高考数学压轴专题2020-2021备战高考推理与证明知识点总复习含答案

1、【最新】数学推理与证明高考知识点一、选择题.甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知.3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名.若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是A.甲B.乙C.丙D,无法预测【答案】A【解析】【分析】若甲的预测正确，则乙、丙的预测错误，推出矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，推出矛盾！若丙的预测正确，甲、乙的预测错误，可推出三个人的名次。【详解】若甲的预测正确，乙、丙的预测错误，则丙是第一名，甲不是第三名，则甲是第二名，乙是第三名，矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，则乙是第三名，甲的

2、预测错误，那么甲是第三名，矛盾！若丙的预测正确，则甲、乙的预测错误，则甲是第三名，乙不是第三名，丙是第一名，则乙是第二名。因此，第三名是甲，故选： Ao【点睛】本题考查合情推理，突出假设法在推理中的应用，通过不断试错来推出结论，考查推理分析能力，属于中等题。.二维空间中圆的一维测度 （周长）1 2 r ,二维测度（面积）Sr2；三维空间中球的二维测度（表面积）S 4 r2,三维测度（体积）V 4 r3.若四维空间中 超球”的三维测度V 8 r3,猜想其四维测度W （）A. 2 r4B. 3 r4C. 4 r4D. 6 r4【答案】A【解析】分析：由题意结合所给的性质进行类比推理即可确定四维测度

3、W.详解：结合所给的测度定义可得：在同维空间中，n 1维测度关于r求导可得n维测度,结合 超球”的三维测度V 8 r3,可得其四维测度 W 2 r 4.本题选择A选项.点睛：本题主要考查类比推理，导数的简单应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算 求解能力.i（i=1, 2,，10）个人的水3.设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第桶需Ti分钟，假设T各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他（她）们的接水次序，使他（她）们的总的花费时间（包括等待时间和自己接水所花费的时间）最少（）A.从Ti中最大的开始，按由大到小的顺序排队B.从T中最小的开始，按由小到大的顺序排队C.从靠

4、近Ti平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D.任意顺序排队接水的总时间都不变【答案】B【解析】【分析】表示出拎小桶者先接水时等候的时间，然后加上拎大桶者一共等候者用的时间，用（2m+2T+t）减去二者的和就是节省的时间；由此可推广到一般结论【详解】事实上，只要不按从小到大的顺序排队，就至少有紧挨着的两个人拎着大桶者排在拎小桶者之前，仍设大桶接满水需要T分钟，小桶接满水需要 t分钟，并设拎大桶者开始接水时已等候了 m分钟，这样拎大桶者接满水一共等候了（ m+T）分钟，拎小桶者一共等候了 （m+T+t）分钟，两人一共等候了（ 2m+2T+t）分钟，在其他人位置不变的前提下，让

5、这两个人交还位置，即局部调整这两个人的位置，同样介意计算两个人接满水共等候了2m 2t T 2m+2t+T分钟，共节省了 T t T-t分钟，而其他人等候的时间未变，这说明只要存在有紧挨着的两个人是拎大桶者在拎小桶 者之前都可以这样调整，从而使得总等候时间减少.这样经过一系列调整后，整个队伍都 是从小打到排列，就打到最优状态，总的排队时间就最短.故选B.【点睛】一般的，对某些设计多个可变对象的数学问题，先对其少数对象进行调整，其他对象暂时 保持不变，从而化难为易，取得问题的局部解决.经过若干次这种局部的调整，不断缩小 范围，逐步逼近目标，最终使问题得到解决，这种数学思想就叫做局部调整法.4.我

6、国南宋数学家杨家辉所著的详解九章算法一书中记录了一个由正整数构成的三角 TOC o 1-5 h z 形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.（）135 7 。趟西1$ 2017 初1。42 16 如然 40J2403612 JO 2ft 加 6843*即28a从第二行起，每一行中的数字均等于其肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a,则a的值为（）A. 2018 21008B. 2018 21009C 2020 21008D. 2020 21009【答案】C【解析】【分析】根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果【详解】解：第一行第一个数为：1 1 2；第二行第一

7、个数为：4 2 21 ；第三行第一个数为：12 3 22;第四行第一个数为：32 4 23;L L ,第n行第一个数为：an n 2n 1 ；一共有1010行，第 1010 行仅有一个数：a 1010 21009 2020 21008;故选C.【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.观察下列各式：a+b=1.a2+b2=3, a3+b3=4 , a4+b4=7,a5+b5=11, ，贝U a10+b10=()A. 28B. 76C. 123D. 199【答案】C【解析】【分析】【详解】由题观察可发现，3 4 7,4 7 11,7 11 18,11 1

