高考数学试题分类汇编轨迹方程

1、2008年高考数学试题分类汇编：轨迹方程【考点阐述】曲线与方程的概念.由已知条件列出曲线方程.【考试要求】了解圆锥曲线的初步应用.了解解析几何的基本思想，了解坐标法.【考题分类】（一）选择题（共 2题）.（北京卷理4）若点P到直线x = -1的距离比它到点（2,0）的距离小1,则点P的轨迹为A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【标准答案】：D【试题分析】：把P到直线x = -1向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义。【高考考点】：二次函数的定义。【易错提醒】：没有转化的意识【备考提示】：基本概念、基本技巧、基本运算的训练是基础。.（山东卷理10设椭圆。的离心率为,焦点在X轴上且长

2、轴长为26.若曲线C2上的点到13椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为(A)2x422 y 32(B)1322 y 522y122解：对于椭圆C1, a =13, c = 5,曲线C2为双曲线，c = 5, a=4, b =3,22标准方程为：与工=1.4232（二）解答题（共3题）1.（海南宁夏卷理23文23）已知曲线Ci： 1X=C0S*华为参数），曲线C2： y =sin ?x=t - 22（t为参数）（1）指出Ci, C2各是什么曲线，并说明 Ci与C2公共点的个数;（2）若把Ci, C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线CJ , C2。写出C

3、J ,C2的参数方程。CJ与C2公共点的个数和Ci与C2公共点的个数是否相同？说明你 的理由。解：（I） G是圆，C2是直线.Ci的普通方程为x2 +y2 = i,圆心Ci （0,0），半径r =i .C2的普通方程为x y + J2=0.因为圆心Ci到直线x - y +夜=0的距离为i,所以C2与G只有一个公共点.（n）压缩后的参数方程分别为x = cos/C/： i i (8为参数)；C2： y sin12化为普通方程为:22i2Ci ： x + 4y =i, C2 : y=x 十,22联立消元得2x2+272x+i=0,其判别式 A =(272)2 -4x2xi =0,所以压缩后的直线

4、C2与椭圆G仍然只有一个公共点，和 C1与C2公共点个数相同.2.(湖北卷理19)如图，在以点O为圆心，|AB| = 4为直径的半圆 ADB中，OD _L AB , P是 半圆弧上一点，NPOB =30)曲线C是满足|MA| -|MB |为定值的动点 M的轨迹，且曲线 C过点P.(I )建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C的方程；D(n )设过点D的直线1与曲线C相交于不同的两点E、F ./若 OEF的面积不小于2金,求直线1斜率的取值范围.!2工一I解：本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.(满分13分)(I)解法1:以O为

5、原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A (-2, 0), B (2, 0), D(0,2),P ( J3,1),依题意得| MA | - | MB | = | PA | - | PB | = (2 + V3)2 +12 _%(2-V3)2 +12 = 2；2 0, b0). a b(3)2 1i则由 a2b2 7,解得 a2=b2=2,a2 b2 =4.22曲线C的方程为匕=1.22(II)解法1：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线 C的方程并整理得(1-K2)x2-4kx-6=0.直线l与双曲线C相交于不同的两点 E、F,1 -k2 -0. -：

6、=(-4k)2 4 6(1 -k2)0 kw (点点)且k#1设E (x, y), F(X2,y2),则由式得Xi + X2=4k2, x 二1 -k221 -kI EF I = J(x1 -x2)2 +(y +xz)2=(1k2)(x1 -x?)2=.1k2x1 x2)2 -4x1x2 = 1 k21 -k2而原点O到直线l的距离d =_2_1k21 _2_21k21 k22 2 . 3 - k222.2 .3-k2i2若 OEF面积不小于2无，即Saoef之2五,则有2 .2 ,3 -k2i2之2也 u k4 -k2 -2 W0,解得腿 k 2.综合、知，直线I的斜率的取值范围为kwJ2T

7、2gk#士 1解法2：依题意，可设直线l的方程为y= kx+2,代入双曲线 C的方程并整理,得(1-k2) x2-4kx-6=0.1 -k2 :02_2_；=(-4k)4 6(1 -k ) 0直线l与双曲线C相交于不同的两点 E、F,k ； -1l 一 Z (-7373)且k#1.- 3 :二 k ：二 3设E(Xi,yi),F(X2,y2),则由式得I X1-X2 I = . (X1 X2)2 -4X1X22 2 3 -k21 -k21 -k2当E、F在同一去上日（如图 1所示），& OEF =一 一 1 一 S 加F S 出DE 2 OD X X1一 X21 = 2odX1X2 ；当E、F

8、在不同支上日（如图 2所示）.八11 -S由EF =SDF +SzXode= OD ( X1，、一1 一综上传Saoef= OD2X1 - X2，于是X2 ) =|OD Xi -X2 .由| OD 1 =2及式,得 Sa OEF=2 2 3 -k21 -k2若AOEF面积不小于2d2,即S&ef至2w2则有212x3 丁 之 2&u k4 -k20,解得-6 Ek 22.-k2综合、知,直线l的斜率的取值范围为k -72,、/2且k # 1. 13 一一3.(浙江卷理20又22)已知曲线C是到点P (,)和到28直线y=-5距离相等的点的轨迹.L是过点Q (-1, 0)的直线， 8M是C上(不

9、在l上)的动点；A、B在l上，MA _Ll, MB .Lx轴(如图).(I )求曲线C的方程；(n)求出直线1的方程，使得 由为常数.|QA|本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分15分.(I)解：设N(x, y)为C上的点，则| NP尸2N到直线y = -5的距离为y8.由题设得2)3 y-8 J= y+48化简,得曲线C的方程为y=；(x2+x).(n)解法一：设 M x,x2 x2，直线l :yB(x,kx+k),从而 |QB|=11+k2 |x+1|.，|MAf=(x+1)k-2J1 k2在RtzXQMA中，因为|QM |2 = (x+1)2 1 +4 )所以 |QA|2二|QM |2-1 MA |2 =(x 1)24(1 k2)(kx 2)2|QA| =|x+1|Qkx+2|2 .1 k2|QB|2|QA|2(1 + k2)Jl+k二11L2x y+2 = 0.解法二：设M x,直线 l : y = kx + k ,则B(x, kx + k),从而2当k=2时，|L= 5而 从而所求直线|方程为