算零状态响应的卷积方法3.2.1 零输入响应和零状态响应零输入响应 完全响应：零状态响应 零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态所引起的响应。由于激励为零，故有零状态响应是系统的初始状态为零时仅由激励所引起的响应 。在t=0-时刻激励尚未接入，故应有 例：描述某线性时不变连续系统的微分方程为，求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。由特征方程有1= -2，2= -3。则齐次解 代入初始条件解得C1=10 ，C2=10。于是零输入响应为 解：（1）求零输入响应yzi(t

7、)当激励为零时，满足齐次方程（2）求零状态响应yzs(t)则方程的特解由于齐次解为则 由于激励为阶跃函数，在t=0时不会使系统发生突变，因此，解得C1=3 ，C2=2。于是零状态响应为 （3）全响应 由于激励3.2.2 冲激响应初始条件的确定 起始点的跳变从0到00表示激励接入之前的瞬时，为起始状态。0表示激励接入以后的瞬时，为初始状态。注意：系统微分方程求得之解限于0t 0时的微分方程 方程的特征根为根据初始条件解得C1=1，C2=-1因此，单位冲激响应为 （3）求系统的冲激响应h(t) =高阶系统的冲激响应 如果系统为零状态，按冲激平衡关系可得方法二：拉普拉斯变换法 由于对上式作拉氏逆变换

8、，得系统的冲激响应为方程两边取拉氏变换，得3.2.3 用卷积积分计算零状态响应 1、连续时间信号的冲激表示任一信号x(t)可用无限多个不同加权的冲激函数的“和”表示： 2、求解LTI系统零状态响应的卷积方法原理：将信号分解为冲激信号的加权和，借助冲激 响应，求解系统对任一信号的零状态响应。问题提出：LTI零状态已知(t ) h(t )若x(t ) y(t )？当x(t )能用(t )表示 时，y(t )能用h(t )表示吗？推导已知时不变齐次性叠加性h(t )x(t)y(t)在输入信号x(t)作用下，系统的零状态响应为输入信号与冲激响应的卷积积分。 3、卷积运算的定义及性质 对于任意两个信号f

9、1(t)和f2(t),两者的卷积运算定义为卷积的代数性质交换律分配律结合律分配律用于系统分析，相当于并联系统的冲激响应，等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和。x(t)h1(t)h2(t)交换律表示两个函数卷积，其顺序可以交换。有时可使卷积简便。在系统分析中，这意味着一个冲激响应为h(t)的LTI系统对输入x(t)的响应与一个冲激响应为x(t)的LTI系统对输入h(t)的响应是一样的。结合律用于系统分析，相当于级联系统的冲激响应，等于组成级联系统的各子系统冲激响应的卷积。改变两个系统的级联顺序，系统总的响应保持不变。 h1(t) h2(t)x(t)卷积的时移性质h(t)x(t)y(t)h(t)

10、y(t-t1)x(t-t1)h(t-t2)x(t-t1)y(t-t1-t2)h(t-t2)x(t)y(t-t2)时不变性质与冲激函数的卷积卷积的微积分性质（1）卷积的微分 与冲激偶信号的卷积 （2）卷积的积分特别地：特别地：与阶跃信号的卷积例1： 求 解： 根据时移性质和微积分性质，有 例2: 已知系统的冲激响应求输入 时的零状态响应y(t)。 解： 例3: 已知系统的冲激响应求输入 时的零状态响应yzs(t)。 解： 3.3 系统函数3.3.1 系统函数的定义系统函数H(s)定义为 它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比。系统函数

11、的来源由描述系统输入输出关系的微分方程(零状态)产生由时域卷积产生由系统冲激响应产生由s域电路模型产生（初始条件为0）I1(s)I2(s)U1(s)U2(s)+3.3.2 系统的三种描述方式时域输入输出关系微分方程 经典法时域的冲激响应h(t) 卷积法s域的系统函数H(s) 拉氏变换在这三种描述中，能够根据其中任一种形式推导出另外两种形式。例: 已知当输入x (t)= e-t(t)时，某LTI因果系统的零状态响应 y(t) = (3e-t -4e-2t + e-3t)(t)求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。 解：h(t)= (4e-2t -2e-3t) (t)微分方程为 y(t)+5y

12、(t)+6y(t) = 2x (t)+ 8x(t) s2Y(s) + 5sY(s) + 6Y(s) = 2sX(s)+ 8X(s) 取逆变换 yzs(t)+5yzs(t)+6yzs(t) = 2x (t)+ 8x (t) 3.3.3 用系统函数计算系统的零状态响应 y(t)= h(t)*x(t)H(s)= L h(t)Y(s)= H(s)X(s)X(s)= L x(t)零状态根据系统函数的定义，任意激励下，系统的零状态响应的象函数可以表示为系统函数与激励信号的象函数的乘积。 我们可以利用系统函数，在复频域中求得系统零状态响应的象函数，然后对其作拉普拉斯逆变换，求得时域中零状态响应的原函数。 例