8、8 29,18 29 47,29 47 76,47 76 123,即 a10 b10 123,故选C.考点：观察和归纳推理能力.观察下图: TOC o 1-5 h z 3445675678 9 10LL则第 行的各数之和等于20172（）A. 2017B, 1009C. 1010D, 1011【答案】B【解析】【分析】由图可得：第n行的第一个数为n,有2n 1个数，且这2n 1个数成公差为1的等差数 列，利用等差数列求和公式算出即可【详解】由图可得：第n行的第一个数为n ,有2n 1个数且这2n 1个数成公差为1的等差数列所以第n行的各数之和为：2n 1 n 2n 12n 21 2n 1 22

9、令 2n 1 201乙得 n 1009故选：B【点睛】本题考查的是推理和等差数列的知识，较简单7.已知函数f X的导函数为f X ,记f X f X , f2 Xf1 X ,，*fn 1 X fn X （n N ）.若 f X XSinX,则 f2019 X f2021 X （）A. 2cosxB. 2sin xC. 2cosxD. 2sin x【答案】D【解析】【分析】通过计算 f1 X , f2 X , f3 X , f4 X , f5 X ,可得f4k 3 X , f4k 2 X , f4kl X , f4k X ,最后计算可得结果.【详解】由题可知：f x xsin x所以 f x s

10、in x xcosx, f2 x 2cosx xsin xf3 x3sin x xcosx, f4 x 4cosx xsin xf5 x5sin x x cosx,所以猜想可知:4k 3 sin x xcosxf4k 2 x 4k 2 cosx xsinxf4kl x 4k 1 sinx xcosxf4k x 4k cosx xsin x由 2019 4 505 1,2021 4 506 3所以 f2019 x 2019sin x xcosxf2021 x 2021sinx xcosx所以 f2019 x f2021 x 2sinx故选：D【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择

11、题、填空题可以使用取特殊值，归纳 猜想等方法的使用，属中档题.8.在平面直角坐标系中，方程1表示在x轴、y轴上的截距分别为a,b的直线，类比到空间直角坐标系中，在x轴、y轴、z轴上的截距分别为 a,b,c abc的平面方程为（）xA.一 axB.abybccaC xyab【答案】【解析】【分析】yz bc Azx一 1 caD. axbycz 1平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是a,b,c,则该平面的方程为:由类比推理得：若平面在 x轴、y轴、z轴上的截距分别为 -1 ,故选 A. abc【点睛】平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平

12、 面中的面积变为空间中的体积 .类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证 明.如本题中，可令x 0,y 0,看z是否为c.现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖.有人走访了四人，甲说：区、丁都未获奖”，乙说： 是甲或丙获奖，丙说：是甲获奖”，丁说： 是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是 （）A.甲B.乙C.丙D. 丁【答案】B【解析】【分析】结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人.【详解】结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意；若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙

13、丙，符合题意；若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意；若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意；综上可得，获奖人为乙.故选：B.【点睛】本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题 .观察下列各式：72 49 , 73 343, 74 2401,，则71009的末两位数字为（）A. 49B. 43C. 07D. 01【答案】C【解析】【分析】先观察前5个式子的末两位数的特点，寻找规律，结合周期性进行判断即可【详解】观察 72 49 , 7 3 343, 74 2401, 75 2401 7 16807，76 16807 7 117649，可知末两位每4个

14、式子一个循环， 72 49到71009一共有 1008个式子，且1008 4 252 ,则71009的末两位数字与75的末两位数字相同，为 07. 故选：C.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，根据条件寻找周期性是解决本题的关键11.用数学归纳法证明的等式左边加上（）A, k3+1C. （k+1） 363“3 n n1+2+3+ -3+n,nCN*，则当n=k+1时，应当在n=k时对应B.D.(k3+1) + (k3+2) + + (k+1) 3(k 1)6 (k 1)3【解析】分析：当项数从 n k到n k 1时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。详解：当n k时，等式左边1 2 3

15、.k3当 n k 1 时，等式左边1 2 3 .k3 (k3 1) (k3 2)(k3 3).(k 1)3所以增加的项为(k3 1) (k3 2)(k3 3).(k 1)3所以选B点睛：本题考查了数学归纳法的应用，当项数变化时分析出增加的项，属于简单题。12.已知 a b c 2,则 ab bc ca 的值()D.不大于2A.大于2B.小于2C.不小于2【答案】B【解析】【分析】把已知变形得到a ba,把2(ab bc ac)拆开后提取公因式代入 a b c, a c b, b ca ,则可判断2(ab bcac)的符号，从而得到ab bc ac的值的符号.【详解】解：Q a b c 2,ab

