线性代数建模课件

1、第三章 线性代数在数学建模中的应用举例第1页，共36页。内容提要 线性代数是处理矩阵和向量空间的数学分支，在现代科学的各个领域都有应用。本书是一本优秀的现代教材，给出最新的线性代数基本介绍和一些有趣应用，目的是帮助学生掌握线性代数的基本概念及应用技巧，为后续课程的学习和工作实践奠定基础。主要内容包括线性方程组、矩阵代数、行列式、向量空间、特征值与特征向量、正交性和最小二乘法、对称矩阵和二次型等。此外，本书包含大量的练习题、习题、例题等，便于读者参考。 本书内容深入浅出，论述清晰，适合作为高等院校理工科线性代数课程的教材，还可作为相关研究人员的参考书。 第2页，共36页。第一节 基因间“距离”的

2、表示 在ABO血型的人群之中，对各种群体的基因的频率进行了研究。假设我们用A、B、AB、O来表示这四种基因型，研究得到的数据如下表：第3页，共36页。基因的相对频率基因型爱斯基摩人f1i班图人f2i英国人f3i朝鲜人f4iABABO0.66700.29140.00000.03160.69000.10340.08660.12000.66020.20900.06120.06960.57230.22080.20690.0000合计1.00001.00001.00001.0000第4页，共36页。问题 一个群体与另一个群体的接近程度如何？换句话说，怎样来表示基因间的 距离 的合宜的量度。解 有人提出利

3、用向量代数的方法。首先用单位向量来表示每一个群体。我们取每一种频率的平方根，记为 。由于对这四种群体的每一种有 。第5页，共36页。 这意味着下列四个向量的每个都是单位向量。记 现在用两个向量的夹角来表示两个对应群体间的 距离 似乎是很合理的。第6页，共36页。 如果我们记 和 夹角为 。由得 故 。基因间的距离基因型爱斯基摩人f1i班图人f2i英国人f3i朝鲜人f4iABABO023.216.416.823.209.820.416.49.8019.616.820.419.60第7页，共36页。 由上表可知，最小的基因 距离 是班图人和英国人，说明这两种人群最相似；而最大的基因 距离 是爱斯基

4、摩人和班图人，说明这两种人群差异最大。第8页，共36页。 思考题 有甲、乙、丙三名男生，他们的身高、胸围和体重的数据如下表。这三人哪两人的体型最相似？试建立数学模型说明此问题。男生身高（cm）班图人（cm）英国人（kg）甲乙丙17516618510493125685483第9页，共36页。第四节 动物数量按年龄段预测问题一、问题 某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，05岁；第二组，610岁；第三组，1115岁。动物从第二年龄组开始繁殖后代，经过长期统计，第二年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4个后代，第三年龄组的动物在其年龄段平均繁殖3个后代。第一年龄组和第

5、二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为1/2和1/4。假设农场现有三个年龄段的动物各1000头，问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？第10页，共36页。二、问题分析与模型建立第11页，共36页。于是我们得到递推关系式：第12页，共36页。即：其中三、模型求解(MATLAB)第13页，共36页。四、结果分析 15年后，农场饲养的动物总数将达到16625头，其中05岁的有14375头，占86.47%；610岁的有1375头，占8.27%；1115岁的有875头，占5.226%。15年间动物总增长为13625头，总增长率为454.16%。第14页，共36页。15第八节 常染色体遗传

6、模型1、亲体基因遗传方式与问题1）遗传方式 在常染色体遗传中，后代是从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对，基因对也称基因型。如果所考虑的遗传特征是由两个基因A和a控制的，那么就有三种基因对，记为AA，Aa，aa。例如，金鱼草是由两个遗传基因决定它的花的颜色，基因型是AA的金鱼草开红花，Aa型开粉红色花，而aa型的开白花。 第15页，共36页。16 又如人类眼睛的颜色也是通过常染色体遗传控制的，基因是AA或Aa的人，眼睛为棕色；基因是aa型的人，眼睛是蓝色。这里Aa和AA都表示了同一外部特征，我们认为基因A支配基因a，也可以认为基因a对于A是隐性的，当一个新体的基因型为Aa，而另

7、一个亲体的基因为aa，那么后代可以从aa型中得到基因a，从Aa型中或得到A，或得到a，且是等可能性的得到。这样，后代基因型为Aa或aa的可能性相等。 第16页，共36页。17 下面给出双亲体基因型的所有可能的结合，使其后代形成每种基因的概率，如表1 - 2所示。 基因型的概率分布后代基因型父体 母体（n-1代）基因型AA - AAAA - AaAA - aaAa - AaAa - aaaa - aaAA1000Aa010aa0001第17页，共36页。18 2）问题 农场的植物园中某种植物的基因型AA，Aa和aa。农场计划采用AA型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后

8、，这种植物的任一代的三种基因型分布如何？2、模型构造1）假设 （1）设an，bn和cn分别表示第n代植物中基因型为AA，Aa和aa的植物总数的百分率，n=0，1，2， x(n)为第n代植物的基因型分布： 第18页，共36页。19当n=0时 表示植物基因型的初始分布（即培育开始时的分布）。 显然有 第19页，共36页。20 （2）第n-1代与第n代的基因型分布关系是通过表2-3确定的。 2）建模 根据假设（2），先考虑第n 代中的AA型。由于第n-1代的AA型与AA型结合，后代全部是AA型；第n-1代的Aa与AA型结合，后代是AA型的可能性为 ；而第n-1代的aa型与AA型的结合，后代不可能是A

9、A型。 因此当n=1，2， 时 ，第20页，共36页。21类似考虑第n 代中的Aa型和aa型，分别可推出将（4-27），（4-28）和（4-29）式相加，得 根据假设（1），有第21页，共36页。22将（4-27），（4-28）和（4-29）式联立得 用矩阵形式表示为其中第22页，共36页。23 由(4-30)式进行递推，便得到第n代基因型分布的数学模型 它表明历代基因型分布可由初始分布和矩阵M确定。3、模型求解 为 了计算Mn，将M对角化，即求出可逆矩阵P和对角阵D，使因而有 第23页，共36页。24其中对于（4-30）式中的M，易求得其特征值和特征向量分别为第24页，共36页。25因此 通

10、过计算，得P-1=P，因此有第25页，共36页。26第26页，共36页。27所以有即在极限情况下，培育的植物都是AA型。 第27页，共36页。28 4、模型讨论 若在上述问题中，不选用基因型AA的植物与每一其它基因型植物相结合，而是将具有相同基因型植物结合，那么后代具有三种基因型的概率由下表2-4给出： 第28页，共36页。29表2-4 相同基因型结合的后代基因型的概率分布后代基因型父体- 母体的基因型AA-AAAa-Aaaa-aaAA10Aa00aa01第29页，共36页。30于是有其中M的特征值为第30页，共36页。31 通过计算，可以解出与1，2相对的两个线性无关的特征向量e1和e2，和与3相对应的特征向量e3，即 从而得第31页，共36页。32于是， 即得。第32页，共36页。33 因此，如果用基因型相同的植物培育后代，在极限情况下，后代仅有基因型AA和aa。第33页，共36页。34思考题： 一种植物的基因型为AA,Aa和aa。研究人员采用将同种基因型的植物相结合的方法培育后代，开始时这三种基因型的植物所占的比例分别为20%，30%，50%。问经过若干代培育后这三种基因型的植物所占的比例是多少？第34页，共36页。35思考题： 将某树群的树分成三类：幼树树龄为010年，成树树龄为1040年，老树树龄在40年以上。 在没有采伐的条件下，假定在每一个