13、:如图所示电路，激励信号求电路的零状态响应u2(t)。 解:令1、系统函数的零、极点LTI系统的系统函数是复变量s的有理分式，即 3.3.4由系统函数的零极点分布确定时域特性D(s)=0的根p1，p2，pn称为系统函数H(s)的极点；N(s)=0的根z1，z2，zm称为系统函数H(s)的零点。 例:将零极点画在复平面上得零、极点分布图。 由于多项式的系数为实数，因此系统函数的零极点为： 实数、共轭虚数、共轭复数零点：z = -2极点：p1 = -1, p2,3 = j研究系统函数的零、极点有下列几个方面的意义:（1）从系统函数的极点分布可以了解系统的固有频率,进而了解系统冲激响应的模式,也就是

14、说可以知道系统的冲激响应是指数型,衰减振荡型,等幅振荡型,还是几者的组合,从而可以了解系统的响应特性及系统是否稳定。（2）从系统的零、极点分布可以求得系统的频率响应特性,从而可以分析系统的正弦稳态响应特性。系统的时域、频域特性都集中地以其系统函数或系统函数的零、极点分布表现出来。2、系统函数H(s)与时域响应h(t) 冲激响应的函数形式由H(s)的极点确定。 所讨论系统均为因果系统。主要讨论单极点的情况。 H(s)按其极点在s平面上的位置可分为: 在左半开平面、虚轴和右半开平面三类。 （1）在左半开平面：衰减 若系统函数有负实单极点p= (0)，则N(s)中有因子(s+)，其所对应的响应函数为

15、Ke-t(t) (b) 若有一对共轭复极点p1,2=-j0，则N(s)中有因子(s+)2+ 0 2 K e-tcos(0 t+)(t) 以上两种情况：当t时，响应均趋于0。（2）在虚轴上 ：等幅(a)单极点p=0，则响应为K(t) (b)共轭虚数极点p1,2=j 0 则响应为 Kcos(0 t+)(t)（3）在右半开平面 ：均为递增函数。 正实单极点p= (0)，则响应为Ket(t) (b) 一对共轭复极点p1,2=j0 则响应为 K etcos(0 t+)(t) 综合结论：LTI连续因果系统的h(t)的函数形式由H(s)的极点确定。 H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。即当t时

16、，响应均趋于0。 H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数不增不减。 H(s)在右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。即当t时，响应均趋于。 H(s)的极点的实部决定了冲激响应随时间的衰减或增长情况。极点距离虚轴越远，即极点的实部的绝对值越大，冲激响应的衰减或增长越快，反之越慢。而极点的虚部决定了冲激响应随时间的正弦振荡情况。当极点距离实轴越远，即极点的虚部的绝对值越大，冲激响应正弦振荡的角频率越高，反之越低。 H(s)的零点分布影响冲激响应的幅度和相位，但不影响冲激响应的变化规律。 3.4 信号的频域处理3.4.1 系统的频率响应零状态频率响应H()可定义为系统零状态响应的傅里叶

17、变换Y()与激励x(t)的傅里叶变换X()之比，即 傅里叶变换法H()称为幅频特性（或幅频响应）； 称为相频特性（或相频响应）。H()是的偶函数， 是的奇函数。 频率响应H()的求法1. H() = F h(t) 2. H() = Y()/X()由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。由电路直接求出。 例：某系统的微分方程为 y(t) + 2y(t) = x(t)求（1）系统的频率特性（2）x(t) = e-t(t)时的响应y(t)。解：（1）微分方程两边取傅里叶变换jY() + 2Y() = X() （2）3.4.2 系统的无失真传输条件系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是信号的传输，

18、一类是滤波。传输要求信号尽量不失真，而滤波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着失真。 1、无失真传输 （1）定义：信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。 即： 输入信号为x(t)，经过无失真传输后，输出信号应为 y(t) = K x(tt0)a 时域条件b 频域条件（2）无失真传输的系统条件即幅频特性H()=K , 各分量衰减一致相频特性 ，各分量时延一致（3）线性失真 在线性系统中出现的失真称为线性失真。 在线性失真时，输出信号中不会出现输入信号中所没有的新的频率成分。3.4.3 理想低通滤波器具有如图所示幅频、相频特性的系统称为理想低通滤波器。 理想低通滤波器的频率响应可写为： c