流体运动微分方程讲解课件

1、 6 流体流动微分方程 基本内容：掌握连续性方程及其推导熟悉Navier-Stokes方程了解Euler方程 1第1页，共39页。控制体分析 最大优点在于对定常流动，当已知控制面上流动的有关信息后，就能求出总力的分量和平均速度，而不必深究控制体内各处流动的详细情况，给一些工程问题的求解带来方便。 缺点是不能得到控制体内各处流动的细节，而这对深入研究流体运动是非常重要的。 这一章中我们将推导微分形式的守恒方程。2第2页，共39页。 流体流动微分方程包括:连续性方程运动方程 连续性方程是流动流体质量守恒的数学描述。运动方程则是流动流体动量守恒的数学描述。二者都是基于流场中的点建立的微分方程。3第3

2、页，共39页。6.1 连续性方程zyxvzvyvx 连续性方程反映流动过程遵循质量守恒。现取微元体如图。4第4页，共39页。输出微元体的质量流量为：可得输入微元体的质量流量：5第5页，共39页。则输出与输入之差为：微元体内质量变化率为：6第6页，共39页。根据质量守恒原理有：或该式即为直角坐标系下的连续性方程。由于未作任何假设，该方程适用于层流和湍流、牛顿和非牛顿流体。7第7页，共39页。 对不可压缩流体，=常数，有/t=0，则连续性方程为不可压缩流体的连续性方程不仅形式简单，而且应用广泛，很多可压缩流体的流动也可按常密度流动处理。 8第8页，共39页。在直角坐标系中可表示为对平面流动(柱坐标

3、和球坐标下的连续性方程自学。)9第9页，共39页。例题：不可压缩流体的二维平面流动，y方向的速度分量为试求x方向的速度分量，假定x=0时，vx=0。10第10页，共39页。解：不可压缩流体的平面运动满足连续性方程由已知条件得积分得vy=y2-y-x11第11页，共39页。根据边界条件x=0时vx=0代入上式得故有所以12第12页，共39页。例题：不可压缩流体的速度分布为 u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求A，B，C，D所满足的条件。不计重力影响。13第13页，共39页。解：由连续方程可知则有又由于流动无旋，则有则有u=Ax+By, v=Cx+Dy,

4、 w=014第14页，共39页。练习：有一个三维不可压流场，已知其x向和y向的分速度为求其z向的分速度的表达式。当x=0，z=0时，vz=2y。15第15页，共39页。6.2不可压缩粘性流体运动微分方程 在运动着的不可压缩粘性流体中取微元平行六面体流体微团，作用在流体微元上的各法向应力和切向应力如图所示。16第16页，共39页。zyxxxxyxzyyyxyzzyzzzxfxfzfyxyxy+xdxxzxz+xdxxxxx+xdxzyzy+zdzzxzx+zdzzzzz+zdzdzdydxyxyx+ydyyzyz+ydyyyyy+ydy17第17页，共39页。 对流体微团应用牛顿第二定律，则沿x

5、轴方向的运动微分方程为18第18页，共39页。化简后得同理得以应力表示的运动方程19第19页，共39页。将切应力和法向应力的关系式代入上式的第一式并整理得：20第20页，共39页。同理得不可压缩粘性流体的运动微分方程，也叫Navier-Stokes方程，简称N-S方程。21第21页，共39页。 法国工程师和物理学家。特别对力学理论有很大贡献。流体力学中的纳维尔.斯托克斯（Navier-Stokes）方程就用他和斯托克斯的名字命名的。他首次建立了可以于工程实际的弹性理论的数学表达式。1819年，纳维尔定义了应力零线，并修正了伽利略的错误结果。1826年，他提出弹性模量概念。纳维尔通常被认为是现代

6、结构分析的奠基人。纳维尔的最大贡献当然还是N-S方程，流体力学的基本方程。 克劳德.路易.纳维尔Claude Louis Navier1785183622第22页，共39页。N-S方程理想流体=0理想流体欧拉运动微分方程 定常流动欧拉平衡微分方程23第23页，共39页。 莱昂哈德欧拉 （Leonhard Euler） 17071783 瑞士数学家和物理学家。他被称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔弗里德里克高斯）。欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人，例如：y = F(x) (函数的定义由莱布尼兹在1694年给出)。他是把微积分应用于物理学的先驱者之一。欧拉在微

7、积分、微分方程、几何、数论、变分学等领域均做出了巨大贡献。 24第24页，共39页。各项意义为：非定常项； 对流项； 单位质量流体的体积力； 单位质量流体的压力差； 扩散项或粘性力项N-S方程的矢量形式为25第25页，共39页。 由于引入了广义牛顿剪切定律，故N-S方程只适用于牛顿流体，处理非牛顿流体问题时可用以应力表示的运动方程。 Navier-Stokes方程是不可压流体理论中最根本的非线性偏微分方程组，是描述不可压缩粘性流体运动最完整的方程，是现代流体力学的主干方程 。26第26页，共39页。6.3基本微分方程组的定解条件 N-S方程有四个未知数，vx、vy、vz和p，将N-S方程和不可

8、压缩流体的连续性方程联立，理论上可通过积分求解，得到四个未知量。一般而言，通过积分得到的是微分方程的通解，再结合基本微分方程组的定解条件，即初始条件和边界条件，确定积分常数，才能得到具体流动问题的特解。27第27页，共39页。1.初始条件 对非定常流动，要求给定变量初始时刻t=t0的空间分布显然，对于定常流动，不需要初始条件。28第28页，共39页。2.边界条件 所谓边界条件，是包围流场每一条边界上的流场数值。不同种类的流动，边界条件也不相同。流体流动分析中最常遇到的三类边界条件如下：（1）固体壁面 粘性流体与一不渗透的，无滑移的固体壁面相接触，在贴壁处，流体速度若流体与物面处于热平衡态，则在

9、物面上必须保持温度连续29第29页，共39页。（2）进口与出口 流动的进口与出口截面上的速度与压强的分布通常也是需要知道的，如管流。（3）液体-气体交界面 液体-气体交界面的边界条件主要有两个： 运动学条件，即通过交界面的法向速度应相等。 压强平衡条件，即液体的压强必须与大气压和表面张力相平衡。30第30页，共39页。 根据这些初始条件和边界条件，我们可对基本微分方程组积分，并确定积分常数，得到符合实际流动的求解结果。 但实际上，只有极少数的问题可求出理论解，通常采用数值解法。31第31页，共39页。例题：不可压缩粘性流体在距离为b的两个大水平板间作定常层流流动，假定流体沿流动方向的压强降已知，求: （1）两板固定不动;（2）下板固定上板以等速U沿流动方向运动；两板间流体运动的速度分布。流向yxb32第32页，共39页。解：由于流体水平运动，则有由于流动是一维的，有vy=vz=0；由于流动是定常的，有33第33页，共39页。34第34页，共39页。所以N-S方程可简化为由连续方程可得35第35页，共39页。将式(3)代入式(1)得思考题：为什么上式右端偏导数改写成全导数？对上式进行两次