高等数学课件 同济大学第六版下册 第九章 详细

1、第九章 多元函数微分法及其应用（1）邻域一、多元函数的概念（2）区域例如，即为开集连通的开集称为区域或开区域例如，例如，有界闭区域；无界开区域例如，（3）聚点 内点一定是聚点；说明： 边界点可能是聚点；例(0,0)既是边界点也是聚点 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E例如,(0,0) 是聚点但不属于集合例如,边界上的点都是聚点也都属于集合（4）n维空间 n维空间的记号为说明： n维空间中两点间距离公式 n维空间中邻域、区域等概念 特殊地当 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：设两点为（5）二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数例1 求 的定

2、义域解所求定义域为（6） 二元函数 的图形（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面.例如,图形如右图.例如,左图球面.单值分支:二、多元函数的极限说明：（1）定义中 的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似例2 求证 证当 时，原结论成立例3 求极限 解其中例4 证明 不存在 证取其值随k的不同而变化，故极限不存在不存在.观察播放确定极限不存在的方法：利用点函数的形式有三、多元函数的连续性定义3例5 讨论函数在(0,0)处的连续性解取故函数在(0,0)处连续.当 时例6 讨论函数在(0,0)的连续性解取其值随k的不同而变化，极限不存在故函数在(

3、0,0)处不连续闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理（2）介值定理（3）一致连续性定理 在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一致连续多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域例解多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近方

4、式的任意性）四、小结多元函数的定义思考题思考题解答不能.例取但是 不存在.原因为若取练 习 题练习题答案不存在.观察观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.观察不存在.一、偏导数的定义及其计算法偏导数的概念可以推广到二元以上函数如 在 处 解证原结论成立解不存在证有关偏导数的几点说明：、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；解、偏导数存在与连续的关系？但函数在该点处并不连续.偏导数存在 连续.一元函数中在某点可导 连续，多元函数中在某点偏导数存在 连续，4、偏导数的几何意义如图几何意义:纯偏导混合偏导定义：二阶及

5、二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.二、高阶偏导数解原函数图形偏导函数图形偏导函数图形二阶混合偏导函数图形观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：解问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？解偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数（偏增量比的极限）纯偏导混合偏导（相等的条件）三、小结思考题思考题解答不能.例如,练 习 题练习题答案由一元函数微分学中增量与微分的关系得一、全微分的定义全增量的概念全微分的定义事实上二、可微的条件证总成立,同理可得一元函数在某点的导数存在 微分存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在？例如，则当 时，说明：多元函数的各偏导数存在并不

6、能保证全 微分存在，证（依偏导数的连续性）同理习惯上，记全微分为全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理叠加原理也适用于二元以上函数的情况解所求全微分解解所求全微分证令则同理不存在.多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导全微分在近似计算中的应用也可写成解由公式得、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的求法；、多元函数连续、可导、可微的关系（注意：与一元函数有很大区别）三、小结思考题练 习 题练习题答案证一、链式法则上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如以上公式中的导数 称为全

7、导数. 上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：链式法则如图示特殊地即令其中两者的区别区别类似解解解令记同理有于是全微分形式不变形的实质： 无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.二、全微分形式不变性解1、链式法则（分三种情况）2、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）三、小结思考题思考题解答练 习 题练习题答案一、一个方程的情形隐函数的求导公式解令则解令则解令则思路：解令则整理得整理得整理得二、方程组的情形解1直接代入公式；解2运用公式推导的方法，将所给方程的两边对 求导并移项将所给方程的两边对 求导，用同样方法得（分以下几种

8、情况）隐函数的求导法则三、小结思考题思考题解答练 习 题练习题答案设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导.一、空间曲线的切线与法平面考察割线趋近于极限位置切线的过程上式分母同除以割线 的方程为曲线在M处的切线方程切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 法平面：过M点且与切线垂直的平面.解切线方程法平面方程法平面方程为特殊地：切线方程为法平面方程为所求切线方程为法平面方程为设曲面方程为曲线在M处的切向量在曲面上任取一条通过点M的曲线二、曲面的切平面与法线令则切平面方程为法线方程为曲面在M处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.特殊地：空间曲面方程形为曲面在M处的切平面方程为曲

9、面在M处的法线方程为令切平面上点的竖坐标的增量因为曲面在M处的切平面方程为其中解切平面方程为法线方程为解令切平面方程法线方程解设 为曲面上的切点,切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得因为 是曲面上的切点，所求切点为满足方程切平面方程(1)切平面方程(2)空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法）（求法向量的方向余弦时注意符号）三、小结思考题思考题解答设切点依题意知切向量为切点满足曲面和平面方程练 习 题练习题答案实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子

10、的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？每天的收益为求最大收益即为求二元函数的最大值.一、问题的提出二、多元函数的极值和最值播放1、二元函数极值的定义(1)(2)(3)例1例例2、多元函数取得极值的条件证 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：解求最值的一般方法： 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值. 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.

11、3、多元函数的最值解如图,解由无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果问题的实质：求 在条件 下的极值点三、条件极值拉格朗日乘数法条件极值：对自变量有附加条件的极值解则解可得即多元函数的极值拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值四、小结思考题思考题解答练 习 题练习题答案二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值

12、和最值二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值第七章习题课平面点集和区域多元函数的极限多元函数连续的概念极 限 运 算多元连续函数的性质多元函数概念一、主要内容全微分的应用高阶偏导数隐函数求导法则复合函数求导法则全微分形式的不变性微分法在几何上的应用方向导数多元函数的极值全微分概念偏导数概念1、区域（1）邻域连通的开集称为区域或开区域（2）区域（3）聚点（4）n维空间2、多元函数概念定义类似地可定义三元及三元以上函数3、多元函数的极限说明：（1）定义中 的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数

13、的极限运算法则与一元函数类似4、极限的运算5、多元函数的连续性 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理（2）介值定理6、多元连续函数的性质7、偏导数概念、高阶偏导数纯偏导混合偏导定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.、全微分概念多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导10、全微分的应用主要方面:近似计算与误差估计.11、复合函数求导法则以上公式中的导数 称为全导数.12、全微分形式不变性 无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数