16、2c,ac2b,bc 2a.贝U 2(ab bc ac)2ab 2ac 2bc TOC o 1-5 h z abacbcacabbca(bc)c(ba)b(ac)b(2b)a(2a)c(2c)2222bb22aa22cc2222abc2 abc222abc4,222Q abc2,abc0,即 a2 b2 c20 ,Q2(ab bc ac) 4, (ab bc ac) 2即ab bc ac的值小于2.故选：B.【点睛】 本题考查不等式的应用，考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力.干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为 十天干”，子、丑、寅

17、、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫 做十二地支“。矢干“以用”字开始，地支“以子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了 干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅 癸酉，甲戌、乙亥、丙子癸未，甲申、 乙酉、丙戌癸巳，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽。2019年是干支纪年法”中的己亥年，那么 2026年是 干支纪年法”中的A.甲辰年B.乙巳年C.丙午年D, 丁未年【答案】C【解析】【分析】按照题中规则依次从2019年歹U举至ij 2026年，可得出答案。【详解】根据规则，2019年是己亥年，2020年是庚子年，2021年是辛丑年，2022年是壬寅年， 2023年是癸卯年，ZO2

18、4年是甲辰年，2025年是乙巳年，2026年是丙午年，故选： C。【点睛】本题考查合情推理的应用，理解题中干支纪年法”的定义，并找出相应的规律，是解本题的关键，考查逻辑推理能力，属于中等题。.在丝带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲：我的成绩比乙高.乙：丙的成绩比我和甲的都高.丙：我的成绩比乙高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序 为A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D,甲、丙、乙【答案】A【解析】【分析】利用逐一验证的方法进行求解 .【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次

19、为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则 甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正 确，不符合题意，故选 A.【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力.题目有一定难度，注重了基础知 识、逻辑推理能力的考查.9.已知bn为等比数列，bs2,则bib2Lb92 .若an为等差数列，a2,则an的类似结论为（） TOC o 1-5 h z 八9八9A. aa2a3La2B.aa2aLa2C. aa2a3La929D.aa2a3La929【答案】D【解析】【分析】根据等差数列中等差中项性质推导可得.【详解】由等差数列性质

20、，有 a1 a9 = a2 % =2 a5 .易知选项D正确. 【点睛】等差中项和等比中项的性质是出题的热点，经常与其它知识点综合出题 .16.为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“顽男生比较壮，7班肯定得第一名老师乙：我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”.老师丙： 我觉得7班能赢15 班”.最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确那么，获得一、二、三名的班级依次为（）A. 7班、14班、15班B, 14班、7班、15班C. 14班、15班、

21、7班D, 15班、14班、7班【答案】C【解析】【分析】分别假设甲、乙、丙预测准确，分析三个人的预测结果，由此能求出一、二、三名的班 级.【详解】假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，14班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误；假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，7班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班，则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班；假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，7班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意.综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班.故选：C.【点睛】本题考查获得一、二、三名的班级的判断，考查

22、合情推理等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题.17.下列表述正确的是（） 归纳推理是由特殊到一般的推理； 演绎推理是由一般到特殊的推理； 类比推理是由特殊到一般的推理； 分析法是一种间接证明法；A. B . C . D .【答案】D【解析】分析：根据题意，结合合情推理、演绎推理的定义，依次分析4个命题，综合即可得答案.详解：根据题意，依次分析 4个命题：对于，归纳推理是由特殊到一般的推理，符合归纳推理的定义，所以正确； 对于，演绎推理是由一般到特殊的推理，符合演绎推理的定义，所以正确； 对于，类比推理是由特殊到特殊的推理，所以错误； 对于，分析法、综合法是常见的直接证明法，所以错误； 则正

23、确的是，故选D.点睛：该题考查的是有关推理的问题，对归纳推理、演绎推理和类比推理的定义要明确， 以及清楚哪些方法是直接证明方法，哪些方法是间接证明方法，就可以得结果.甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有 两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（）A.乙、丁可以知道自己的成绩B.乙可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D. 丁可以知道四人的成绩【答案】A【解析】【分析】根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐 一分析可得出结果.【详解】因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位 良好，又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩.因此，乙、丁知道自己的成绩，故选： A.【点睛】本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能